Função quase convexa

Em matemática , uma função quase convexa é uma função de valor real , definida em um conjunto convexo de um espaço vetorial real, de modo que a imagem recíproca de qualquer conjunto da forma seja convexa ou mesmo tal que, em qualquer segmento , a maior valor da função é alcançado em uma extremidade. Diz-se que o oposto de uma função quase convexa é quase côncava . ${\ displaystyle \ left] - \ infty, a \ right]}$

Qualquer função convexa é quase convexa, mas o inverso é falso: por exemplo, qualquer função monotônica em um intervalo real é quase linear , ou seja, quase convexa e quase côncava.

Definição e propriedades

Uma função definida em uma parte convexa C de um espaço vetorial real E é dita: ${\ displaystyle f: C \ to \ mathbb {R}}$

quase convexo se for qualquer real , o conjunto de subníveis é convexo ou, o que é equivalente, se $no$ ${\ displaystyle \ {x \ in C \ mid f (x) \ leq a \}}$ ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ leq \ max \ left (f (x), f (y) \ direito)}$ ;
estritamente quase convexo, se ainda tivermos: ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z) <\ max \ left (f (x), f (y) \ right )}$ ;
quase côncavo se seu oposto for quase convexo, ou seja, se ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ geq \ min \ left (f (x), f (y) \ direito)}$ ;
estritamente quase côncavo se seu oposto for estritamente quase convexo, ou seja, se ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z)> \ min \ left (f (x), f (y) \ right )}$ .

Qualquer forma linear é quase linear, ou seja, quase convexa e quase côncava.

Uma função (estritamente) quase-convexa é (estritamente) convexa na parte inferior do contorno ( adesão, interior e borda de um convexo ), enquanto uma função (estritamente) quase-côncava é (estritamente) convexa na parte superior de o contorno.

Uma função definida em um intervalo é quase convexa se e somente se for monotônica ou "decrescente e depois crescente", ou seja, se existir em dois intervalos complementares (um dos dois podendo ser vazio), de modo que ou diminuindo em e aumentando . Da mesma forma, é quase côncavo se e somente se for monotônico ou “aumentando depois diminuindo”. Portanto, é quase linear se e somente se for monotônico. $f$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $eu$ ${\ displaystyle I_ {1} <I_ {2}}$ $f$ $I_1$ $I_ {2}$ $f$

Se uma função com um máximo global em um ponto m do convexo é quase côncava, então é unimodal (in) , ou seja, aumenta ao longo de qualquer segmento orientado terminando em m . O inverso é verdadeiro se (de acordo com a caracterização anterior da quase concavidade, neste caso), mas facilmente se constrói em uma função unimodal e não quase côncava. ${\ displaystyle C \ subset E}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$

Interesse do conceito

Na otimização , problemas com funções objetivas quase convexas podem ser resolvidos com os mesmos métodos das funções objetivas convexas. Em particular, no caso de problemas irrestritos ou com um conjunto convexo admissível, qualquer mínimo local é um mínimo global , exceto se a função for constante na vizinhança deste ponto. Os algoritmos de descida podem ser "presos" por essa "bandeja horizontal".

Notas e referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Função quasiconvexa ” ( veja a lista de autores ) .

Exercício corrigido do capítulo "Convexidade" da lição sobre as funções de uma variável real na Wikiversidade .
, º. 4.9.11.
(em) " Como provar quase-convexo se e somente se unimodal? » , Em math.stackexchange.com ,setembro de 2015.
(em) Harvey J. Greenberg e WP Pierskalla, " A review of quase convex functions " , Operations Research , Vol. 19, n o 7,1971, p. 1553-1570 ( ler online ) : Tabela II p. 1560 , 11.b.

Veja também

Bibliografia

(pt) Mordecai Avriel, Walter E. Diewert (pt) , Siegfried Schaible e Israel Zang, Concavidade generalizada , SIAM , col. "Clássicos in Applied Mathematics" ( N O 63),2010( 1 st ed. 1988) ( linha de leitura ) , cap. 3
( fr ) Stephen Boyd e Lieven Vandenberghe , cap. 3.4 "Quasiconvex functions" , em Convex Optimization , Cambridge Press University,2004, 730 p. ( ISBN 978-0-521-83378-3 , leitura online ) , p. 95-103
(pt) Jean-Pierre Crouzeix, “Quasi-concavity” , em SN Durlauf e LE Blume, The New Palgrave Dictionary of Economics , Palgrave Macmillan ,2008, 2 nd ed. ( DOI 10.1057 / 9780230226203.1375 , leia online )
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links externos

(pt) Charles Wilson, “Concave and Quasi-Concave Functions” (versão de 10 de maio de 2012 no Internet Archive ) , na New York University , Department of Economics
(en) Martin J. Osborne, " Quasiconcavity and quasiconvexity " , na University of Toronto , Department of Economics