Na simulação numérica , um problema dependente do tempo pode ser formulado implícita ou explicitamente . Um problema dependente do tempo descreve uma situação em evolução; o sistema é modelado em vários momentos discretos t chamados “passos de tempo”.
O método explícito consiste em determinar a solução para t + Δ t em função do valor da função em t . Se a função a ser avaliada é chamada de y ( t ), o problema é formulado da seguinte forma:
y ( t + Δ t ) = f ( y ( t )).O método de Euler é um método explícito.
O método implícito consiste em determinar a solução para t + Δ t resolvendo uma equação levando em consideração o valor da função em t e em t + Δ t . O problema é formulado da seguinte forma:
G ( y ( t ), y ( t + Δ t )) = 0.Os métodos de Runge-Kutta são métodos conhecidos como implícito-explícito (ou “imex”) porque uma parte é resolvida por um método implícito e a outra por um método explícito.
A formulação implícita é a formulação mais simples, mas é limitada aos problemas quase estáticos .
A formulação explícita torna possível modelar os fenômenos mais finamente, mas é muito gananciosa em recursos (número de operações, duração do cálculo, memória necessária). É, portanto, utilizado para simulações de fenômenos de curta duração e que não podem ser simulados com a formulação implícita: trata-se essencialmente de problemas de dinâmica rápida, choques, propagação de ondas.
Em termos de software, falamos de um solucionador implícito ou de um solucionador explícito.
Na formulação implícita , o fenômeno é representado pela equação
ou
Para ser mais preciso, no método dos elementos finitos , esta equação descreve o comportamento dos elementos, os diferentes termos da equação são, portanto, matrizes . A cada passo de tempo, o solucionador busca uma solução estacionária para esta equação, que portanto representa uma situação de equilíbrio.
Por ser uma resolução quase estática, o sistema é resolvido estaticamente para cada intervalo de tempo.
Na formulação explícita , o fenômeno é representado pelas equações de Navier-Stokes , equações diferenciais parciais correspondentes à conservação da massa, momento (momento) e energia em coordenadas Lagrangianas :
conservação de massa :; conservação de momentum : conservação de energia:ou
Essas equações são resolvidas em cada etapa de tempo considerando os resultados da simulação na etapa de tempo anterior, mas sem buscar o equilíbrio.
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