Invariância de Lorentz
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A invariância de Lorentz é a propriedade de uma quantidade física de ser transformação de Lorentz inalterada . Essas são quantidades físicas que, quando expressas de forma tensorial, são escalares ou pseudoescalares .
A invariância de Lorentz local é um dos três pressupostos do princípio de equivalência de Einstein.
Nos referenciais da relatividade especial e, portanto, da relatividade geral , uma quantidade é chamada de Lorentz invariante , escalar de Lorentz ou relativística invariante , quando não modificada sob a aplicação de uma transformação de Lorentz . Seu valor é, portanto, o mesmo em todos os referenciais galileanos .
Quantidades invariantes
As seguintes quantidades são invariantes relativísticos:
Espaço Minkowski
O primeiro exemplo de uma quantidade invariante de Lorentz é a métrica de Minkowski . Se considerarmos uma transformação de Lorentz representada por , então temos por definição as transformações de Lorentz
ηµν{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \,}Λ{\ displaystyle \ Lambda \,}
ΛtηΛ=η{\ displaystyle \ Lambda ^ {t} \ eta \ Lambda = \ eta \,}
se usarmos notação de matriz, ou
Λµ′µΛν′νηµ′ν′=ηµν{\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu'}} _ {\ nu} \ eta _ {\ mu '\ nu'} = \ eta _ {\ mu \ nu} \,}
se adotarmos a notação de índice mais comum em física . Para o último, adotamos a convenção de soma de Einstein que soma implicitamente nas quatro direções qualquer índice que apareça ao mesmo tempo no topo e na base de uma expressão.
A partir dessa quantidade invariante fundamental, podemos construir outras. Por exemplo, se considerarmos o quadrivetor de impulso de energia ,
Pµ=(Ep→vs){\ displaystyle P ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} E \\ {\ vec {p}} \, c \ end {pmatrix}} \,}
consistindo em energia e momentum . É não Lorentz invariante porque transforma o seguinteE{\ displaystyle E \,} p→{\ displaystyle {\ vec {p}} \,}
Pµ→ΛµνPν{\ displaystyle P ^ {\ mu} \ rightarrow {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} P ^ {\ nu} \,}
Mas, por outro lado, podemos construir a seguinte quantidade quadrática pela contração deste quadrivetor usando a métrica
P2≡PµPµ≡ηµνPµPν=-E2+p2vs2=-m2vs4{\ displaystyle P ^ {2} \ equiv P ^ {\ mu} P _ {\ mu} \ equiv \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} P ^ {\ nu} = - E ^ { 2} + p ^ {2} c ^ {2} = - m ^ {2} c ^ {4} \,}
que define a massa na relatividade especial . Esta quantidade é um invariante de Lorentz, pois se passar por uma transformação de Lorentz, a quantidade torna-se:
Pµ{\ displaystyle P ^ {\ mu}}PµPµ{\ displaystyle P ^ {\ mu} P _ {\ mu}}
PµPµ=ηµνPµPν→ηµν(ΛµρPρ)(ΛνσPσ)=ηρσPρPσ=PρPρ{\ displaystyle P ^ {\ mu} P _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} P ^ {\ nu} \ rightarrow \ eta _ {\ mu \ nu} ({ \ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} P ^ {\ rho}) ({\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ sigma} P ^ {\ sigma}) = \ eta _ {\ rho \ sigma} P ^ {\ rho} P ^ {\ sigma} = P ^ {\ rho} P _ {\ rho}}
onde usamos a invariância da métrica declarada no início do artigo para a penúltima etapa do cálculo. Como e são índices silenciosos, encontramos a norma do quadrivetor , que é, portanto, uma quantidade invariante.
µ{\ displaystyle \ mu}ρ{\ displaystyle \ rho} P{\ displaystyle P}
Nesta prova, nunca usamos a expressão explícita de , o que significa que a norma de qualquer quadrivetor é uma quantidade conservada pelas transformações de Lorentz.
P{\ displaystyle P}
O fato de uma quantidade ser invariável torna possível obter resultados interessantes escolhendo referenciais particulares. Por exemplo, se considerarmos o caso de uma partícula de massa diferente de zero , podemos considerar o referencial de repouso que temos . Em seguida, obtemos a famosa identidade :
m{\ displaystyle m \,}p→=0{\ displaystyle {\ vec {p}} = 0 \,}
E=mvs2{\ displaystyle E = mc ^ {2} \,}
Por outro lado, no caso de uma partícula de massa zero, como o fóton , é impossível encontrar tal referencial, mas então temos a relação
E=pvs.{\ displaystyle E = pc \,.}
Notas e referências
Notas
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A assinatura é usada aqui para a métrica.(-,+,+,+){\ displaystyle (-, +, +, +) \,}
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É uma matriz .4×4{\ displaystyle 4 \ vezes 4}
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Quando alguém se coloca a priori no quadro da mecânica relativística, costuma-se esquecer o prefixo quadri e falar mais simplesmente de vetor ou de impulso .
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Esta é a própria definição de vetor.
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Invariante significa "por transformação de Lorentz", que é diferente de conservado, o que significa constante ao longo do tempo. A massa de uma partícula elementar é invariante. Na ausência de ações externas, seu vetor energia-momento é conservado (mas não invariante).
Referências
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Taillet, Vilão e Febvre 2018 , sv invariância de Lotentz, p. 396, col. 1 .
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Peter e Uzan 2012 , § 1.1.3 , p. 29
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Louis de Broglie , A termodinâmica oculta das partículas , Annales de l ' Institut Henri Poincaré , seção A, tomo 1, n ° 1, 1964, p. 10 ( leia online ).
Veja também
Bibliografia
: documento usado como fonte para este artigo.
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[Taillet, Villain e Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain e Pascal Febvre , Dicionário de física , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , fora do col. ,Janeiro de 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maio de 2008), 1 vol. , X -956 p. , doente. , fig. e gráfico. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , aviso BNF n O FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , apresentação on-line , ler on-line ) , sv invariância de Lotentz, p. 396, col. 1.
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[Peter e Uzan 2012] Patrick Peter e Jean-Philippe Uzan ( pref. Por Thibault Damour ), Primordial Cosmology , Paris, Belin , col. "Escadas",Fevereiro 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Maio de 2005), 1 vol. , 816 p. , doente. e fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793482816 , aviso BNF n O FRBNF42616501 , SUDOC 158540697 , apresentação on-line , ler on-line ).
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