Desigualdade de Kolmogorov
A desigualdade de Kolmogorov , devida a Andrei Kolmogorov , é uma etapa essencial em sua prova da lei forte dos grandes números , um dos principais teoremas da teoria das probabilidades . É nessa fase que ele usa a hipótese de independência (e, sem dizer nada, a noção de tempo de inatividade ).
Estados
Desigualdade de Kolmogorov. - Isso quer dizer uma série de var independente e centrada. Vamos posar
(Ynão)não≥1{\ displaystyle \ textstyle \ left (Y_ {n} \ right) _ {n \ geq 1}}
Cnão=Y1+Y2+⋯+Ynão.{\ displaystyle W_ {n} = Y_ {1} + Y_ {2} + \ cdots + Y_ {n}.}
Então, para tudo ,
x>0{\ displaystyle \ textstyle x> 0}
P(e aí{|Cnão||não≥1}>x)≤∑não≥1Var(Ynão)x2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}.}
Notas:
P(|Cnão|>x)≤∑não≥1Var(Ynão)x2{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | W_ {n} \ right |> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}}
é uma consequência imediata
da desigualdade Bienayme-Chebyshev . A presença do sup torna a desigualdade muito mais precisa e, portanto, mais difícil de demonstrar.
Demonstração
Se , a desigualdade é verificada. A seguir, assumimos que
∑não≥1Var(Ynão)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) = + \ infty}
∑não≥1Var(Ynão)<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) <+ \ infty.}
Nós posamos
σ={+∞ E se {k≥1 | |Ck|>x}=∅,inf{k≥1 | |Ck|>x} se não.{\ displaystyle \ sigma = \ left \ {{{\ begin {array} {lll} + \ infty & \ \ & {\ text {si}} \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ { k} \ right |> x \ right \} = \ emptyset, \\ && \\\ inf \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} & \ \ & {\ text {caso contrário.}} \ end {array}} \ right.}
Percebemos então que, para ,
k≤não{\ displaystyle \ textstyle k \ leq n}
Ck1σ=k ⊥ Cnão-Ck.{\ displaystyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}.}
Na verdade , enquanto
Cnão-Ck=Yk+1+Yk+2+⋯+Ynão{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k} = Y_ {k + 1} + Y_ {k + 2} + \ pontos + Y_ {n}}
{σ=k}={|C1|≤x,|C2|≤x,...,|Ck-1|≤x e |Ck|>x}={|Y1|≤x, |Y1+Y2|≤x, ..., |Y1+⋯+Yk-1|≤x e |Y1+⋯+Yk|>x}.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ {\ sigma = k \ right \} & = \ left \ {\ left | W_ {1} \ right | \ leq x, \ left | W_ {2} \ right | \ leq x, \ dots, \ left | W_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \\ & = \ left \ {\ left | Y_ {1} \ right | \ leq x, \ \ left | Y_ {1} + Y_ {2} \ right | \ leq x, \ \ dots, \ \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k} \ right |> x \ right \}. \ end {alinhado}}}
Assim, para quaisquer dois Borelianos e , os dois eventos
NO{\ displaystyle \ textstyle A}B{\ displaystyle \ textstyle B}
{Ck1σ=k∈NO} e {Cnão-Ck∈B}{\ displaystyle \ left \ {W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ in A \ right \} {\ text {et}} \ left \ {W_ {n} -W_ {k} \ in B \ certo \}}
pertencem às tribos e , respectivamente. Eles são, portanto, independentes em virtude do lema do agrupamento , o que implica bem . Nós temos
σ(Y1,Y2,...,Yk){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots, Y_ {k} \ right)}σ(Yk+1,Yk+2,...,Ynão){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {k + 1}, Y_ {k + 2}, \ dots, Y_ {n} \ right)} Ck1σ=k ⊥ Cnão-Ck{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}
∑k=1nãoVar(Yk)=Var(Cnão) = E[Cnão2]≥E[Cnão21σ<+∞]=∑k≥1 E[Cnão2 1σ=k]≥∑k=1não E[Cnão21σ=k]=∑k=1não E[(Cnão-Ck+Ck)21σ=k]≥∑k=1não E[Ck21σ=k]+2E[Cnão-Ck]E[Ck1σ=k]=∑k=1não E[Ck21σ=k]≥∑k=1não E[x21σ=k]=x2P(σ≤não),{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & = {\ text {Var}} \ esquerda (W_ {n} \ direita) \ = \ \ mathbb {E} \ esquerda [W_ {n} ^ {2} \ direita] \\ & \ geq \ mathbb {E} \ esquerda [W_ {n} ^ { 2} 1 _ {\ sigma <+ \ infty} \ right] \\ & = \ sum _ {k \ geq 1} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ direita] \ \ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ esquerda [\ esquerda (W_ {n} -W_ {k} + W_ {k} \ direita) ^ {2 } 1_ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] +2 \ mathbb {E} \ left [W_ {n} -W_ {k} \ right] \ mathbb {E} \ left [W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ right ] \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [x ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & = x ^ {2} \ mathbb {P } \ left (\ sigma \ leq n \ right), \ end {alinhado}}}
onde a terceira desigualdade é obtida expandindo o quadrado em dois termos quadrados (um dos quais é excluído para reduzir a expressão anterior) e um produto duplo (de duas variáveis independentes, em virtude de ). A seguinte igualdade é aquela centrada (como uma soma de RV centrada), e a última desigualdade decorre da definição de tempo de parada : por definição, em tempo , temos
. Tendendo para o infinito, obtemos
Ck1σ=k ⊥ Cnão-Ck{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}Cnão-Ck{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k}} σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}Cσ>x{\ displaystyle \ textstyle W _ {\ sigma}> x}não{\ displaystyle \ textstyle n}
∑k≥1Var(Yk)≥x2 P(σ<+∞),=x2 P({k≥1 | |Ck|>x}≠∅),=x2 P(e aí{|Cnão||não≥1}>x),{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {k \ geq 1} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & \ geq x ^ {2} \ \ mathbb {P } \ left (\ sigma <+ \ infty \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \ neq \ emptyset \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ direita \}> x \ direita), \ end {alinhado}}}
CQFD
Notas
-
Pode-se encontrar a declaração, demonstração, e do contexto 248 do livro P. Billingley, Probabilidade e medida , Wiley, 1 st edição de 1979.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">