j -invariante

A variação- j , às vezes chamada de função j , é uma função introduzida por Felix Klein para o estudo de curvas elípticas , que desde então encontrou aplicações além da geometria algébrica , por exemplo, no estudo de funções modulares , da teoria dos corpos de classe e do monstruoso luar .

Motivação: razão cruzada e variação j

Trabalhamos no plano projetivo complexo (en) . Considere quatro pontos distintos , sua razão cruzada é: ${\ mathbb C} P ^ {1}$ $a, b, c, d$

{\ displaystyle (a, b, c, d) = {\ frac {ac} {ad}} \ cdot {\ frac {bd} {bc}}}

Essa quantidade é invariante por homografias do plano , mas depende da ordem dos quatro números considerados.

Por exemplo, a proporção cruzada de pode valer a pena, dependendo da ordem considerada: ${\ displaystyle (m, 1,0, \ infty)}$

{\ displaystyle m, 1 / m, 1-m, 1-1 / m, 1 / (1-m), m / (m-1)}

Se tentarmos simetrizar esta expressão, obtemos uma quantidade que permanece uma invariante das transformações projetivas, mas não depende mais da ordem dos números:

{\ displaystyle j (m) = {\ frac {4} {27}} {\ frac {(1-m + m ^ {2}) ^ {3}} {m ^ {2} (1-m) ^ {2}}}}

que chamamos de j -invariante. Esta invariância é um primeiro índice da ligação entre a variação j e o grupo modular .

j -invariante das curvas elípticas

Deixe X ser um não singular curva elíptica em , de forma Weierstrass : ${\ mathbb C} P ^ {1}$

{\ displaystyle X: y ^ {2} = x ^ {3} + q_ {2} x + q_ {3}}

tendo por discriminante . ${\ displaystyle \ Delta = -4q_ {2} ^ {3} -27q_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

O j -invariante associado é

{\ displaystyle j = 1728 {\ frac {-4q_ {2} ^ {3}} {\ Delta}}}

A variação- j é um mapa sobrejetivo, que fornece uma bijeção entre as classes de isomorfismo das curvas elípticas no plano complexo e os números complexos.

A noção de j -invariante generaliza para curvas trigonais .

Referências

( fr ) John Horton Conway e Simon Norton , “ Monstrous moonshine ” , Bulletin of the London Mathematical Society , vol. 11, n o 3,1979, p. 308-339 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.308 , Matemática Comentários 0554399 )
(it) Felix Klein , “ Sull 'equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. » , Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser , vol. 10, n o 21877
(de) Felix Klein , “ Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades ” , Math. Ann. , vol. 14, 1878-1879, p. 111-172
(pt) Andrew Ogg , "Modular Functions", em The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979 , Amer. Matemática. Soc.,1980, p. 521-532
(pt) Tito Piezas III e Eric Weisstein. Função-j , MathWorld