L'Arénaire ( grego antigo : Αρχιμήδης Ψαµµίτης, Archimedes Psammites ) é uma obra de Arquimedes na qual ele tenta determinar um limite superior para o número de grãos de areia que poderiam preencher o universo . Para fazer isso, ele é levado a inventar uma maneira de descrever números extremamente grandes e a obter uma estimativa do tamanho do universo.
Também conhecido pelo título latino de Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli (de arena que significa areia), e em inglês pelo título mais revelador de The Sand Reckoner (o contador de areia), este texto é dirigido ao rei de Siracusa Gelon , c . 230 AC DE ANÚNCIOS; é provavelmente a obra mais acessível de Arquimedes . Com cerca de dez páginas, pode ser vista, em certo sentido, como a primeira publicação científica a ser acadêmica e popular .
Arquimedes começa inventando um sistema para designar grandes números . O sistema de numeração em uso na época permitia que os números fossem expressos em uma miríade ( μυριάς - dez mil); usando a própria palavra "miríade", esse sistema pode ser imediatamente estendido para números de nomes até uma miríade de miríades, ou seja, cem milhões (10 8 ). Arquimedes chamou os números de até 10 8 de "números primos" (ou da primeira octade), e chamou de 10 8 a si mesmo de "a unidade dos segundos números". Os múltiplos desta unidade são chamados de segundos números e se estendem ao produto desta unidade por si só (portanto, uma miríade de miríades de vezes), ou seja, até 10 8 × 10 8 = 10 16 . Esse número é chamado de "a unidade dos terceiros números", cujos múltiplos serão os terceiros (ou terceiros octade) números e assim por diante. Arquimedes nomeia os números dessa maneira até atingir a unidade de 10 8 octade, ou seja .
Embora esses números sejam de longe suficientes para a contagem que ele propôs, Arquimedes continua a descrição de seu sistema da seguinte forma: o conjunto de números que ele acabou de definir é chamado de "números do primeiro período", e o maior ,, serve como uma unidade para o "segundo período", que é construída de forma semelhante ao primeiro. Archimedes continua sua descrição até atingir o 10 8º período e, assim, acabar dando um nome para o número gigantesco
que é escrito, no sistema decimal, como um 1 seguido por oitenta bilhar (80 × 10 15 ) de zeros.
O sistema de Arquimedes é essencialmente um sistema de notação posicional de base 108 , tanto mais notável quanto os gregos usavam um sistema muito mais simples , baseado em seu alfabeto, e não permitindo ultrapassar uma miríade.
Arquimedes descobriu e também provou nesta ocasião o acréscimo da lei dos expositores , necessária para manipular os poderes do 10.
Para obter uma estimativa do número de grãos de areia necessários para preencher o Universo, Arquimedes deve primeiro estimar o tamanho do Universo, como era conhecido na época. Ele usa para isso o modelo heliocêntrico de Aristarco de Samos (esta obra de Aristarco está perdida; a obra de Arquimedes é uma das poucas referências à sua teoria que permanece). A imensidão deste modelo vem do fato de que os gregos eram incapazes de observar paralaxes estelares , o que implicava que elas deveriam ser extremamente pequenas e, portanto, que as estrelas deveriam estar localizadas a distâncias muito grandes da Terra (ao assumir que o heliocentrismo era verdadeiro).
Aristarco não deu de fato uma estimativa das distâncias das estrelas. Arquimedes, portanto, teve que fazer uma hipótese sobre este assunto: ele optou por admitir que o Universo é esférico, e que a proporção de seu diâmetro para a órbita da Terra em torno do Sol é a mesma que a do último diâmetro. Terra.
Para obter uma marcação, Arquimedes superestimou bastante seus dados, admitindo:
Ele então calcula (usando outros aumentos ao fazê-lo) que o diâmetro do Universo não pode exceder 10 14 estágios (cerca de 2 anos-luz ), e que 1063 grãos de areia seriam suficientes para preenchê-lo.
Ao longo do caminho, Arquimedes teve que se envolver em experimentos interessantes. Assim, para estimar o diâmetro angular do Sol, ele levou em consideração o tamanho finito da pupila do olho, que é sem dúvida o primeiro exemplo de um experimento em psicofísica , sendo o ramo da psicologia interessado nos mecanismos de percepção, o cujo desenvolvimento é geralmente atribuído a Hermann von Helmholtz .
(en) Gillian Bradshaw, The Sand-Reckoner , Forge (2000), 348pp, ( ISBN 0-312-87581-9 ) .