Método grad
No final do XIX ° século nós sabemos a equação de Boltzmann que governa a dinâmica do meio gasoso na escala microscópica e Euler e equações de Navier-Stokes para o nível macroscópico. Mover-se de uma escala para outra é parte do sexto problema de Hilbert . David Hilbert , autor das declarações dos principais problemas considerados no final do XIX ° século lançou as bases de um método como um desenvolvimento que leva seu nome (1912). Foi só alguns anos que Sydney Chapman e David Enskog propuseram simultânea e independentemente em 1916 e 1917 uma solução para este problema por um método de perturbação que consiste em definir a solução na forma de uma série de funções de distribuição em função de uma " pequeno parâmetro ”assimilável ao número de Knudsen .
Harold Grad em 1949 propôs uma abordagem alternativa que consiste em buscar a solução pelo método dos momentos da função de distribuição. A equação de Boltzmann é multiplicada por ( é a velocidade microscópica da equação de Boltzmann e o produto tensorial) e integrada na velocidade. Nesse tipo de método, a equação relativa ao enésimo momento mostra o (n + 1) enésimo . Portanto, é necessário fazer uma suposição para “fechar” o sistema. Grad assume a solução expressa por uma série truncada de polinômios tensores de Eremita . David Levermore mais recentemente (1996) propôs um fechamento que usa uma propriedade geral: a solução maximiza a entropia do sistema de férmions que são as partículas do meio.
m,mv,mv⊗v,mv⊗v⊗v...{\ displaystyle m, m \, \ mathbf {v}, m \, \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}, m \, \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf { v} ...}v{\ displaystyle \ mathbf {vb}}⊗{\ displaystyle \ otimes}
Essas formulações da mecânica dos fluidos não tiveram um desenvolvimento significativo porque não fornecem nenhuma vantagem sobre as equações de Navier-Stokes.
Equações de evolução microscópica e macroscópica
Nós nos limitamos a um ambiente que compreende uma única espécie.
Nível microscópico
Denotamos a função de distribuição estatística da velocidade no instante no ponto para a partícula (átomo ou molécula) de massa . O número provável de partículas no volume , velocidades neste instante é . A distribuição estatística é, portanto, medida em s 3 m −6 .
f(x,v,t){\ displaystyle f (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}, t)}v{\ displaystyle \ mathbf {vb}}t{\ displaystyle t}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}m{\ displaystyle m}[x,x+dx]{\ displaystyle [\ mathbf {x}, \ mathbf {x} + \ mathrm {d} \ mathbf {x}]}[v,v+dv]{\ displaystyle [\ mathbf {v}, \ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v}]}fdxdv{\ displaystyle f \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v}}f{\ displaystyle f}
A equação de Boltzmann está escrita
∂f∂t+v⋅∇f=∑jQ(f,f){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f = \ sum _ {j} Q (f, f)}onde , o operador (ou kernel) de colisão, é um operador quadrático integral descrito a seguir, dando o efeito das colisões que se suporá elásticas para simplificar o problema: nenhuma troca entre os graus de liberdade internos e a translação. A viscosidade volumétrica que resulta deste tipo de troca e que só tem interesse nos problemas de propagação do som é, portanto, excluída.
Q{\ displaystyle Q}
Colisão elástica
As velocidades antes da interação estão e em um quadro de referência galileu . Essas velocidades são válidas e após interação. Colocamo-nos num sistema centrado no baricentro que tem uma velocidade constante devido à conservação do momento. Neste sistema, portanto galileu, a velocidade inicial da partícula é a velocidade relativa . Por simetria podemos dizer que a trajetória estará contida no plano que contém a origem e . Escolhemos uma referência como (veja a figura). Neste quadro de referência, o desvio é uma função do parâmetro de impacto , da velocidade relativa e do potencial de interação que se supõe depender apenas da distância entre as duas partículas em interação. Se essa suposição for rigorosa para a interação entre dois átomos, pode-se considerá-la utilizável para duas moléculas: o potencial é então um potencial médio estatístico.
veu{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}vj{\ displaystyle \ mathbf {vb} _ {j}}veu′{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} '}vj′{\ displaystyle \ mathbf {vb} _ {j} '}j{\ displaystyle j}geuj=veu-vj{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij} = \ mathbf {v} _ {i} - \ mathbf {v} _ {j}}geuj{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}Ω=geuj||geuj||=[1,0,0]{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ frac {\ mathbf {g} _ {ij}} {|| \ mathbf {g} _ {ij} ||}} = [1,0,0]}θeuj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}b{\ displaystyle b}geuj{\ displaystyle g_ {ij}}
A direção da saída da interação é definida por . As velocidades finais podem ser calculadas a partir das seguintes considerações:
Ω′=g′euj||g′euj||{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega '} = {\ frac {\ mathbf {g'} _ {ij}} {|| \ mathbf {g '} _ {ij} ||}}}
- a conservação do momento na interação envolve
veu′+vj′=veu+vj{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} '+ \ mathbf {v} _ {j}' = \ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {v} _ {j}}- a velocidade relativa tem um módulo constante devido à conservação de energia, portanto ougeuj{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}geuj′=geuj{\ displaystyle g_ {ij} '= g_ {ij}}
|veu′-vj′|=|veu-vj|{\ displaystyle | \ mathbf {v} _ {i} '- \ mathbf {v} _ {j}' | = | \ mathbf {v} _ {i} - \ mathbf {v} _ {j} |}As velocidades após a interação são, portanto,
veu′(b,g)=veu-(geuj⋅Ω′)Ω′{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} '(b, g) = \ mathbf {v} _ {i} - (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega'}) \, \ mathbf {\ Omega '}}
vj′(b,g)=vj+(geuj⋅Ω′)Ω′{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j} '(b, g) = \ mathbf {v} _ {j} + (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega'}) \, \ mathbf {\ Omega '}}
Além disso, a conservação do momento angular durante a interação leva a .
b′=b{\ displaystyle b '= b}
O sistema que descreve a colisão é reversível. O teorema de Liouville permite escrever
dveu′dvj′=dveudvj{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i} '\, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}' = \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}}O núcleo de colisão
O número provável de partículas que cruzam a área por unidade de tempo é . Eles interagem com o número provável de partículas no volume elementar . O número de partículas que desaparecem da estatística por unidade de tempo está com
2πbdb{\ displaystyle 2 \, \ pi \, b \, \ mathrm {d} b}f(vj)geuj2πbdbdvj{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) \, g_ {ij} \, 2 \, \ pi \, b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d} \ mathbf {v } _ {j}} f(veu)drdveu{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {i}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}}Θeuj-drdveu{\ displaystyle \ Theta _ {ij} ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}}
Θeuj-=2π∫v∫0∞f(veu)f(vj)geujbdbdvj{\ displaystyle \ Theta _ {ij} ^ {-} = 2 \ pi \ int _ {\ mathbf {v}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (\ mathbf {v} _ {i}) f (\ mathbf {v} _ {j}) \, g_ {ij} \, b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}}Contamos da mesma forma a quantidade de partículas que aparecem
Θeuj+=2π∫v∫0∞f(veu′)f(vj′)geuj′b′db′dvj′{\ displaystyle \ Theta _ {ij} ^ {+} = 2 \ pi \ int _ {\ mathbf {v}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (\ mathbf {v} _ {i} ' ) f (\ mathbf {v} _ {j} ') \, g_ {ij}' \, b '\, \ mathrm {d} b' \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j} '}Levando em consideração as relações dadas acima para a colisão, o operador de colisão é escrito
Q(f,f)=Θeuj+-Θeuj-=2π∫v∫0∞[f(veu′)f(vj′)-f(veu)f(vj)]geujbdbdvj{\ displaystyle Q (f, f) = \ Theta _ {ij} ^ {+} - \ Theta _ {ij} ^ {-} = 2 \ pi \ int _ {\ mathbf {v}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} [f (\ mathbf {v} _ {i} ') f (\ mathbf {v} _ {j}') - f (\ mathbf {v} _ {i}) f (\ mathbf {v} _ {j})] \, g_ {ij} \, b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}}Essa equação é chamada de equação de Wang Chang e Uhlenbeck .
Pode-se dar uma formulação equivalente, introduzindo a seção transversal diferencial definida porσeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}
2πbdb=2πσeujpecadoθeujdθeuj=σeujdΩ{\ displaystyle 2 \, \ pi \, b \, \ mathrm {d} b = 2 \, \ pi \, \ sigma _ {ij} \ sin \ theta _ {ij} \, \ mathrm {d} \ theta _ {ij} = \ sigma _ {ij} \, \ mathrm {d} \ Omega}de onde
Q(f,f)=∫v∫4π[f(veu′)f(vj′)-f(veu)f(vj)]geujσeujdΩ{\ displaystyle Q (f, f) = \ int _ {\ mathbf {v}} \ int _ {4 \ pi} [f (\ mathbf {v} _ {i} ') f (\ mathbf {v} _ {j} ') - f (\ mathbf {v} _ {i}) f (\ mathbf {v} _ {j})] \, g_ {ij} \, \ sigma _ {ij} \, \ mathrm { d} \ mathbf {\ Omega}}Nível macroscópico
As variáveis
A equação de Boltzmann descreve a evolução das partículas no nível microscópico. No nível macroscópico, definimos as seguintes quantidades, funções de x e t
- a densidade da partícula |
não=∫vfdv{\ displaystyle n = \ int _ {\ mathbf {v}} f \, \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
- a densidade |
ρ=nãom{\ displaystyle \ rho = n \, m}
|
- velocidade média |
V=1não∫vvfdv{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {1} {n}} \ int _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {v} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
- energia interna |
e=∫v12mv2fdv{\ displaystyle e = \ int _ {\ mathbf {v}} {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
Fluxos
O fluxo de quantidade é, por definição, a quantidade , uma função de x e t
ψ{\ displaystyle \ psi}∫vψfdv{\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {v}} \ psi f \, \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
Ao observar o produto diádico , definimos os momentos de ordem 2 (tensor de pressão) e 3 (tensor de fluxo de energia), bem como as restrições usuais: pressão escalar e fluxo de calor vetorial
⊗{\ displaystyle \ otimes}
- tensor de pressão |
peuj=∫vmv⊗vfdv{\ displaystyle p_ {ij} = \ int _ {\ mathbf {v}} m \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} f \, d \ mathbf {v}}
|
que representa o fluxo de momentum.
|
- fluxo do tensor de pressão |
peujk=∫vmv⊗v⊗vfdv{\ displaystyle p_ {ijk} = \ int _ {\ mathbf {v}} m \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
- tensor de fluxo de energia |
qeuj=∫v12mv2v⊗vfdv{\ displaystyle q_ {ij} = \ int _ {\ mathbf {v}} {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} f \ mathrm {d } \ mathbf {vb}}
|
fluxo de calor
|
Em particular, as quantidades usuais podem ser extraídas
- pressão escalar |
p=13∫vmv2fdv{\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} \ int _ {\ mathbf {v}} mv ^ {2} fd \ mathbf {v}}
|
definido a partir do traçado do tensor de pressão.
|
- vetor de fluxo de calor |
qeu=∫v12mv2vfdv{\ displaystyle q_ {i} = \ int _ {\ mathbf {v}} {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ mathbf {v} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
contração do tensor de fluxo de energia.
|
Nós definimos a temperatura a partir da equação de estado p=nãokT{\ displaystyle p = n \, k \, T}
Equações de momentos da função de distribuição
A equação de Boltzmann é multiplicada por então e integrada em velocidade. Obtemos o seguinte sistema restringindo-nos às quantidades , ou seja 1 + 3 + 6 + 3 = 13 quantidades independentes ("método dos 13 momentos")m{\ displaystyle m}1,v,v⊗v,v⊗v⊗v...{\ displaystyle 1, \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} ...}ρ,v,P,q{\ displaystyle \ rho, \ mathbf {v}, {\ mathsf {P}}, \ mathbf {q}}
∂ρ∂t+∂(ρveu)∂xeu=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {i})} {\ partial x_ {i}}} = 0}∂ρveu∂t+∂(ρveuvj+peuj)∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho v_ {i}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial (\ rho v_ {i} v_ {j} + p_ {ij})} {\ parcial x_ {j}}} = 0}∂peuj∂t+∂(peujk+peujvk)∂xk+pkeu∂vj∂xk+pkj∂veu∂xk=Peuj{\ displaystyle {\ frac {\ parcial p_ {ij}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial (p_ {ijk} + p_ {ij} v_ {k})} {\ parcial x_ {k} }} + p_ {ki} {\ frac {\ parcial v_ {j}} {\ parcial x_ {k}}} + p_ {kj} {\ frac {\ parcial v_ {i}} {\ parcial x_ {k} }} = P_ {ij}}∂qeu∂t+∂(qeuj+qeuvj)∂xj+peujk∂vj∂xk+qj∂veu∂xj-pkeuρ∂pkj∂xj-12prrρ∂peuj∂xj=Qeu{\ displaystyle {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (q_ {ij} + q_ {i} v_ {j})} {\ partial x_ {j} }} + p_ {ijk} {\ frac {\ parcial v_ {j}} {\ parcial x_ {k}}} + q_ {j} {\ frac {\ parcial v_ {i}} {\ parcial x_ {j} }} - {\ frac {p_ {ki}} {\ rho}} {\ frac {\ partial p_ {kj}} {\ partial x_ {j}}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {p_ {rr}} {\ rho}} {\ frac {\ parcial p_ {ij}} {\ parcial x_ {j}}} = Q_ {i}}onde as quantidades e correspondem ao kernel de colisãoPeuj{\ displaystyle P_ {ij}}Qeu{\ displaystyle Q_ {i}}
Peuj=2π∫veu∫vj∫0∞m(veu′vj′-veuvj)f(veu)f(vj)gbdbdveudvj{\ displaystyle P_ {ij} = 2 \ pi \ int _ {v_ {i}} \ int _ {v_ {j}} \ int _ {0} ^ {\ infty} m \, (v '_ {i} v '_ {j} -v_ {i} v_ {j}) f (v_ {i}) f (v_ {j}) \, g \, b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d } v_ {i} \ mathrm {d} v_ {j}}Qeu=2π∫veu∫vj∫0∞12m(v′2vj′-v2vj)f(veu)f(vj)gbdbdveudvj{\ displaystyle Q_ {i} = 2 \ pi \ int _ {v_ {i}} \ int _ {v_ {j}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} m \, (v '^ {2} v' _ {j} -v ^ {2} v_ {j}) f (v_ {i}) f (v_ {j}) \, g \, b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d} v_ {i} \ mathrm {d} v_ {j}}Como em qualquer sistema de momento, este não é fechado: não há equação para p ijk . Portanto, é necessário "fechar" o sistema por uma hipótese ad hoc .
Método grad
Neste método, procuramos a função de distribuição na forma de uma expansão em série de polinômios tensores de Hermite negligenciando alguns dos termos de segunda ordem .
noeujkHeujk{\ displaystyle a_ {ijk} H_ {ijk}}
f=f(0)(noH+noeuHeu+12noeujHeuj+110norreuHsseu){\ displaystyle f = f ^ {(0)} \ left (aH + a_ {i} H_ {i} + {\ frac {1} {2}} a_ {ij} H_ {ij} + {\ frac {1 } {10}} a_ {rri} H_ {ssi} \ right)}onde f (0) é a distribuição Maxwelliana
f(0)=não(mkT)32ω(ξ),ω(ξ)=e-ξ22(2π)32{\ displaystyle f ^ {(0)} = n \ left ({\ frac {m} {kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ omega (\ xi) \ ,, \ qquad \ omega (\ xi) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}}} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}}} }}esta expressão sendo aplicável a todos os componentes
ξeu=mkTveu{\ displaystyle \ xi _ {i} = {\ sqrt {\ frac {m} {kT}}} v_ {i}}Polinômios de eremita são definidos por
Heu1eu2...euNÃO=(-1)NÃOω∂NÃOω∂ξ1∂ξ2...∂ξNÃO{\ displaystyle H_ {i_ {1} i_ {2} ... i_ {N}} = {\ frac {(-1) ^ {N}} {\ omega}} {\ frac {\ parcial ^ {N} \ omega} {\ partial \ xi _ {1} \ partial \ xi _ {2} ... \ partial \ xi _ {N}}}}Eles são ortogonais com o peso ω
∫ωHeu1eu2...euNÃOHj1j2...jM=δNÃOM(δeu1j1δeu2j2...δeuNÃOjNÃO+...){\ displaystyle \ int \ omega H_ {i_ {1} i_ {2} ... i_ {N}} H_ {j_ {1} j_ {2} ... j_ {M}} = \ delta _ {NM} (\ delta _ {i_ {1} j_ {1}} \ delta _ {i_ {2} j_ {2}} ... \ delta _ {i_ {N} j_ {N}} + ...)}o termo com o segundo membro compreendendo todas as permutações possíveis em j.
Os primeiros polinômios são
H(ξ)=1Heu(ξ)=ξeuHeuj(ξ)=ξeuξj-δeujHeujk(ξ)=ξeuξjξk-(ξeuδjk+ξjδeuk+ξkδeuj){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} H (\ xi) & = & 1 \\ [0.6em] H_ {i} (\ xi) & = & \ xi _ {i} \\ [0.6em] H_ {ij} (\ xi) & = & \ xi _ {i} \ xi _ {j} - \ delta _ {ij} \\ [0,6em] H_ {ijk} (\ xi) & = & \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ xi _ {k} - (\ xi _ {i} \ delta _ {jk} + \ xi _ {j} \ delta _ {ik} + \ xi _ {k} \ delta _ {ij}) \ end {array}}}Ao adiar o desenvolvimento nas equações do sistema, obtemos
no1=1,noeu=0,norr=0,noeuj=peujp,norreu=2qeupmkT{\ displaystyle a_ {1} = 1 \ ,, \ qquad a_ {i} = 0 \ ,, \ qquad a_ {rr} = 0 \ ,, \ qquad a_ {ij} = {\ frac {p_ {ij}} {p}} \ ,, \ qquad a_ {rri} = {\ frac {2q_ {i}} {p}} {\ sqrt {\ frac {m} {kT}}}}Define-se qual é o defletor do tensor de pressão (tensor de cisalhamento).
peuj′=peuj-13prrδeuj{\ displaystyle p '_ {ij} = p_ {ij} - {\ frac {1} {3}} p_ {rr} \ delta _ {ij}}
A função de distribuição de Grad é
f=f(0){1+2β2ρ[peuj′veuvj+45qeuveu(βv2-52)]},β=m2kT{\ displaystyle f = f ^ {(0)} \ left \ {1 + {\ frac {2 \ beta ^ {2}} {\ rho}} \ left [p '_ {ij} v_ {i} v_ { j} + {\ frac {4} {5}} q_ {i} v_ {i} \ left (\ beta v ^ {2} - {\ frac {5} {2}} \ right) \ right] \ right \} \ ,, \ qquad \ beta = {\ frac {m} {2kT}}}Podemos então calcular os momentos de alta ordem (fechamento do sistema) a partir das relações de definição
peujk=25(qeuδjk+qjδeuk+qkδeuj)qeuj=5p22ρδeuj+7p2ρpeuj′{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} p_ {ijk} & = & {\ frac {2} {5}} \ left (q_ {i} \ delta _ {jk} + q_ {j} \ delta _ {ik} + q_ {k} \ delta _ {ij} \ right) \\ [0.6em] q_ {ij} & = & {\ frac {5p ^ {2}} {2 \ rho}} \ delta _ { ij} + {\ frac {7p} {2 \ rho}} p '_ {ij} \ end {array}}}A partir desta solução, podemos calcular os coeficientes de transporte: viscosidade dinâmica e condutividade das integrais de colisão . Esses coeficientes são iguais aos resultantes do método Chapman-Enskog .
Notas e referências
Notas
-
Também podemos nos limitar a 10 momentos correspondentes a : a última equação do sistema é ignorada: não há fluxo de calor. Obtemos então o equivalente das equações de Euler .ρ,v,P{\ displaystyle \ rho, \ mathbf {v}, {\ mathsf {P}}}
-
No método Chapman-Enskog escolhemos pré-multiplicar a equação de Boltzmann por invariantes colisionais e todos os segundos membros são zero. Aqui, apenas os primeiros termos m e m v são invariantes em qualquer colisão.
Referências
-
(em) Sydney Chapman e Thomas George Cowling , The Mathematical Theory of Non-uniform Gases: uma conta da teoria cinética da viscosidade, condução térmica e difusão em gases , Cambridge / New York / Port Chester etc. Cambridge University Press ,1991, 422 p. ( ISBN 0-521-40844-X )
-
(em) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss e Robert Byron Bird , Teoria Molecular de Gases e Líquidos , John Wiley and Sons ,1966( ISBN 978-0-471-40065-3 )
-
(en) Gilberto Medeiros Kremer , “ Os Métodos de Chapman-Enskog e Grad e Aplicações ” , RTO-EN-AVT 194 , 2011 [1]
-
(em) Harold Grad , " On the Kinetic Theory of Gases Rarefied " , Communications is Pure and Applied Mathematics , vol. 2, n o 4,1949
-
(em) Charles David Levermore , " Timing Closure Hierarchies for Kinetic Theories " , Journal of Statistical Physics , vol. 83,1996( leia online )
-
Hassina Zeghlache, " Bases of Physical Mechanics " , na UNAM
Veja também
Artigos relacionados
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