Método Chapman-Enskog

As velocidades antes da interação estão e em um quadro de referência galileu . Os índices representam indiferentemente a mesma espécie ou duas espécies diferentes. Essas velocidades são válidas e após interação. Colocamo-nos num sistema centrado no baricentro que tem uma velocidade constante devido à conservação do momento. Neste sistema, portanto galileu, a velocidade inicial da partícula é a velocidade relativa . Por simetria podemos dizer que a trajetória estará contida no plano que contém a origem e . Escolhemos uma referência como (veja a figura). Neste quadro de referência, o desvio é uma função do parâmetro de impacto , da velocidade relativa e do potencial de interação que se supõe depender apenas da distância entre as duas partículas em interação. Se essa suposição for rigorosa para a interação entre dois átomos, pode-se considerá-la utilizável para duas moléculas: o potencial é então um potencial médio estatístico. v→eu{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {i}}v→j{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {j}}v→eu′{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {i} '}v→j′{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {j} '}j{\ displaystyle j}geuj=v→eu-v→j{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij} = {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {v}} _ {j}}geuj{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}Ω=geuj||geuj||=(1,0,0){\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ frac {\ mathbf {g} _ {ij}} {|| \ mathbf {g} _ {ij} ||}} = (1,0,0)}θeuj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}b{\ displaystyle b}geuj{\ displaystyle g_ {ij}}

A direção da saída da interação é definida por . As velocidades finais podem ser calculadas a partir das seguintes considerações: Ω′=g′euj||g′euj||{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega '} = {\ frac {\ mathbf {g'} _ {ij}} {|| \ mathbf {g '} _ {ij} ||}}}

• conservação do momento na interação implica que v→eu′+v→j′=v→eu+v→j.{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i} '+ {\ vec {v}} _ {j}' = {\ vec {v}} _ {i} + {\ vec {v}} _ { j}.}

• a velocidade relativa tem um módulo constante devido à conservação de energia, portanto ougeuj{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {ij}}geuj′=geuj{\ displaystyle g_ {ij} '= g_ {ij}} |v→eu′-v→j′|=|v→eu-v→j|.{\ displaystyle | {\ vec {v}} _ {i} '- {\ vec {v}} _ {j}' | = | {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {v} } _ {j} |.} As velocidades após a interação são, portanto: {v→eu′(b,g)=v→eu-(geuj⋅Ω′)Ω′v→j′(b,g)=v→j+(geuj⋅Ω′)Ω′.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {v}} _ {i} '(b, g) & = {\ vec {v}} _ {i} - (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega '}) \, \ mathbf {\ Omega'} \\ {\ vec {v}} _ {j} '(b, g) & = {\ vec {v}} _ {j} + (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega '}) \, \ mathbf {\ Omega'} \ end {cases}}.}

Além disso, a conservação do momento angular durante a interação leva a . O sistema que descreve a colisão é reversível. O teorema de Liouville permite escrever:b′=b{\ displaystyle b '= b}

O número provável de partículas que cruzam a área por unidade de tempo é . Eles interagem com o número provável de partículas no volume elementar . O número de partículas que desaparecem da estatística por unidade de tempo é com:2πbdb{\ displaystyle 2 \, \ pi \, b \, \ mathrm {d} b}f(v→j)geuj2πbdbdv→j{\ displaystyle f ({\ vec {v}} _ {j}) \ mathbf {g} _ {ij} 2 \ pi b \; \ mathrm {d} b \; \ mathrm {d} {\ vec {v }} _ {j}} f(v→eu)drdv→eu{\ displaystyle f ({\ vec {v}} _ {i}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}Θeuj-drdv→eu{\ displaystyle \ Theta _ {ij} ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}

σeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}

Nível macroscópico

A equação de Boltzmann descreve a evolução das partículas no nível microscópico. Para descrever cada uma das espécies no nível macroscópico e todas elas, definimos: eu{\ displaystyle i}

• densidade de partícula  ;não=∑eunãoeu=∑eu∫v→euf(x→,v→eu,t)dv→eu{\ displaystyle n = \ sum _ {i} n_ {i} = \ sum _ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• densidade ;ρ=∑euρeu=∑eunãoeumeu=∑eumeu∫v→euf(x→,v→eu,t)dv→eu{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} \ rho _ {i} = \ sum _ {i} n_ {i} m_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ { eu}}
• velocidade média ;v→¯=1nãoeu∫v→euv→euf(x,v→eu,t)dv→eu{\ displaystyle {\ overline {\ vec {v}}} = {\ frac {1} {n_ {i}}} \ int _ {{{\ vec {v}} _ {i}} {\ vec {v }} _ {i} f (x, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• energia interna ;eeu=∫v→12meu‖v→eu‖2f(x,v→eu,t)dv→eu{\ displaystyle e_ {i} = \ int _ {\ vec {v}} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} _ {i} \ Green ^ {2 } f (x, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}

Podemos então definir valores para todas as espécies, a saber:

• a velocidade geral (velocidade baricêntrica de todas as partículas);V→=1ρ∑euρeuv→eu=1ρ∑euv→eumeu∫v→euf(x→,v→eu,t)dv→eu{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ frac {1} {\ rho}} \ sum _ {i} \ rho _ {i} {\ vec {v}} _ {i} = {\ frac { 1} {\ rho}} \ sum _ {i} {\ vec {v}} _ {i} m_ {i} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} f ({\ vec { x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {i}}
• a velocidade de difusão (quantidade cinemática );v→Deu=v→eu-V→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {Di} = {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {V}}}

Algumas variáveis ​​auxiliares (onde é o número de Avogadro ) NÃONO{\ displaystyle N_ {A}}

• a fração de volume  ;xeu=nãoeunão{\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {n_ {i}} {n}}}
• a fração de massa  ;vseu=ρeuρ{\ displaystyle c_ {i} = {\ frac {\ rho _ {i}} {\ rho}}}
• a massa molar , de valor médio ;meu=NÃONOmeu{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {i} = N_ {A} m_ {i}}m¯=∑euxeumeu{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {m}}} = \ sum _ {i} x_ {i} \ mathbf {m} _ {i}}

O fluxo da quantidade é, por definição, a quantidadeψeu{\ displaystyle \ psi _ {i}}

⊗{\ displaystyle \ otimes}

• fluxo de massa  ;J→eu=meu∫v→feuv→Deudv→Deu=ρeuv→Deu{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i} = m_ {i} \ int _ {\ vec {v}} f_ {i} {\ vec {v}} _ {Di} \; \ mathrm {d } {\ vec {vb}} _ {Di} = \ rho _ {i} {\ vec {v}} _ {Di}}
• o tensor de pressão , que representa o fluxo de momento. É simétrico por construção.Peu(x→,t)=∫v→eumeuv→Deu⊗v→Deuf(x→,v→eu,t)dv→Deu{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {i} ({\ vec {x}}, t) = \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} m_ {i} {\ vec {v} } _ {Di} \ otimes {\ vec {v}} _ {Di} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} { \ vec {vb}} _ {Di}}
• a pressão parcial , definida a partir do

peu=13∫v→eumeu‖v→Deu‖2f(x→,v→eu,t)dv→Deu{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {3}} \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} _ {Di } \ Vert ^ {2} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {Di}}

o fluxo de calor . Ele representa o fluxo interno de energia.q→eu=∫v→eu12meu‖v→Deu‖2v→Deuf(x→,v→eu,t)dv→Deu{\ displaystyle {\ vec {q}} _ {i} = \ int _ {{\ vec {v}} _ {i}} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} _ {Di} \ Vert ^ {2} {\ vec {v}} _ {Di} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) \ ; \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {Di}}

Os fluxos globais são obtidos simplesmente pela soma , bem como a pressão. Podemos então definir uma temperatura a partir da equação de estadoeu{\ displaystyle i}p=∑eupeu.{\ displaystyle p = \ sum _ {i} p_ {i}.}p=nãokT.{\ displaystyle p = nkT.}

Equações de evolução

Multiplicando cada uma das equações de Boltzmann sucessivamente por cada um dos invariantes colisionais e integrando sobre as velocidades e, se necessário, sobre as espécies, obtemos as equações de evolução macroscópica chamadas equações de Enskog. Observamos o

produto contratado .meu,meuv→,12meu‖v→‖2{\ displaystyle m_ {i}, m_ {i} {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Green {\ vec {v}} \ Green ^ {2}}:{\ displaystyle {\ textbf {:}}} {∂∂tρeu+∇⋅(ρeuv→+J→eu)=0ρ∂∂tv→+ρ(v→⋅∇)v→+∇⋅P=∂∂t(ρv→)+∇⋅(ρv→⊗v→)+∇⋅P=0∂∂t(ρe)+∇⋅(ρeV→)+∇⋅q→+∇⋅(P:V→)=0.{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} \ rho _ {i} + \ nabla \ cdot (\ rho _ {i} {\ vec {v}} + {\ vec {J}} _ {i}) = 0 \\\ rho {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} {\ vec {v}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = {\ dfrac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho {\ vec {v}}) + \ nabla \ cdot ( \ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}}) + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = 0 \\ {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho e ) + \ nabla \ cdot (\ rho e {\ vec {V}}) + \ nabla \ cdot {\ vec {q}} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {P} {\ textbf {:}} {\ vec {V}}) = 0 \ end {casos}}.} Todos os segundos membros são nulos por causa das leis de conservação: ∫v→ψeuQdv→=0,∀eu,∀ψ∈[meu,meuv→,12meu‖v→‖2].{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} \ psi _ {i} {\ mathcal {Q}} \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} = 0, \ quad \ forall i, \ ; \ forall \ psi \ in \ left [m_ {i}, m_ {i} {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Vert {\ vec {v}} \ Verde ^ {2} \ direita].} Obtém-se assim um sistema de evolução , e onde flui , e ainda por explicar. ρ{\ displaystyle \ rho}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}e{\ displaystyle e}J→eu{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i}}P{\ displaystyle \ mathbf {P}}q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}

Equação adimensional de Boltzmann

Assumimos um ambiente homogêneo (apenas uma espécie presente).

Para estimar a contribuição de cada termo na equação de Boltzmann, é necessário redimensioná- lo. Para isso define-se as seguintes quantidades de referência:

• a temperatura a partir da qual deduzimos uma velocidade de referência que é a

velocidade do som para um gás ideal  ;T∗{\ displaystyle T ^ {*}}no∗=γRT∗{\ displaystyle a ^ {*} = {\ sqrt {\ gamma RT ^ {*}}}}

o comprimento de referência macroscópico ligado ao problema com o qual é definido um tempo de referência ligado à propagação das ondas acústicas;eu∗{\ displaystyle L ^ {*}}t∗=eu∗no∗{\ displaystyle t ^ {*} = {\ frac {L ^ {*}} {a ^ {*}}}}

a pressão de referência com a qual definir uma densidade de referência e a quantidade  ;p∗{\ displaystyle p ^ {*}}ρ∗=p∗RT∗{\ displaystyle \ rho ^ {*} = {\ frac {p ^ {*}} {RT ^ {*}}}}f∗=ρ∗no∗3{\ displaystyle f ^ {*} = {\ frac {\ rho ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {3}}}}

uma velocidade de referência microscópica correspondente à velocidade média de uma partícula  ;vs∗=8kT∗mπ{\ displaystyle c ^ {*} = {\ sqrt {\ frac {8kT ^ {*}} {m \ pi}}}}

outra velocidade de referência microscópica correspondendo à velocidade relativa média entre duas partículas  ;g∗=vs∗2{\ displaystyle g ^ {*} = c ^ {*} {\ sqrt {2}}}

um comprimento de referência microscópico correspondente ao caminho livre médio, onde é a

seção transversal diferencial.eu∗=12σnão{\ displaystyle l ^ {*} = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} \ sigma n}}}σ{\ displaystyle \ sigma}

Se as variáveis reduzidas são agora definidos , , , , e , a equação de Boltzmann é:f~=ff∗{\ displaystyle {\ tilde {f}} = {\ frac {f} {f ^ {*}}}}t~=tt∗{\ displaystyle {\ tilde {t}} = {\ frac {t} {t ^ {*}}}}v→~=v→vs∗{\ displaystyle {\ tilde {\ vec {v}}} = {\ frac {\ vec {v}} {c ^ {*}}}}g~=gg∗{\ displaystyle {\ tilde {g}} = {\ frac {g} {g ^ {*}}}}b~=bσπ{\ displaystyle {\ tilde {b}} = {\ frac {b} {\ sqrt {\ frac {\ sigma} {\ pi}}}}}x→~=x→eu∗{\ displaystyle {\ tilde {\ vec {x}}} = {\ frac {\ vec {x}} {L ^ {*}}}}

NÃOStr∂f~∂t~+v→~⋅∇x~f~=1NÃOKnãovocêτ∗f∗Q(f,f){\ displaystyle N_ {Str} {\ frac {\ partial {\ tilde {f}}} {\ partial {\ tilde {t}}}} + {\ tilde {\ vec {v}}} \ cdot \ nabla _ {\ tilde {x}} {\ tilde {f}} = {\ frac {1} {N_ {Knu}}} {\ frac {\ tau ^ {*}} {f ^ {*}}} {\ mathcal {Q}} (f, f)} ou

• NÃOSr=eu∗vs∗t∗{\ displaystyle N_ {Sr} = {\ frac {L ^ {*}} {c ^ {*} t ^ {*}}}}é o número de Strouhal que pondera a variação temporal do sistema,
• NÃOKnãovocê=eu∗eu∗{\ displaystyle N_ {Knu} = {\ frac {l ^ {*}} {L ^ {*}}}}é o número de Knudsen cujo inverso pondera o termo de colisão, daí a tendência de retornar ao equilíbrio. Na prática, para que as equações do contínuo sejam válidas , normalmente.NÃOKnãovocê<0,01{\ displaystyle N_ {Knu} <0,01}

Formulação da solução

Escrevemos a solução como uma série usando um parâmetro da mesma ordem de magnitude que o

número de Knudsen :Λ{\ displaystyle \ Lambda} f(x→,v→eu,t)=f(x→,v→eu,t)(0)+Λf(x→,v→eu,t)(1)+Λ2f(x→,v→eu,t)(2)+...{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) = f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} + \ Lambda f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)} + \ Lambda ^ {2} f ( {\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(2)} + \ ldots} f(x→,v→eu,t){\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t)}respeitando as leis de conservação, cada um dos termos de desenvolvimento também deve respeitá-los. Daí as restrições na solução: ∫v→ψf(x→,v→eu,t)(k)dv→=0,∀eu,∀k,∀ψ∈[m,mv→,12m‖v→‖2].{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} \ psi f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(k)} \, \ mathrm { d} {\ vec {v}} = 0, \ quad \ forall i, \; \ forall k, \; \ forall \ psi \ in [m, m {\ vec {v}}, {\ frac {1} {2}} m \ Green {\ vec {v}} \ Green ^ {2}].} Carregamos essa aproximação na equação de Boltzmann e separamos os termos correspondentes a cada potência de . Λ{\ displaystyle \ Lambda}

Em ordem zero

Nós simplesmente obtemos

∑jQ(f(x→,v→eu,t)(0),f(x→,v→j,t)(0))=0{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0) }, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} {\ Bigr)} = 0} Esta equação é verificada se todos os termos que a compõem são zero, em particular Q(f(x→,v→eu,t)(0),f(x→,v→j,t)(0))=0,{\ displaystyle {\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)}, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} {\ Bigr)} = 0,} que implica f(x→,v→eu,t)(0)(v→′)f(x→,v→eu,t)(0)(C→′)=f(x→,v→eu,t)(0)(v→)f(x→,v→eu,t)(0)(C→),{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}} ') f ({\ vec {x }}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}} ') = f ({\ vec {x}}, {\ vec {v} } _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}}) f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {( 0)} ({\ vec {w}}),} ou registro⁡f(x→,v→eu,t)(0)(v′→)+registro⁡f(x→,v→j,t)(0)(C→′)=registro⁡f(x→,v→eu,t)(0)(v→)+registro⁡f(x→,v→j,t)(0)(C→).{\ displaystyle \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v '}}) + \ log f ( {\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}} ') = \ log f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} ({\ vec {v}}) + \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0)} ({\ vec {w}}).} Portanto, é , portanto, um invariante colisional. Portanto, é escrito como uma combinação linear de invariantes canônicos colisionais:registro⁡f{\ displaystyle \ log f}registro⁡f(x→,v→eu,t)(0)=NOeumeu+B→eu⋅(meuv→eu)+VSeu12meu‖v→eu‖2{\ displaystyle \ log f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = A_ {i} m_ {i} + {\ vec {B }} _ {i} \ cdot (m_ {i} {\ vec {v}} _ {i}) + C_ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} \ Vert {\ vec { v}} _ {i} \ Green ^ {2}}

Ao introduzir esta expressão nas equações que definem as variáveis ​​macroscópicas, identificamos os parâmetros deste desenvolvimento e encontramos a lei de distribuição de velocidades de Maxwell , a saber:f(x→,v→eu,t)(0)=nãoeu(meu2πkT)32e-m12kT‖v→eu-v→‖2{\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = n_ {i} \ left ({\ frac {m_ {i}} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {m_ {1}} {2kT}} \ Vert {\ vec {v} } _ {i} - {\ vec {v}} \ Green ^ {2}}}

com . Os fluxos de difusão são zero, assim como o fluxo de calor . O tensor de pressão é reduzido ao seu traço onde está o tensor unitário. As equações macroscópicas correspondentes são as

equações de Euler . βeu=meu2kT{\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {m_ {i}} {2kT}}}J→eu{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i}}q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}P=peud{\ displaystyle \ mathbf {P} = p \ mathbf {Id}}eud{\ displaystyle \ mathbf {Id}}

Peça um

A ordem um revela uma equação integral de Fredholm para o desconhecido , a saber:f(x→,v→eu,t)(1){\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)}}

∂∂tf(x→,v→eu,t)(0)+v→⋅∇f(x→,v→eu,t)(0)=∑j[Q(f(x→,v→eu,t)(0),f(x→,v→j,t)(1))+Q(f(x→,v→eu,t)(1),f(x→,v→j,t)(0))]{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} + {\ vec {v}} \ cdot \ nabla f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)} = \ sum _ {j} \ left [{\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(0)}, f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(1)} {\ Bigr)} + ​​{\ mathcal {Q}} {\ Bigl (} f ({\ vec {x}} , {\ vec {v}} _ {i}, t) ^ {(1)}, f ({\ vec {x}}, {\ vec {v}} _ {j}, t) ^ {(0 )} {\ Bigr)} \ right]} A difícil resolução desta equação torna possível dar as várias quantidades desconhecidas das equações de Enskog que podem então ser assimiladas às equações de Navier-Stokes . O stream de transmissão

É obtido na forma de um sistema linear denominado

sistema Stefan-Maxwell : ∑j≠euxeuxjρDeu,j(J→jvsj-J→euvseu)=∇xeu+(xeu-vseu)∇registro⁡p+k→euT∇registro⁡T=deu+k→euT∇registro⁡T{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ sum _ {j \ neq i} {\ dfrac {x_ {i} x_ {j}} {\ rho \ mathbf {D} _ {i, j}}} \ left ({\ dfrac {{\ vec {J}} _ {j}} {c_ {j}}} - {\ dfrac {{{\ vec {J}} _ {i}} {c_ {i}} } \ right) & = & \ nabla x_ {i} + (x_ {i} -c_ {i}) \ nabla \ log p + {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ log T \ \ & = & \ mathbf {d} _ {i} + {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ log T \ end {array}}} onde vemos o coeficiente de difusão binário e o "coeficiente de difusão térmica multicomponente" (na verdade, um número adimensional) ligado aos coeficientes comuns (que não são coeficientes de difusão e que podem ser negativos) por:Deu,j(T,p){\ displaystyle \ mathbf {D} _ {i, j} (T, p)}k→euT(T,p,xeu){\ displaystyle {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} (T, p, x_ {i})}D→euT(T,p,xeu){\ displaystyle {\ vec {D}} _ {i} ^ {T} (T, p, x_ {i})} k→euT=∑j≠euxeuxjρDeuj(D→jTvsj-D→euTvseu).{\ displaystyle {\ vec {k}} _ {i} ^ {T} = \ sum _ {j \ neq i} {\ frac {x_ {i} x_ {j}} {\ rho \ mathbf {D} _ {ij}}} \ left ({\ frac {{\ vec {D}} _ {j} ^ {T}} {c_ {j}}} - {\ frac {{\ vec {D}} _ {i } ^ {T}} {c_ {i}}} \ right).} Para um meio que compreende espécies, a classificação desse sistema é desde então . Sua solução formal é:NÃO{\ displaystyle N}NÃO-1{\ displaystyle N-1}∑euJ→eu=0{\ displaystyle \ sum _ {i} {\ vec {J}} _ {i} = 0} J→eu=-ρM¯2∑j≠euMeuMjDeuj[∇xeu+(xeu-vseu)∇registro⁡p]-DeuT∇registro⁡T{\ displaystyle {\ vec {J}} _ {i} = - {\ frac {\ rho} {{\ overline {\ mathcal {M}}} ^ {2}}} \ sum _ {j \ neq i} {\ mathcal {M}} _ {i} {\ mathcal {M}} _ {j} D_ {ij} [\ nabla x_ {i} + (x_ {i} -c_ {i}) \ nabla \ log p ] - {\ mathcal {D}} _ {i} ^ {T} \ nabla \ log T} Encontramos os termos de difusão por gradiente de concentração, pressão e temperatura ( efeito Soret ). é o coeficiente de difusão multicomponente, solução de um sistema linear envolvendo coeficientes binários. Como esse sistema também é classificado, a solução não é única e inclui termos independentes. Geralmente escolhemos por uma questão de simetria. Essa escolha é arbitrária. Deuj(T,p,xeu){\ displaystyle D_ {ij} (T, p, x_ {i})}NÃO-1{\ displaystyle N-1}NÃO(NÃO-1)2{\ displaystyle {\ frac {N (N-1)} {2}}}Deueu=0{\ displaystyle D_ {ii} = 0}

Existem várias soluções aproximadas do sistema de Stefan-Maxwell que permitem obter uma expressão explícita do fluxo de difusão de forma próxima à lei de Fick , que só é exata para uma mistura binária.

O tensor de pressão

O tensor de pressão tem um formato clássico

P=peu-2µ(T,p,xeu)S{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = p {\ mathsf {I}} - 2 \ mu (T, p, x_ {i}) {\ mathsf {S}}}

onde está a unidade tensora e o tensor das tensões viscosas eu{\ displaystyle {\ mathsf {I}}}S{\ displaystyle {\ mathsf {S}}}

S=12[∇v→+(∇v→)t]-13(∇⋅v→)eu{\ displaystyle {\ mathsf {S}} = {\ frac {1} {2}} [\ nabla {\ vec {v}} + (\ nabla {\ vec {v}}) ^ {t}] - { \ frac {1} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \, {\ mathsf {I}}}

Um termo adicional aparece na pressão quando se leva em consideração as interações inelásticas. Sua influência é fraca ou mesmo totalmente desprezível para gases de baixa densidade. -η(∇⋅v→)eu{\ displaystyle - \ eta (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \, {\ mathsf {I}}}

Observe que a hipótese de Stokes é naturalmente justificada por esta abordagem.

Fluxo de calor

É dado por

q=-λ∇T+∑euρeueeuv→Deu+p∑eukeuTv→Deu{\ displaystyle \ mathbf {q} = - \ lambda \ nabla T + \ sum _ {i} \ rho _ {i} e_ {i} {{\ vec {v}} _ {D}} _ {i} + p \ sum _ {i} k_ {i} ^ {T} {{\ vec {v}} _ {D}} _ {i}}

λ(T,p,xeu){\ displaystyle \ lambda (T, p, x_ {i})}é a condutividade térmica. O último termo da equação é o corolário do efeito Soret e é chamado de efeito Dufour .

Os coeficientes de transporte

Os coeficientes de transporte são expressos na forma de sistemas lineares que envolvem quantidades do tipo que são desenvolvidas em

polinômios Sonine-Laguerre . Os coeficientes de expansão são expressos como uma função das integrais de colisão . Na prática, fica-se satisfeito com a primeira ordem para a expansão e as integrais de colisão são funções da temperatura tabulada por vários autores. Além disso, existem soluções aproximadas dos sistemas lineares, fornecendo os vários coeficientes de forma explícita. ∫v→F(Veu,feu(0))dv→{\ displaystyle \ int _ {\ vec {v}} F (V_ {i}, f_ {i} ^ {(0)}) d {\ vec {v}}} A função de distribuição

A função de distribuição é

feu(1)=feu(0)[1+1xeuv→eu⋅deu+beu:(∇⊗v→)+(Ceu2-52)v→eu⋅∇registro⁡T]{\ displaystyle f_ {i} ^ {(1)} = f_ {i} ^ {(0)} \ left [1 + {\ frac {1} {x_ {i}}} {\ vec {v}} _ {i} \ cdot \ mathbf {d} _ {i} + \ mathbf {b} _ {i}: (\ mathbf {\ nabla} \ otimes {\ vec {v}}) + \ left (W_ {i} ^ {2} - {\ frac {5} {2}} \ right) {\ vec {v}} _ {i} \ cdot \ nabla \ log T \ right]}

onde é fornecido no fluxo de transmissão e deu{\ displaystyle \ mathbf {d} _ {i}}

Ceu=meu2kTv→eu{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {i} = {\ sqrt {\ frac {m_ {i}} {2kT}}} {\ vec {v}} _ {i}} beu=2(Ceu⊗Ceu-Ceu2eu){\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = 2 \ left (\ mathbf {W} _ {i} \ otimes \ mathbf {W} _ {i} -W_ {i} ^ {2} \, {\ mathsf {I}} \ right)}

Esta função de distribuição é necessária para o cálculo da camada de Knudsen que fornece as condições da parede para as equações de Navier-Stokes.

Pedido dois

Aqui, novamente, obtemos uma integral de Fredholm para o desconhecido feu(2){\ displaystyle f_ {i} ^ {(2)}}

∂feu(1)∂t+v→⋅∇feu(1)=∑j[Q(feu(0),fj(2))+Q(feu(1),fj(1))+Q(feu(2),fj(0))]{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {(1)}} {\ partial t}} + {\ vec {v}} \ cdot \ nabla f_ {i} ^ {(1)} = \ soma _ {j} \ left [Q (f_ {i} ^ {(0)}, f_ {j} ^ {(2)}) + Q (f_ {i} ^ {(1)}, f_ {j} ^ {(1)}) + Q (f_ {i} ^ {(2)}, f_ {j} ^ {(0)}) \ direita]}

David Burnett propôs em 1935 uma solução para essa equação. Isto tem a desvantagem de não respeitando o teorema H . Arrumar parece ser um beco sem saída, com todas as variações oferecidas até agora não conseguindo resolver esse problema.

Notas e referências

Notas

1. Seria mais lógico definir um coeficiente de difusão térmica "real" .DeuTρ{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {D}} _ {i} ^ {T}} {\ rho}}}

Referências

1. (en) Sydney Chapman e Thomas George Carenagem , a teoria matemática dos gases não-uniformes: uma conta da teoria cinética de viscosidade, condução térmica, e de difusão dos gases , Cambridge / New York / Port Chester etc. , Cambridge University Press ,1991, 422  p. ( ISBN  0-521-40844-X )
2. (en) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss e Robert Byron Bird , Teoria Molecular de Gases e Líquidos , John Wiley and Sons ,1966( ISBN  978-0-471-40065-3 )
3. (en) Gilberto Medeiros Kremer , “  Os métodos de Chapman-Enskog e Grad e Aplicações  ” , RTO-EN-AVT 194 de 2011 [1]
4. Raymond Brun , Introdução à dinâmica de gases reactivos , Toulouse, Cépaduès ,2015, 402  p. ( ISBN  978-2-36493-190-9 )
5. (em) Charles David Levermore , "  Timing Closure Hierarchies for Kinetic Theories  " , Journal of Statistical Physics , vol.  83,1996( leia online )
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9. (en) Georges Duffa , Modelagem de Sistemas de Proteção Térmica Ablativa , Reston, VA, Série Educacional AIAA ,2013, 431  p. ( ISBN  978-1-62410-171-7 )
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11. Cédric Villani , Limites hidrodinâmicos da equação de Boltzmann , col.  “Seminário Bourbaki” ( n o  893 [2] ),2001

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