Polinômio de Laguerre

Em matemática , os polinômios de Laguerre , nomeados em homenagem a Edmond Laguerre , são as soluções normalizadas da equação de Laguerre :

{\ displaystyle x \, y '' + (1-x) \, y '+ n \, y = 0 \,}

que é uma equação diferencial linear homogênea de ordem 2 e é reescrita na forma de Sturm-Liouville :

${\ displaystyle - {{\ rm {d}} \ over {\ rm {d}} x} \ left (x {\ rm {e}} ^ {- x} {{\ rm {d}} y \ over {\ rm {d}} x} \ right) = n {\ rm {e}} ^ {- x} y.}$

Esta equação tem soluções não singulares apenas se $n$ for um número inteiro positivo . As soluções $L n$ formam uma série de polinômios ortogonais em $L 2$ (ℝ + , $e - x d x$ ), e a normalização é feita forçando-os a serem da norma 1, portanto formar uma família ortonormal . Eles até formam uma base de Hilbert de $L 2$ (ℝ + , $e - x d x$ ).

Esta sequência de polinômios pode ser definida pela fórmula de Rodrigues

{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ right).}

A sequência de polinômios de Laguerre é uma sequência de Sheffer .

Polinômios de Laguerre aparecem na mecânica quântica na parte radial da solução da equação de Schrödinger para um átomo para um elétron.

O coeficiente dominante de $L n$ é $(-1) n / n !$ . Os físicos geralmente usam uma definição de polinômios de Laguerre onde eles são multiplicados por $(-1) n n !$ , obtendo assim polinômios unitários .

Os primeiros polinômios

Aqui estão os primeiros polinômios de Laguerre:

não	${\ displaystyle L_ {n} (x) \,}$
0	$1 \,$
1	${\ displaystyle -x + 1 \,}$
2	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (x ^ {2} -4x + 2) \,}$
3	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {6}} \ end {matrix}} (- x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6) \,}$
4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {24}} \ end {matrix}} (x ^ {4} -16x ^ {3} + 72x ^ {2} -96x + 24) \, }$
5	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {120}} \ end {matrix}} (- x ^ {5} + 25x ^ {4} -200x ^ {3} + 600x ^ {2} -600x + 120) \,}$
6	${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {720}} \ end {matrix}} (x ^ {6} -36x ^ {5} + 450x ^ {4} -2400x ^ {3} + 5400x ^ {2} -4320x + 720) \,}$

Propriedades

Transformada de Laplace de polinômios de Laguerre em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$

Ao designar $H ( x )$ como sendo a função de Heaviside , temos a igualdade:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) L_ {n} (x) \ right \} = {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ direita) \ direita \} = {\ frac {n!} {z}} \ esquerda ({\ frac {z-1} {z}} \ direita) ^ {n}}

Demonstração

Cálculo de: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) .x ^ {n} \}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} \} = A_ {n} (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {n} e ^ {- zx} {\ rm {d}} x}

Após a integração por partes , encontramos:

{\ displaystyle A_ {n} (z) = {\ frac {n} {z}} A_ {n-1} (z) = ...... = {\ frac {n!} {z ^ {n }}} A_ {0} (z) = {\ frac {n!} {Z ^ {n + 1}}}}

Cálculo de ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \}}$

Lembre-se de que: com

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) f (x) {\ rm {e}} ^ {- x} \} = F (z + 1)}

{\ displaystyle F (z) = {\ mathcal {L}} \ {H (x) f (x) \}}

Então :

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {H (x) x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x (1 + z)} {\ rm {d}} x = B_ {n} (z) = A_ {n} (z + 1) = {\ frac {n!} {(z + 1) ^ {n + 1}}} = {\ mathcal {L}} \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {n} \ }}

Vamos agora calcular a transformada de Laplace de ${\ displaystyle H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm { d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} \ right \} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} {\ rm {e}} ^ {- zx} {\ rm {d}} x}

Usando a fórmula de Leibniz :

{\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ escolha p} f ^ {(p)} g ^ {(np)} \ Rightarrow (x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x}) ^ {(n)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ escolha p} (x ^ {n}) ^ { (p)} ({\ rm {e}} ^ {- x}) ^ {(np)} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ escolha p} {\ frac {n!} {(np)!}} x ^ {np} (- 1) ^ {np} {\ rm {e}} ^ {- x}}

Portanto

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ rm {e}} ^ {x} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ {x ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- x} \} \ right \} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ escolha p} {\ frac {n! (- 1 ) ^ {np}} {(np)!}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {np} {\ rm {e}} ^ {- zx} {\ rm {d}} x }

Isso resulta

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {H (x) {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ { n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {n} \ right) \ right \} = {\ frac {n! } {z}} \ left ({\ frac {z-1} {z}} \ right) ^ {n}}

Função geradora

A função geradora para polinômios de Laguerre é . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \, = {\ frac {{\ rm {e }} ^ {- xt / (1-t)}} {1-t}}}$

Demonstração

Vamos primeiro calcular a transformada de Laplace da função geradora dos polinômios de Laguerre:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ direita \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ mathcal {L}} \ {L_ {n} (x) \} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {z}} \ left ({\ frac {z-1} {z}} \ right) ^ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (t - {\ frac {t} {z} } \ right) ^ {n}}

A convergência desta série está garantida para . Nessas condições, temos ${\ displaystyle \ left | t - {\ frac {t} {z}} \ right | <1}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (t - {\ frac {t} {z}} \ right) ^ {n} = \ lim \ limits _ {n \ a \ infty } {\ frac {1- (t - {\ frac {t} {z}}) ^ {n + 1}} {1- (t - {\ frac {t} {z}})}} = {\ frac {1} {1-t + {\ frac {t} {z}}}}}

Portanto

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ direita \} = {\ frac {1} {z}} {\ frac {1} {1-t + {\ frac {t} {z}}}} = {\ frac {1} {1-t}} {\ frac {1} {z + {\ frac {t} {1-t}}}} = {\ frac {1} {1-t}} {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ rm {e}} ^ {- x {\ frac {t} {1-t}}} \ right \}}

Porque

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {{\ rm {e}} ^ {- ax} \} = {\ frac {1} {z + a}}}

Finalmente deduzimos

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = {\ frac {1} {1-t} } {\ rm {e}} ^ {- x {\ frac {t} {1-t}}}}

Equações diversas

O n- ésimo polinômio de Laguerre satisfaz a seguinte equação diferencial :

{\ displaystyle xL_ {n} '' (x) + (1-x) L_ {n} '(x) + nL_ {n} (x) = 0. \,}

Também temos a seguinte sequência recorrente:

{\ displaystyle (n + 1) L_ {n + 1} (x) + (x-2n-1) L_ {n} (x) + nL_ {n-1} (x) = 0. \,}

Os polinômios satisfazem a propriedade

{\ displaystyle xL_ {n} '(x) -nL_ {n} (x) + nL_ {n-1} (x) = 0. \,}

Expressão por uma integral de contorno

Polinômios podem ser expressos em termos de uma integral de contorno

{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ anoint {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- xt / (1 -t)}} {(1-t) \, t ^ {n + 1}}} \, {\ rm {d}} t}

onde o contorno circunda a origem uma vez no sentido anti-horário.

Polinômios de Laguerre generalizados

A propriedade da ortogonalidade mencionada acima equivale a dizer que se $X$ for uma variável aleatória distribuída exponencialmente com a função de densidade de probabilidade

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ rm {e}} ^ {- x} & {\ mbox {si}} \ x> 0, \\ 0 & {\ mbox {if}} \ x <0, \ end {matriz}} \ right.}

tão

{\ displaystyle \ mathbb {E} (L_ {n} (X) L_ {m} (X)) = 0 \ {\ mbox {si}} \ n \ neq m.}

A distribuição exponencial não é a única distribuição Gama . Uma sequência de polinômios ortogonais em relação à distribuição gama, cuja função de densidade de probabilidade é, para $α > -1$ ,

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {\ alpha} {\ rm {e}} ^ {- x} / \ Gamma (1+ \ alpha) & {\ mbox { if}} \ x> 0, \\ 0 & {\ mbox {si}} \ x <0, \ end {matriz}} \ right.}

( cf. função gama ) é dada pela fórmula de Rodrigues para polinômios de Laguerre generalizados :

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {x ^ {- \ alpha} {\ rm {e}} ^ {x} \ over n!} {{\ rm {d}} ^ {n} \ over {\ rm {d}} x ^ {n}} \ left ({\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {n + \ alpha} \ right).}

Às vezes, eles são chamados de polinômios de Laguerre associados . Encontramos os polinômios de Laguerre simples tomando $α = 0$ :

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x).}

Os polinômios de Laguerre generalizados são ortogonais em $[0, \infty [$ com relação à função de peso $x α e - x$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {\ alpha} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {m} ^ {(\ alpha)} (x) {\ rm {d}} x = {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1)} {n!}} \ delta _ {nm}.}

Polinômios de Laguerre generalizados obedecem a equação diferencial

{\ displaystyle xL_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime \ prime} (x) + (\ alpha + 1-x) L_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime} (x) + nL_ {n } ^ {(\ alpha)} (x) = 0. \,}

Exemplos de polinômios generalizados de Laguerre

Os primeiros polinômios de Laguerre generalizados são

{\ displaystyle L_ {0} ^ {(\ alpha)} (x) = 1}

{\ displaystyle L_ {1} ^ {(\ alpha)} (x) = - x + \ alpha +1}

{\ displaystyle L_ {2} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {x ^ {2}} {2}} - (\ alpha +2) x + {\ frac {(\ alpha +2 ) (\ alpha +1)} {2}}}

{\ displaystyle L_ {3} ^ {(\ alpha)} (x) = {\ frac {-x ^ {3}} {6}} + {\ frac {(\ alpha +3) x ^ {2}} {2}} - {\ frac {(\ alpha +2) (\ alpha +3) x} {2}} + {\ frac {(\ alpha +1) (\ alpha +2) (\ alpha +3) } {6}}}

Derivados de polinômios generalizados de Laguerre

O cálculo da derivada de ordem $k$ da representação em série de um polinômio de Laguerre generalizado leva a

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = (- 1) ^ {k} L_ {nk} ^ {(\ alpha + k)} (x).}

Relação com polinômios de Eremita

Polinômios de Laguerre generalizados aparecem no tratamento do oscilador harmônico quântico , devido à sua relação com os polinômios de Hermite , que podem ser expressos por

{\ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 1) ^ {n} \, 2 ^ {2n} n! \, L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2}) }

{\ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = (- 1) ^ {n} \, 2 ^ {2n + 1} n! \, xL_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ { 2})}

onde estão os polinômios de Hermite . ${\ displaystyle H_ {n} (x)}$

Relação com funções hipergeométricas

Polinômios de Laguerre podem ser relacionados a funções hipergeométricas , mais precisamente à função hipergeométrica confluente , por

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = {n + \ alpha \ choose n} M (-n, \ alpha + 1, x) = {\ frac {(\ alpha +1) _ {n}} {n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, \ alpha + 1, x)}

onde está o símbolo Pochhammer (que, neste caso particular, é usado para representar o fatorial crescente ). ${\ displaystyle (a) _ {n}}$ ${\ displaystyle a (a + 1) (a + 2) ... (a + n-1)}$

Notas e referências

(em) Os polinômios de Legendre e Laguerre e o modelo mecânico quântico elementar do átomo de hidrogênio , Timothy Jones

(pt) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas [ detalhe da edição ] ( ler online ) , cap. 22, pág. 773
(en) Eric W. Weisstein , “ Laguerre Polynomial ” , no MathWorld
(pt) George Arfken e Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists , Academic Press ,2000( ISBN 0-12-059825-6 )

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Polinômios de Laguerre ” ( veja a lista de autores ) .