Fórmula de Leibniz
Na matemática , várias identidades levam o nome da fórmula de Leibniz , em homenagem ao matemático Gottfried Wilhelm Leibniz :
- em análise real :
- por extensão, a fórmula de Leibniz, também chamada de identidade de Leibniz , designa uma identidade que define a noção de derivação , a saber: d ( ab ) = (d a ) b + a (d b ) ;
- na álgebra linear , a fórmula de Leibniz fornece uma definição do determinante de uma matriz como uma soma alternada de suas “cobras”;
- finalmente, a fórmula de Leibniz também designa a soma das séries alternadas de inversos de inteiros ímpares.
Derivado de um produto
Seja n um número inteiro positivo . O produto de duas funções de uma variável real f e g definidos e diferenciável até ordem n mais de um intervalo é diferenciável-se a ordem n . A fórmula de Leibniz fornece sua derivada de ordem n dada por:
(fg)(não)=∑k=0não(nãok) f(k) g(não-k){\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(k)} \ g ^ {(nk) }}
onde os inteiros são os coeficientes binomiais , e onde concordamos que a “derivada zero-th” de f , denotada por f (0) , é a própria função f .
(nãok){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Esta fórmula é provada por indução no inteiro n . A prova é comparável à da fórmula binomial de Newton . Além disso, o último pode ser deduzido dela.
Uma demonstração é oferecida no artigo detalhado " Regra do produto ".
Série alternativa
A “Quadratura Aritmética” para π, encontrada por Leibniz em 1674, é um exemplo de uma série alternada :
π4=11-13+15-17+19-⋯=∑não=0∞(-1)não2não+1.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { 2n + 1}}.}
Corresponde à expansão da série de Taylor da função arctan , avaliada no ponto 1.
Foi descoberto no Ocidente no século 17 , mas já aparece em Madhava , um matemático indiano da província de Kerala , por volta de 1400. Ele o usa para calcular uma aproximação de π . A teoria mais comum é que os trabalhos matemáticos indianos deste período será conhecido no Ocidente no final do XIX ° século, durante a colonização da Índia pela Grã-Bretanha .
Determinante de uma matriz quadrada
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é o número:
NO=(noeuj){\ displaystyle A = (a_ {ij})}
det(NO): =∑σ∈Snãoε(σ)∏eu=1nãonoeu,σ(eu){\ displaystyle \ det (A): = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i) }}
onde S n é o grupo de permutações de {1, 2,…, n } e para uma permutação σ de S n , ε (σ) denota sua assinatura , igual a 1 se a permutação for par e –1 caso contrário.
Notas e referências
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Carta de Christian Huygens para Leibniz de 7 de novembro de 1674 ( leia online ) .
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(La) Leibniz, "De vera proporione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa", Acta Eruditorum , fevereiro de 1682.
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Leibniz, “Carta a M. de La Roque, diretor do Journal des sçavans ”, 1678,
Leibnizens mathematische Schriften , vol. 5, pág. 88-92 .
-
Marc Parmentier, O nascimento do cálculo diferencial , Vrin , 1989, p. 61-81 .
-
(em) L. Berggren, J. Borwein e P. Borwein , P, A Source Book , Springer , 1997 "Madhava, the power series for arctan and ft (~ 1400)," p. 45-50 .
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