Fórmula binomial de Newton
A fórmula do teorema binomial é uma fórmula matematicamente dada por Isaac Newton para encontrar o desenvolvimento de uma potência inteira de um par . Também é chamada de fórmula binomial ou fórmula de Newton .
Estados
Se x e y são dois elementos de um anel (por exemplo, dois números reais ou complexos , dois polinômios , duas matrizes quadradas do mesmo tamanho, etc.) que comutam (ou seja, tal que xy = yx - por exemplo para matrizes: y = o matriz de identidade ) então, para qualquer número natural n ,
(x+y)não=∑k=0não(nãok)xkynão-k=∑k=0não(nãok)xnão-kyk{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} x ^ {k} y ^ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} x ^ {nk} y ^ {k}},
onde os números
(nãok)=não!k!(não-k)!{\ displaystyle {n \ escolha k} = {\ frac {n!} {k! \, (nk)!}}}
(às vezes também observou Ck
n) são os coeficientes binomiais , “! »Denotando o fatorial e x 0 o elemento unidade do anel .
Substituindo na fórmula y por - y , obtemos:
(x-y)não=(x+(-y))não=∑k=0não(nãok)xnão-k(-y)k{\ displaystyle (xy) ^ {n} = \ left (x + (- y) \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} x ^ {nk } (-y) ^ {k}}.
Exemplos:
não=2,(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2,não=3,(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3,(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3,não=4,(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4,não=7,(x+y)7=x7+7x6y+21x5y2+35x4y3+35x3y4+21x2y5+7xy6+y7.{\ displaystyle {\ begin {array} {lclcl} n = 2, & (x + y) ^ {2} & = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}, & (xy) ^ {2} & = x ^ {2} -2xy + y ^ {2}, \\ n = 3, & (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ { 2} + y ^ {3}, & (xy) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} -y ^ {3}, \\ n = 4, & (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, && \ \ n = 7, & (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ {3 } + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2} y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}. && \ end {array}}}
Manifestações
Podemos provar a fórmula do enunciado por indução .
Uma prova mais intuitiva usa o fato de que o coeficiente binomial é o número de partes do elemento k em um conjunto de elemento n . Quando desenvolvemos a expressão
(nãok){\ displaystyle \ textstyle {n \ escolha k}}
(x+y)não=(x+y)(x+y)⋯(x+y)(não Tempo){\ displaystyle (x + y) ^ {n} = (x + y) (x + y) \ cdots (x + y) \ qquad (n {\ text {vezes}})},
obtemos uma soma de monômios da forma x j y k onde j e k representam respectivamente o número de vezes que escolhemos x ou y expandindo. Temos necessariamente j = n - k , pois cada vez que não escolhemos y , escolhemos x . Finalmente, como existem diferentes maneiras de escolher k vezes o valor y entre as n expressões ( x + y ) multiplicadas acima, o monômio x n - k y k deve aparecer na expansão com o coeficiente .
(nãok){\ displaystyle \ textstyle {n \ escolha k}}(nãok){\ displaystyle \ textstyle {n \ escolha k}}
Prova por indução
Tentamos verificar se a propriedade é verdadeira por indução e de modo que (onde está qualquer anel)
(no+b)não=∑k=0não(nãok)nokbnão-k{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolha k} a ^ {k} b ^ {nk}}∀não∈NÃO{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}∀{no,b}∈NO2{\ displaystyle \ forall \ {a, b \} \ in \ mathbb {A} ^ {2}}nob=bno{\ displaystyle ab = ba}NO{\ displaystyle \ mathbb {A}}
Inicialização
sim não=0{\ displaystyle n = 0}
(no+b)0=1{\ displaystyle (a + b) ^ {0} = 1}
(00)no0b0-0=1{\ displaystyle \ textstyle {0 \ choose 0} a ^ {0} b ^ {0-0} = 1}
A propriedade está, portanto, bem inicializada
Hereditariedade
Assumimos que a propriedade é verdadeira até a classificação não{\ displaystyle n}
(no+b)não+1=(no+b).(no+b)não{\ displaystyle (a + b) ^ {n + 1} = (a + b). (a + b) ^ {n}}
⇒(no+b).∑k=0não(nãok)nokbnão-k{\ displaystyle \ Rightarrow (a + b). \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolha k} a ^ {k} b ^ {nk}}
⇒(∑k=0não(nãok)nok+1bnão-k)+(∑k=0não(nãok)nokbnão+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolher k} a ^ {k + 1} b ^ {nk} \ right) + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolha k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}
nós posamos p=k+1{\ displaystyle p = k + 1}
⇒(∑p=1não+1(nãop-1)nopbnão+1-p)+(∑k=0não(nãok)nokbnão+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {p = 1} ^ {n + 1} \ textstyle {n \ escolher p-1} a ^ {p} b ^ {n + 1-p} \ right) + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolher k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}
⇒(∑k=1não((nãok-1)+(nãok))nokbnão+1-k)+(não0)no0bnão+1+(nãonão)nonão+1b0{\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ textstyle {n \ escolher k-1} + \ textstyle {n \ escolher k} \ right) a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right) + \ textstyle {n \ escolha 0} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n \ escolha n} a ^ {n + 1} b ^ {0}}
⇒(∑k=1não(não+1k)nokbnão+1-k)+(não+10)no0bnão+1+(não+1não+1)nonão+1b0{\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ textstyle {n + 1 \ escolher k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right) + \ textstyle {n + 1 \ escolha 0} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n + 1 \ escolha n + 1} a ^ {n + 1} b ^ {0}}
⇒(∑k=0não+1(não+1k)nokbnão+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} \ textstyle {n + 1 \ escolher k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}
Conclusão
Com as condições dadas em um e b , a propriedade é verdadeiro .
(no+b)não=∑k=0não(nãok)nokbnão-k{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ escolha k} a ^ {k} b ^ {nk}}∀não∈NÃO{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}
Generalizações
A prova por indução pode ser modelada para provar a fórmula de Leibniz para a n- ésima derivada de um produto.
O método combinatório de sua variante permite generalizar a identidade polinomial
(X+Y)não=∑k=0não(nãok)Xnão-kYk{\ displaystyle (X + Y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} X ^ {nk} Y ^ {k}}
dentro
∏eu=1não(X+Yeu)=∑k=0nãoσk(Y1,...,Ynão)Xnão-k{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + Y_ {i}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (Y_ {1}, \ ldots , Y_ {n}) X ^ {nk}},
onde o σ k denota os polinômios simétricos elementares .
Também é possível generalizar a fórmula para somas de m termos complexos elevados a uma potência inteira n (ver o artigo Fórmula multinomial de Newton ):
(∑eu=1mxeu)não=∑|k→|=não(nãok→)∏eu=1mxeukeu{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ escolha {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}
e para expoentes não inteiros (consulte o artigo Fórmula binomial generalizada ) ou inteiros negativos (consulte o artigo Fórmula binomial negativa ).
Aplicar a fórmula a anéis de funções bem escolhidos (ou traçando a prova por indução) nos permite deduzir a fórmula das diferenças finitas de ordem superior , bem como a fórmula de Taylor de duas variáveis .
Finalmente, os métodos do cálculo ombral permitem obter fórmulas análogas (onde os expoentes são substituídos por índices) para certas sequências de polinômios, como os polinômios de Bernoulli .
Na literatura
O professor Moriarty , inimigo do famoso Sherlock Holmes , publicou um artigo sobre o teorema binomial.
Notas e referências
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Na verdade, esta fórmula era conhecido a partir do X th século, especialmente matemáticos indianos ( Halayudha (em) ), árabe e persa ( Al-Karaji ) e XIII th século, o chinês matemático Hui Yang 's independentemente demonstrada. Em 1665, Newton generalizou-o para expoentes não inteiros (veja o artigo fórmula binomial generalizada ).
-
Esta condição é essencial e, além disso, equivalente à validade da fórmula para n = 2 .
-
A demonstração clássica está disponível na Wikiversité ( veja abaixo ), bem como um método mais original neste exercício corrigido na Wikiversidade .
-
Binômio de Newton: Prova por recorrência em vídeo .
-
Binômio de Newton: Demonstração por contagem em vídeo .
-
Arthur Conan Doyle , O Último Problema , 1891.
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
(pt) JL Coolidge , “ The Story of the Binomial Theorem ” , Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 56, n o 3,1949, p. 147-157 ( JSTOR 2305028 , ler online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">