Combinatorial

Em matemática , a combinatória , também chamada de análise combinatória , estuda as configurações de coleções finitas de objetos ou as combinações de conjuntos finitos e contagens.

Geral e história

A Combinatória está de fato presente em toda a Antiguidade na Índia e na China. Donald Knuth , no volume 4A “Combinatorial Algorithms” de The Art of Computer Programming fala sobre a geração de tuplas ; ele diz que a geração de padrões combinatórios "começou quando a própria civilização estava tomando forma" . A presença de listas de tuplas binárias pode ser rastreada há milhares de anos na China, Índia e Grécia; eles são encontrados no terceiro milênio.

Um resultado combinatório mais sofisticado, que remonta à Antiguidade Grega, é atestado pela seguinte anedota: Plutarco relata, nas Table Proposals , uma afirmação de Crisipo "contradita por todos os matemáticos, e entre outros por Hiparco " , sobre o número de maneiras de combinar dez proposições. Hipparchus sabia que o número de "orações compostas positivas" que podem ser formadas a partir de dez orações simples é 103.049, e que o número de orações negativas é 310.952. Essa afirmação permaneceu sem explicação até 1994, quando David Hough, um estudante da George Washington University , observa que existem 103.049 maneiras de colocar entre parênteses uma sequência de dez elementos. Uma explicação semelhante pode ser dada para o segundo número: é muito próximo de (103 049 + 518 859) / 2 = 310 954 , que é a média do décimo e décimo primeiro números de Schröder-Hipparchus , e que conta o número de parênteses de dez termos com um sinal.

Outros precursores incluem Bhaskara II a XII th século (número de escolhas de p elementos entre n ) e Ahmad Ibn Mun'im , matemático Marrocos a partir da extremidade de XII th e início da XIII th século, mais tarde Raymond Lull em XIII th século Gersônides cedo XIV th século (razão entre o número de arranjos e o número de combinações), Michael Stifel no XVI th século (primeira abordagem do triângulo de Pascal ). Ela cresce significativamente do XVII ° século , juntamente com o cálculo de probabilidades , com Blaise Pascal e Pierre de Fermat . Inicialmente, seu objetivo era resolver os problemas de contagem, decorrentes do estudo dos jogos de azar. Mais tarde, ela se tornou a teoria dos números e a teoria dos grafos .

Em particular, a combinatória está interessada nos métodos que permitem contar os elementos em conjuntos finitos (combinatória enumerativa) e na procura de óptimos nas configurações, bem como na sua existência (combinatória extrema).

Aqui estão alguns exemplos de situações que dão origem a questões de análise combinatória:

armazenar livros em uma prateleira;
os arranjos de pessoas em torno de uma mesa redonda;
os sorteios com a apresentação de um certo número de bolas numeradas em uma urna;
a colocação de fichas em um tabuleiro de damas;
o número de ordens possíveis das cartas de um baralho de 52 cartas.
Neste último exemplo, o número é igual a 52! (o “!” denotando o fatorial ). Pode parecer surpreendente que esse número, em torno de 8,065817517094 × 10 67 , seja tão grande. Isso é cerca de 8 seguido por 67 zeros. É, por exemplo, muito maior do que o número de Avogadro , igual a 6,022 × 10 23 .

Domínios de combinatória

Enumerative combinatorics

A combinatória enumerativa é o domínio mais clássico da combinatória e está interessada na enumeração de certos objetos combinatórios. Embora contar os elementos de um conjunto seja um problema matemático bastante amplo, muitos problemas que surgem em várias aplicações têm descrições combinatórias bastante simples. A sequência numérica de Fibonacci é um exemplo básico de um problema combinatório enumerativo. Existe um modelo denominado English décuplo way (in) que é uma estrutura unificada para os problemas de permutações , combinações e partições de enumeração .

A combinatória moderna inclui muitos campos altamente desenvolvidos e usa ferramentas poderosas emprestadas de ramos às vezes inesperados da matemática; assim distinguimos:

Teoria dos números combinatórios

A teoria dos números combinatória (ou combinatória aritmética ) lida com problemas da teoria dos números que envolvem idéias combinatórias em suas formulações ou soluções. Paul Erdős é o principal fundador deste ramo da teoria dos números. Os tópicos típicos incluem sistemas de abrangência , problemas de soma zero , várias somas de conjuntos restritos e progressões aritméticas no conjunto de inteiros. Os métodos algébricos ou analíticos são poderosos neste campo de estudo.

Combinatória de palavras

A combinatória de palavras aplicada a palavras combinatórias finito ou infinito. Este ramo se desenvolveu a partir de vários ramos da matemática: teoria dos números , teoria dos grupos , probabilidade e, claro, combinatória. Ele contém links para vários tópicos de informática, como encontrar padrões em um texto ou compactar textos.

Combinatória algébrica

A combinatória algébrica é uma disciplina que trata do estudo de estruturas algébricas por técnicas algorítmicas e combinatórias, conforme ilustrado em particular pelos trabalhos de Marcel-Paul Schützenberger , Alain Lascoux , Dominique Foata e Richard Stanley . O interesse da combinatória algébrica vem do fato de que a maioria das estruturas em álgebra abstrata são finitas ou geradas por um conjunto finito de elementos, o que torna sua manipulação possível de forma algorítmica.

Combinatória analítica

A combinatória analítica (em inglês : combinatória analítica ) é um conjunto de técnicas que descreve problemas combinatórios na linguagem de funções geradoras e, em particular, baseia-se na análise complexa para obter resultados assintóticos nos objetos combinatórios iniciais. Os resultados da análise combinatória permitem, em particular, uma análise precisa da complexidade de certos algoritmos .

Combinatória probabilística

A combinatória probabilística ou método probabilístico é um método não construtivo , inicialmente utilizado em combinatória e lançado por Paul Erdős , para demonstrar a existência de um determinado tipo de objeto matemático . Este método foi aplicado a outras áreas da matemática, como teoria dos números , álgebra linear e análise real . Seu princípio é mostrar que, se escolhermos aleatoriamente objetos de uma categoria, a probabilidade de que o resultado seja de um certo tipo é maior que zero. Embora a prova use a teoria da probabilidade , a conclusão final é determinada com certeza .

Em combinatória topológica, conceitos e métodos de topologia são usados no estudo de problemas como coloração de grafos , compartilhamento equitativo , particionamento de um conjunto , posets (conjuntos parcialmente ordenados), árvores de decisão , o problema de compartilhamento do colar (in) ou teoria de Morse discreto (em) . Não confunda com topologia combinatória, que é um nome antigo para topologia algébrica .

Combinatória geométrica

A combinatória geométrica inclui uma série de questões, como poliedros combinatórios (estudo de faces de poliedros convexos), a geometria convexa (estudo de conjuntos convexos , em particular combinatória suas interseções), e a geometria discreta , que por sua vez tem muitas aplicações em geometria computacional . Outras áreas importantes são a geometria métrica de poliedros , como o teorema de Cauchy sobre a rigidez de politopos convexos. O estudo de politopos regulares , sólidos arquimedianos ou números de beijo também fazem parte da combinatória geométrica. Polítopos particulares também são considerados, como o permutoedro , o associaedro e o politopo Birkhoff (on) (em matrizes bistocásticas ).

Combinatória extrema e Teoria de Ramsey

A teoria de Ramsey , nomeada em homenagem a Frank Ramsey , normalmente busca responder a perguntas da forma: "quantos elementos de alguma estrutura devem ser considerados para que uma propriedade particular seja verdadeira? Um exemplo típico é o teorema de Ramsey, que afirma que, para qualquer número inteiro n , qualquer gráfico completo suficientemente grande com arestas coloridas contém subgráficos completos de tamanho n de uma única cor.

Campos relacionados

Além disso, encontramos ferramentas combinatórias nos seguintes campos:

Teoria dos grafos

A teoria dos grafos é uma teoria da computação e matemática . Os algoritmos desenvolvidos para resolver problemas relativos aos objetos desta teoria têm muitas aplicações em todos os campos relacionados à noção de rede e em muitos outros campos, visto que o conceito de grafo é geral. Teoremas grandes e difíceis, como o teorema das quatro cores , o teorema do gráfico perfeito ou o teorema de Robertson-Seymour , ajudaram a estabelecer este assunto com os matemáticos, e as questões que ele deixa em aberto, como a conjectura de 'Hadwiger , fazem é um ramo vivo da matemática discreta .

Teoria da partição

A teoria da partição estuda vários problemas de enumeração e comportamento assintótico relacionados a partições de um inteiro e tem relações estreitas com análogos q , funções especiais e polinômios ortogonais . Inicialmente, faz parte da teoria e análise dos números . Agora é considerado como parte da combinatória ou como um domínio independente. Ele usa a abordagem de prova por bijeção e emprega várias ferramentas de análise, teoria analítica dos números e tem conexões com a física estatística .

Teoria Matroid

Um matroide é um objeto matemático introduzido em 1935 por Whitney , que inicialmente pretendia capturar a essência do conceito de independência linear . Está, portanto, naturalmente ligado à álgebra linear e também à teoria e geometria dos grafos .

Teoria da ordem

Um poset (do inglês conjunto parcialmente ordenado , em francês "conjunto parcialmente ordenado") formaliza e generaliza a noção intuitiva de ordem ou arranjo entre os elementos de um conjunto . Um poset é um conjunto fornecido com uma relação de ordem que indica que, para certos pares de elementos, um é menor que o outro. Todos os elementos não são necessariamente comparáveis, ao contrário de um conjunto fornecido com um pedido total . Se o conjunto for finito, temos uma representação gráfica do poset, que é um diagrama de Hasse .

Planos de blocos

Um plano de blocos (em inglês " design de blocos " ) é um caso particular de um sistema de blocos : é formado por um conjunto fornecido com uma família de subconjuntos (distintos ou não dependendo do caso). Esses subconjuntos são escolhidos de forma a satisfazer certas propriedades correspondentes a um determinado aplicativo. Os aplicativos vêm de campos variados, incluindo design experimental , geometria finita (in) , teste de software , criptografia e geometria algébrica . Muitas variantes têm sido estudadas, as mais consideradas são os planos em blocos incompletos balanceados .

Gerando série

Uma série geradora é uma série formal cujos coeficientes codificam uma série de números (ou mais geralmente de polinômios , etc.). Existem vários tipos de funções geradoras, como a geração de série exponencial , a série de Lambert , a série de Dirichlet , etc. Podemos associar uma série de geradores de cada tipo a qualquer sequência, mas a facilidade de lidar com a série depende consideravelmente da natureza da sequência associada e do problema que estamos tentando estudar. O interesse das séries é que muitas vezes é possível estudar uma determinada sequência usando manipulações formais das séries geradoras associadas, bem como usando as propriedades analíticas da função de soma das séries.

Permutações (layouts, programação)

As duas seções a seguir são uma apresentação detalhada e elementar de algumas noções e teoremas básicos.

Permutações sem repetição de objetos discerníveis

As permutações sem repetição de um conjunto finito E são as bijeções de E para ele mesmo.

Como um exemplo introdutório, considere o número de arranjos de seis objetos discerníveis em seis caixas numeradas consecutivas com um e apenas um objeto por caixa. Cada um dos objetos pode ser colocado no primeiro quadrado, o que dá seis possibilidades para ocupar o primeiro lugar. Depois que um dos objetos ficou em primeiro lugar, ainda restam cinco candidatos para o segundo lugar, com o segundo lugar concedido, apenas quatro candidatos permanecem para o terceiro lugar, e assim por diante. Para o penúltimo lugar, restam apenas dois objetos e, uma vez colocado um dos dois, o último lugar deve ser ocupado pelo último objeto.

Portanto, existem 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ou 6! = 720 possibilidades de colocar seis objetos discerníveis.

Generalização

Veremos que o número de arranjos de n elementos discerníveis é igual an !

Um arranjo dos objetos de um conjunto E de n cardinal , em n caixas com um e apenas um objeto por caixa, ou uma ordenação dos elementos de E é representado por uma bijeção de {1, 2, ..., n } em E ou uma permutação de e . É conveniente representar tal bijeção por um n -tuplo (ou n-lista ) de elementos de E , (x 1 , x 2 ,…, x n ).

Teorema - Não há n ! permutações (sem repetição) de n elementos.

De fato, para formar um n -tuplo de elementos de E , devemos escolher um elemento de E para o primeiro lugar do n -tuplo e há n possibilidades, há n - 1 escolhas possíveis de um elemento de E para o segundo lugar , n - 2 para o terceiro, etc. Resta apenas uma escolha de item para o último lugar. Portanto, no total n × ( n -1) × ( n -2) ×… × 2 × 1 permutações.

Esta propriedade é comprovada por indução em n .

Permutações com repetição de objetos discerníveis

Para determinar o número de arranjos possíveis de objetos de várias classes e mutuamente indistinguíveis em cada classe, é útil considerar o número de arranjos possíveis desses objetos assumindo que todos sejam discerníveis e, em seguida, descobrir quantos desses arranjos são indistinguíveis . O número de arranjos possíveis desses objetos é igual ao número de arranjos possíveis de objetos considerados discerníveis dividido pelo número de arranjos indistinguíveis.

Por exemplo, se tivermos que determinar o número total de layouts de objetos, dos quais dois são de uma primeira classe, três de uma segunda classe e cinco de uma terceira classe, então calculamos o número total de layouts desses objetos considerados. distinguível, o que dá (2 + 3 + 5)!, ou 3.628.800 arranjos possíveis. Mas algumas disposições permanecem inalteradas quando os objetos indistinguíveis da mesma classe são trocados mutuamente, e há 2! × 3! × 5! ou 1440 maneiras de permutar os objetos de cada uma dessas classes.

Obtemos um total de 3.628.800 ÷ 1.440 = 2.520 layouts diferentes. É também o número de permutações com repetição de 10 elementos com 2, 3 e 5 repetições.

Generalização

Teorema - O número de permutações de n elementos, distribuídos em k classes das quais n 1 são da classe 1, n 2 são da classe 2, ..., n k são da classe k , indistinguíveis em cada classe, ou o número de permutações de n elementos com n 1 , n 2 , ..., n k repetições com , é igual a: . $\ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} = n \ right)$ ${\ frac {n!} {n_ {1}! n_ {2}! \ ldots n_ {k}!}}$

Arranjos (escolha levando em consideração o pedido)

Arranjos sem repetição

Temos n objetos discerníveis e queremos colocar k deles , levando em consideração a ordem, em k células numeradas de 1 a k com um e apenas um objeto por célula. O número de arranjos é então igual ao número de k -lists distintas formadas a partir desses objetos. Em vez de constituir um n -uplet , a partir de n objetos discerníveis, formamos aqui k -uplets com a partir desses n objetos, tal que para , temos . Esse k -uplet é chamado de arranjo sem repetição de n elementos tomados de k para k . $k \ leq n {\ text {,}} \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {k} \ right)$ $eu \ neq j$ $x_ {i} \ neq x_ {j}$

Teorema - O número de arranjos sem repetição de n elementos tomados de k para k é igual a (igual a se k ≤ n e a 0 caso contrário). $A_ {n} ^ {k}$ ${\ frac {n!} {(nk)!}}$

De facto, existem n possíveis escolhas do objecto que ocupa o primeiro lugar de o k -uplet , n -1 escolha para o objecto da 2 nd lugar; para k e , existem apenas n - ( k -1) objetos restantes e, portanto, n - k +1 escolhas possíveis. O produto é escrito, bem como: . É apenas o número de injeções do conjunto {1,2, ..., k} no conjunto {1,2, ..., n}. $n \ cdot (n-1) \ ldots (n-k + 1)$ ${\ frac {n!} {(nk)!}}$

O caso n = k nos força a dividir por (0)! (lembre-se de que (0)! é igual a 1).

Arranjos com repetição

Quando queremos colocar objetos tomados entre n objetos discerníveis em k localizações levando em consideração a ordem, esses objetos podendo aparecer várias vezes, o número de arranjos é então igual ao número de k -uplos formados a partir desses n objetos. Tal k -uplet , com k ≤ n , ( x 1 , x 2 ,…, x k ) formado a partir desses n objetos é chamado de arranjo com repetição de n elementos tomados de k para k .

Como cada local pode ser ocupado indiferentemente por qualquer um desses n objetos, há um total de n k .

Quando sorteamos 11 vezes um de 3 números, levando em consideração a ordem de aparecimento, obtemos um total de 3 11 = 177 147 sorteios diferentes. Como um exemplo da genética, podemos fornecer o número total de códons de base (tripletos compostos de quatro códigos): 4 3 = 64.

Combinações (escolha independentemente da ordem)

Ao contrário dos arranjos, as combinações são arranjos de objetos que não levam em consideração a ordem em que esses objetos são colocados. Por exemplo, se um , b e c são bolas extraídas de uma urna, ABC e ACB correspondem aos mesmos sorteio. Portanto, há menos combinações do que arranjos.

Combinações sem repetição

Se desenharmos sem substituição k objetos entre n objetos discerníveis, e os organizarmos sem levar em conta a ordem de aparência, podemos representar esses k objetos por uma parte com k elementos de um conjunto de n elementos. São combinações sem repetição de n elementos tomados de k a k .

Para determinar o número desses arranjos, podemos determinar o número de arranjos de objetos k e dividir pelo número de arranjos obtidos um do outro por uma permutação. Existem (para a notação, consulte também o artigo sobre o coeficiente binomial ). ${n \ escolha k} = {\ frac {A_ {n} ^ {k}} {k!}} = C_ {n} ^ {k}$

Por exemplo, o jogo Euromilhões pede para escolher 5 números diferentes entre 1 e 50 e 2 números entre 1 e 11, ou seja, possibilidades. ${50 \ escolha 5} \ vezes {11 \ escolha 2} = 116 \, 531 \, 800$

Combinações com repetição

Se tomarmos com desconto k objetos entre n objetos discerníveis, e os organizarmos sem levar em consideração a ordem de aparência, esses objetos podem aparecer várias vezes e não podemos representá-los nem com uma parte com k elementos, nem com um k -uplet uma vez que a sua ordem de colocação não interfere. No entanto, é possível representar tais arranjos com aplicações chamadas combinações com repetição.

Teorema - O número de combinações com repetição de n elementos tomados k a k é igual a: . $\ Gamma _ {n} ^ {k} = {n + k-1 \ escolha k}$

Vamos dar o exemplo do jogo de dominó. As peças são feitas colocando dois elementos do conjunto {branco, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lado a lado. Se virarmos um dominó, mudamos a ordem dos dois elementos, mas o dominó permanece o mesmo. Temos uma combinação com repetição de 7 elementos tomados 2 por 2, e no total temos: dominó em um conjunto. $\ Gamma _ {7} ^ {2} = {8 \ escolha 2} = 28$

Função de contagem

Seja S n o conjunto de permutações de {1, 2,…, n }. Podemos considerar a função que associa o número de permutações com n . Esta função é a função fatorial e é usada para contar as permutações.

Dada uma coleção infinita de conjuntos finitos indexados pelo conjunto de inteiros naturais, uma função de contagem é uma função que a um inteiro n associa o número de elementos de E n . Uma função de contagem f, portanto, torna possível contar os objetos de E n para qualquer n . Os elementos de E n geralmente têm uma descrição combinatória relativamente simples e uma estrutura adicional, muitas vezes permitindo que f seja determinado . $\ left \ {E_ {n} | n \ in {\ mathbb {N}} \ right \}$

Algumas funções de contagem são fornecidas por fórmulas “fechadas” e podem ser expressas como compostas de funções elementares, como fatoriais, potências e assim por diante.

Esta abordagem pode não ser inteiramente satisfatória (ou prática) para alguns problemas combinatórios. Por exemplo, seja f ( n ) o número de subconjuntos distintos de inteiros no intervalo [1, n ] que não contêm dois inteiros consecutivos. Por exemplo, com n = 4, obtemos ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4} e, portanto, f ( 4) = 8. Verifica-se que f ( n ) é o N ° série de Fibonacci , que pode ser expresso na seguinte “fechado” forma:

f (n) = {\ frac {\ phi ^ {n}} {{\ sqrt {5}}}} - {\ frac {(1- \ phi) ^ {n}} {{\ sqrt {5}} }}

onde Φ = (1 + √5) / 2, é o número dourado. No entanto, como estamos considerando conjuntos de inteiros, a presença de √5 no resultado pode ser considerada combinatorialmente antiestética. Portanto, f ( n ) pode ser expresso por uma relação de recorrência:

f ( n ) = f ( n - 1) + f ( n - 2)

o que pode ser mais satisfatório (do ponto de vista puramente combinatório), pois a relação mostra mais claramente como o resultado foi encontrado.

Em alguns casos, um equivalente assintótico g de f ,

f ( n ) ~ g ( n ) quando n tende ao infinito

onde g é uma função “familiar”, dá uma boa aproximação de f . Uma função assintótica simples pode ser preferível a uma fórmula "fechada" que é extremamente complicada e que pouco informa sobre o comportamento do número de objetos. No exemplo acima, um equivalente assintótico seria:

f (n) \ sim {\ frac {\ phi ^ {n}} {{\ sqrt {5}}}}

quando n fica grande.

Outra abordagem é a de uma série inteira. f ( n ) pode ser expresso por uma série inteira formal, chamada de função geradora de f , que pode ser mais comumente:

a função de gerador comum

\ sum _ {{n> 0}} f (n) \ cdot x ^ {n}

ou a função geradora exponencial

\ sum _ {{n> 0}} f (n) \ cdot {\ frac {x ^ {n}} {n!}}

Uma vez determinada, a função geradora pode permitir a obtenção de todas as informações fornecidas pelas abordagens anteriores. Além disso, as várias operações usuais como adição, multiplicação, derivação, etc., têm um significado combinatório; e isso torna possível estender os resultados de um problema combinatório para resolver outros problemas.

Alguns resultados

Um teorema, devido a Franck P. Ramsey , dá um resultado surpreendente. Em uma festa com a presença de pelo menos seis pessoas, há pelo menos três pessoas que se conhecem ou pelo menos três que são estranhas.

Demonstração

ou qualquer pessoa presente à noite. Dos n-1 outros, ou ela conhece no máximo dois ou conhece pelo menos três. Suponha que estejamos no segundo caso e sejamos três pessoas conhecidas . Se dois deles se conhecem, digamos , então todos os três se conhecem. Caso contrário, não se conhecem, e o resultado anunciado ainda está correto. No outro caso ( conhece no máximo duas pessoas do grupo), o mesmo raciocínio, invertido, funciona com as três pessoas que não conhecem. $P_ {1}$ $P_ {2}, \, P_ {3} {\ text {e}} P_ {4}$ $P_ {1}$ $P_ {2} {\ text {e}} P_ {3}$ $P_ {1}, \, P_ {2} {\ text {e}} P_ {3}$ $P_ {2}, \, P_ {3} {\ text {e}} P_ {4}$ $P_ {1}$ $P_ {1}$

(Este é um caso especial do teorema de Ramsey .)

A ideia de encontrar ordem em configurações aleatórias leva à teoria de Ramsey. Essencialmente, essa teoria indica que qualquer configuração grande o suficiente conterá pelo menos um outro tipo de configuração.

Notas e referências

Parte 1 seção 7.2.1.7. História e outras referências
Ver também Donald Knuth, "Dois mil anos de combinatória" , em Robin Wilson e John J. Watkins (eds) (pref. Ronald Graham), Combinatorics: Ancient & Modern , Oxford University Press,2013, 392 p. ( ISBN 9780199656592 ) , p. 3-37.
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Veja também

Bibliografia

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Link externo

(fr) The History of Economic Thought : About Frank P. Ramsey.