q -análogo

Em matemática , mais precisamente no campo da combinatória , um q- análogo de um teorema, de uma identidade ou de uma expressão é uma generalização envolvendo um novo parâmetro qe que se especializa no teorema original quando se toma o limite quando q se aproxima de 1 Normalmente, os matemáticos estão interessados nos casos em que um análogo- q ocorre naturalmente, em vez de nos casos em que adicionamos arbitrariamente um parâmetro q a um teorema já conhecido. Os primeiros q -analogues estudadas em detalhe foram as séries hipergeométricas básicos, que foram introduzidos no XIX th século.

Os análogos q encontram aplicações em vários campos, incluindo o estudo de fractais , teoria dos números e expressões da entropia de sistemas dinâmicos caóticos. Os q- análogos também aparecem no estudo de grupos quânticos e superálgebras (in) q -déformées .

Existem dois grupos principais de q- análogos: os q -análogos clássicos, que foram introduzidos na obra de Leonhard Euler e depois estendidos por Frank Hilton Jackson (em) , e q -análogos não convencionais.

q - teoria clássica

q- derivado

A derivada de uma função variável real em é o limite da taxa de crescimento quando se aproxima , e é tradicionalmente chamada de diferença assim . Mas, para diferente de zero, também podemos denotar o quociente para que . É este último quociente que é chamado de derivada q de en , que tende bem para quando tende para 1, se é derivável em . Notamos então que a derivada q da função vale a pena , que tende bem para a derivada quando tende para 1. Isso justifica a seguinte definição: $f$ $x$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}$ $x '$ $x$ $h$ ${\ displaystyle x'-x}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$ $x$ $q$ ${\ displaystyle x '/ x}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}$ $f$ $x$ $f '(x)$ $q$ $f$ $x$ $x \ mapsto x ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle nx ^ {n-1}}$ $q$

q -entiers

Definimos o q- análogo do inteiro positivo por: $não$

{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}

q -fatorial

Em seguida, definimos naturalmente o q- análogo do fatorial do inteiro por: $não$

${\ displaystyle n! _ {q}}$	$= [1] _q \ cdot [2] _q \ cdots [n-1] _q \ cdot [n] _q$
	$= \ frac {1-q} {1-q} \ cdot \ frac {1-q ^ 2} {1-q} \ cdots \ frac {1-q ^ {n-1}} {1-q} \ cdot \ frac {1-q ^ n} {1-q}$
	$= 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).$

Este q- análogo do fatorial tem a seguinte interpretação combinatória: embora seja o número de permutações de ordem , conte essas mesmas permutações enquanto mantém o controle do número de inversões . Isso quer dizer que, se há o número de inversões da permutação e todas as permutações de ordem n , temos: . $não!$ $não$ ${\ displaystyle n! _ {q}}$ ${\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}$ $\ sigma$ $S_ {n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}$

O fator q também é conciso em termos dos símbolos q de Pochhammer :

{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}

coeficientes q- binomiais

A partir do fator q , definimos os coeficientes q- binomiais ou coeficientes binomiais gaussianos , q- análogos dos coeficientes binomiais :

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}}

, também observou .

\ left [\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix} \ right] _q

Isso também permite definir um análogo q do exponencial (em)

e_q ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {[n] _q!}

em seguida, para definir q -análogos das funções trigonométricas e hiperbólicas, bem como um q- análogo da transformada de Fourier .

q - análogos não clássicos

Formulários

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " q-analog " ( veja a lista de autores ) .

(em) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
(em) FH Jackson, "Nós funções-q e tem algum operador de diferença", Trans. Roy. Soc. Edin. , voar. 46, 1908, p. 253-281.
(en) Thomas Ernst , “ Um método para q-cálculo ” , JNMP , vol. 10, n o 4,2003, p. 487-525 ( ler online ).
(en) Victor Kac e Pokman Cheung, Quantum Calculus , Springer,2002( leia online ) , capítulo 1
(em) George Pólya e Gábor Szegő , Problems and Theorems in Analysis , vol. Eu, Springer ,1997( 1 st ed. 1972) ( linha de leitura ) , p. 11. No final desta página 11 está escrito: “ Cf. CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, vol. 2, especialmente p. 16–17 . "
Cf. por exemplo (em) Eric W. Weisstein , " q -binomial coefficient " , em MathWorld ou (in) "Umbral calculus" , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online ).

Veja também

Artigo relacionado

q derivado (em)

links externos

(en) Eric W. Weisstein , “ q -analog ” , no MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , “ q -bracket ” , no MathWorld
( fr ) Eric W. Weisstein , " q -factorial " , em MathWorld