q - símbolo Pochhammer
Em combinatória , o símbolo q de Pochhammer é um símbolo que permite observar facilmente certos produtos. É o elemento básico dos q- análogos . É o q- análogo do símbolo Pochhammer definido por Leo Pochhammer .
Definição e notações
O q -symbol Pochhammer é:
(no;q)não=∏k=0não-1(1-noqk)=(1-no)(1-noq)(1-noq2)⋯(1-noqnão-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}com
(no;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.
Podemos estender a notação para produtos infinitos:
(no;q)∞=∏k=0∞(1-noqk).{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}Às vezes notamos , quando está claro que a variável é q .
(no)não=(no;q)não{\ displaystyle (a) _ {n} = (a; q) _ {n}}
Funções de geração de partição
Um grande número de séries de geração que representam partições podem ser expressas compactamente com esses símbolos. Por exemplo, o do número p ( n ) de partições do inteiro n pode ser escrito:
∑não=0∞p(não)qnão=∏não=1∞11-qnão=1(q;q)∞{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}.
Observe que encontramos aqui o inverso da função de Euler .
Identidades
Uma das identidades mais simples é o teorema q -binomial (expresso aqui com a notação compacta):
∑não∈NÃO(no)não(q)nãoznão=(noz)∞(z)∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}},
cujos casos particulares são as duas identidades de Euler:
(z)∞=∑não∈NÃOqnão(não-1)/2(q)não(-z)nãoe1(z)∞=∑não∈NÃOznão(q)não{\ displaystyle (z) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}.
Pode ser teoremas deduzidos, como a dos números pentagonais : ou a do produto triplo de Jacobi .
(q;q)∞=∑k∈Z(-1)kqk(3k-1)/2{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}
Os cálculos na série q também permitem encontrar igualdades entre objetos combinatórios sem tornar explícita qualquer bijeção, este é o caso, por exemplo, das identidades de Rogers-Ramanujan .
Notas e referências
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(em) Eric W. Weisstein , " Q-Series " no MathWorld
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(em) George Gasper , " Notas de aula para um minicurso introdutório é q-series " em arxiv.org (Cornell University Library) ,1995( arXiv math.CA/9509223 , acessado em 26 de setembro de 2016 ) ,p. 3
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Ver a prova do "teorema q binomial e as identidades de Euler", na lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
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