Série Dirichlet

Em matemática , uma série de Dirichlet é uma série $f ( s )$ de funções definidas sobre o conjunto ℂ de números complexos e associada a uma série $( a n )$ de números complexos de uma das seguintes maneiras:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} \ quad {\ text {or}} \ quad f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

Aqui, a sequência $( λ n )$ é real, positiva, estritamente crescente e ilimitada. O domínio de convergência absoluta de uma série de Dirichlet é um meio-plano aberto de ℂ, limitado por uma linha na qual todos os pontos têm a mesma abscissa, ou o conjunto vazio , ou ℂ inteiramente. O domínio da convergência simples é da mesma natureza. No domínio da convergência simples, a função definida pela série é holomórfica . Se a parte real de $s$ tende a $+ \infty$ , a função de soma, se existir, tende a $0$ .

As séries de Dirichlet são usadas na teoria analítica dos números . Dirichlet analisa alguns deles, a série L de Dirichlet , para demonstrar em 1837 o teorema da progressão aritmética . A hipótese de Riemann é expressa em termos dos zeros da continuação analítica de uma função de soma de uma série de Dirichlet.

Definições e exemplos

Definições

Existem duas definições diferentes da série Dirichlet:

Uma série de Dirichlet é uma série da seguinte forma, onde $( a n )$ denota uma série de números complexos:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

Este artigo usa uma definição mais geral:

Uma série de Dirichlet é uma série da seguinte forma, onde $( a n )$ denota uma sequência de números complexos e $( λ n )$ uma sequência real, positiva, estritamente crescente e ilimitada:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

A primeira definição corresponde ao caso especial $λ n = ln ( n )$ .

Classicamente associamos a essa série as duas funções ${\ displaystyle A (u) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq u} a_ {n}, \ quad A _ {\ lambda} (x) = \ sum _ {\ lambda _ {n} \ leq x } ano}}$ .

Exemplos

Entre as séries “clássicas” de Dirichlet, aquelas de primeira definição, estão as séries L de Dirichlet , que correspondem aos casos em que a sequência $( a n )$ é totalmente multiplicativa e periódica . O exemplo mais simples de tal sequência (chamada de caractere de Dirichlet ) é a sequência constante $a n = 1$ , que corresponde à série de Riemann ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}$ .
A teoria das séries gerais de Dirichlet, ao permitir outras sequências de expoentes λ n além da sequência (ln ( n )) , permite incluir outras teorias clássicas:
- Se os valores $λ n$ verificarem: $λ n = n$ e se denotarmos $z = e - s$ , a série assume a forma: ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$ .Encontramos a definição de uma série inteira, exceto para uma constante aditiva.
- No caso em que $λ n = 2π n$ , a mudança da variável $s = -i t$ mostra que uma série de Fourier também é um caso especial de uma série de Dirichlet.

Convergência abscissa

Convergência simples e convergência absoluta

Quando a série não possui coeficientes positivos (ou do mesmo sinal), é necessário distinguir a convergência absoluta da convergência simples.

Exemplo : a série Dirichlet da função eta de Dirichlet é . Ele simplesmente converge (é uma série alternada ) para números reais $> 0$ (e diverge se $s$ $<0$ ) e converge absolutamente para números reais $> 1$ (e apenas para aqueles). Além disso, a função eta se estende holomorficamente a todo o plano complexo, embora a série não converta se $s$ $\leq 0$ . ${\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ over n ^ {s}}}$

Dizemos que $0$ é a abscissa da convergência simples , que $1$ é a abscissa da convergência absoluta da série de Dirichlet e que $-\infty$ é a abscissa da holomorfia .

Abcissa de convergência simples

Seja $C f$ o conjunto de números reais $a$ tal que a série $f ( a + b i)$ converge para pelo menos um real $b$ . Este conjunto permite a definição:

A abscissa de convergência simples , também chamada de abscissa de convergência, é o limite inferior $σ c$ do conjunto $C f$ . Em outras palavras: se $C f$ não é reduzido então $σ c = -\infty$ , se $C f$ é vazio então $σ c = + \infty$ , e em todos os outros casos, $σ c$ é o maior real $σ$ tal que em todos os pontos da metade -plano $Re ( s ) <σ$ , a série diverge.

Essa abscissa de convergência é objeto de uma proposta:

No semiplano $Re ( s )> σ c$ , a série $f$ é convergente.
Para qualquer ponto $s 0$ desse semiplano, a convergência é uniforme em qualquer setor da forma $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ$ , onde $0 \leq θ <π / 2$ .

Deduzimos que a convergência é uniforme em qualquer subconjunto compacto do semiplano, daí o corolário:

A série de Dirichlet é holomórfica em seu meio plano de convergência e . ${\ displaystyle f '(s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} - \ lambda _ {n} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} }$

Se a sequência $( A ( n ))$ for limitada , a abscissa de convergência será negativa ou zero. De forma geral :

Seja $L$ o seguinte limite superior : $L = \ limsup _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {\ ln | A (n) |} {\ lambda _ {n}}}.$ Se $L > 0$ então $σ c = L$ ; se $L \leq 0$ então $σ c \leq 0$ .

Provando essa propriedade, obtemos de passagem a seguinte expressão integral:

Para qualquer número complexo $s$ com uma parte real estritamente maior que $max (σ c , 0)$ , ${\ displaystyle (*) \ quad f (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x }$ .

No caso da série de Dirichlet clássica (ou seja, para $λ n = ln ( n )$ ), esta fórmula torna-se, por mudança de variável:

{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}

. Manifestações

A principal ferramenta dessas demonstrações é uma pequena variante da fórmula de soma de Abel (obtida pela transformação de Abel ):

{\ displaystyle (1) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} - \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} x}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- sx} \ right) \ mathrm {d} x = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

e da mesma forma, se $p \leq q$ :

{\ displaystyle (2) \ quad \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = (A (q) -A (p -1)) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {\ lambda _ {p}} ^ {\ lambda _ {q}} \ left (A _ {\ lambda } (x) -A (p-1) \ direita) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

(que equivale a substituir $a 1 , a 2 , ..., a p - 1$ por $0$ na primeira fórmula).

Convergência uniforme:
para clarear as notações, podemos em primeiro lugar voltar ao caso $s 0 = 0$ mudando a variável e modificando os coeficientes, escrevendo a série no formulário ${\ displaystyle \ sum \ left (a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s_ {0} \ lambda _ {n}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- (s-s_ {0}) \ lambda _ {n}}}$ .Seja $ε$ um real estritamente positivo e $D$ o setor $| arg ( s ) | \leq θ$ , o objetivo é mostrar que: ${\ displaystyle \ existe N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall s \ in D \ quad \ forall p, q \ geq N {\ text {with}} p \ leq q \ quad \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ right | \ leq \ varepsilon}$ .Por hipótese, a série de Dirichlet converge em $s 0 = 0$ , ou seja, a sequência $( A ( n ))$ é convergente. Se $N$ for escolhido suficientemente grande, temos: ${\ displaystyle q \ geq p \ geq N \ Rightarrow | A (q) -A (p-1) | \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta)}$ .Para qualquer ponto $s$ de $D$ e para todo $q \geq p \geq N$ , então deduzimos da fórmula (2): ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ right | & \ leq \ varejpsilon \ cos (\ theta) {\ big (} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} + {\ frac {| s |} {\ mathrm {Re } (s)}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {p}} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} \ right) {\ big)} \\ & = \ varepsilon \ cos (\ theta) \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} - \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} -1 \ direita) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {q} {\ text {Re}} (s)} \ direita) \\ & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ frac { | s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} \\ & \ leq \ varepsilon. \ end {alinhado}}}$ A aplicação do critério de Cauchy encerra a prova.
$max (0, L ) \geq σ c$ e se $Re ( s )> max (0, L )$ então $f ( s )$ é dado pela fórmula (*):
Vamos mostrar para isso que se $Re ( s )> max ( 0, L )$ , então a série de Dirichlet em $s$ converge (o que provará que $max (0, L ) \geq σ c$ ) e seu valor é dado por esta fórmula. Seja $σ$ um real tal que $Re ( s )> σ> max (0, L )$ . Como $σ> L$ , temos, para qualquer $n$ suficientemente grande: ${\ displaystyle | A (n) | \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}}}$ e como $σ> 0$ temos: ${\ displaystyle \ forall x \ in [\ lambda _ {n}, \ lambda _ {n + 1} [\ quad | A _ {\ lambda} (x) | = | A (n) | \ leq \ mathrm { e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}} \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma x}}$ .Portanto, quando fazemos $q$ tende a $+ \infty$ em (1), o primeiro dos dois termos da soma tende a $0$ e o segundo é uma integral convergente (absolutamente), o que conclui.
Se $L > 0$ , então $σ c \geq L$ :
Nós mostrar porque $max (0, σ c ) \geq L$ e para esse efeito, definir uma verdadeira $σ$ estritamente maior que $0$ e $σ c$ e, em seguida, mostrar, $σ \geq L$ .
Deixe $B n$ denotar as somas parciais da série de Dirichlet em $σ$ e $M$ um limite superior dos módulos de $B n$ . A transformação de Abel mostra que: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma}) + B_ {n} \ mathrm {e } ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ .Podemos deduzir: ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ leq M \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} \ right) + M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma } \ leq 2M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ ,o que mostra que: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sigma \ geq {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left (\ ln \ left (\ left | \ soma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ right) - \ ln (2M) \ right)}$ .Assim, temos $σ \geq L$ .
Resumo dos dois pontos anteriores:
Se $L > 0$ , então $σ c \geq L$ e $σ c \leq max (0, L ) = L$ , então $σ c = L$ .
Se $L \leq 0,$ então $σ c \leq max (0, L ) = 0$ .
Finalmente, (*) é verdadeiro para todos os $s$ da parte real estritamente maior que $max (0, L )$ , que em ambos os casos é de fato igual a $max (σ c , 0)$ .

Outra proposição trata do caso em que a abscissa de convergência simples é estritamente negativa:

Se a abscissa de convergência simples de uma série de Dirichlet for estritamente negativa, ela é igual ao seguinte limite: ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ left (\ left | \ sum _ {k = n + 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ right | \ right) } {\ lambda _ {n + 1}}}}$ .

Abscissa holomórfica

Essa abscissa $σ h$ é definida como o limite inferior do conjunto de números reais $x$ tal que a série admite um prolongamento holomórfico no semiplano $Re ( s )> x$ .

Do exposto, sempre temos

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {h}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}}}

mas uma grande diferença com a teoria das séries inteiras é que essa desigualdade pode ser estrita, como mostrado pelo exemplo das funções L de Dirichlet associadas a caracteres não principais .

No entanto, temos igualdade se os coeficientes da série forem positivos:

Teorema de Landau - Let a Dirichlet series

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

cujos todos os coeficientes

a n

são reais positivos ou nulos e cuja abscissa de convergência

σ c

é um real. Então,

σ c

é um ponto singular de

fe

temos

σ h = σ c

. Demonstração

Suponhamos absurdamente que a série admite uma continuação analítica em um disco com centro $σ ce$ raio $3ε> 0$ . Então seria a soma de suas séries de Taylor no disco com o mesmo raio e centro $σ c + ε$ . Porém, neste centro, seus coeficientes de Taylor são calculados derivando termo a termo a série de Dirichlet. Pela avaliação no ponto $σ c - ε$ deste disco, obteríamos assim:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} + \ infty &> \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (- \ lambda _ {n}) ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ right) {\ frac {(-2 \ varejpsilon) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ lambda _ { n} ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ right) {\ frac {(2 \ varepsilon) ^ {k}} { k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varejpsilon) } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2 \ varepsilon \ lambda _ {n}) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ mathrm {e} ^ {2 \ varepsilon \ lambda _ { n}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} - \ varejpsilon)} , \ end {alinhado}}}

justifica-se a inversão da série dupla por se tratar de uma forma positiva. A série de Dirichlet seria, portanto, convergente em $σ c - ε$ , o que é contrário à definição de $σ c$ .

Também temos $σ h = σ c$ sob outras premissas complementares, colocando

\ Delta = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac n {\ lambda _ {n}}} \ quad {\ text {et}} \ quad G = \ liminf _ {{n \ to \ infty}} (\ lambda _ {{n + 1}} - \ lambda _ {n})

Se $Δ = 0$ , se $G > 0$ e se $σ c$ for finito, então qualquer ponto na linha $Re ( s ) = σ c$ é singular para a função.
Se $Δ$ for finito, se $G > 0$ e se $σ c$ for finito, então qualquer segmento de comprimento $2 π / G$ da reta $Re ( s ) = σ c$ contém pelo menos um ponto singular para a função (o que generaliza o fato de que para uma série inteira, a borda do disco de convergência contém pelo menos um ponto singular).

Abcissa de convergência absoluta

Definimos da mesma forma a abscissa de convergência absoluta $σ a$ como o limite inferior do conjunto de números reais $x$ para os quais a série é absolutamente convergente no semiplano $Re ( s )> x$ . As duas abscissas $σ a$ e $σ c$ (obviamente iguais para uma série com coeficientes positivos) são geralmente ligadas pelas desigualdades:

\ sigma _ {{{\ mathrm c}}} \ leq \ sigma _ {{{\ mathrm a}}} \ leq \ sigma _ {{{\ mathrm c}}} + D \ quad {\ mathrm {o { \ grave u}}} \ quad D = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ ln n} {\ lambda _ {n}}}.

Além disso, mostramos que:

{\ displaystyle {\ text {si}} \ quad D = 0 \ quad {\ text {then}} \ quad \ sigma _ {\ mathrm {c}} = \ sigma _ {\ mathrm {a}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}}

que generaliza o teorema de Cauchy-Hadamard no raio de convergência de uma série inteira. Observe que $D$ é zero assim que $Δ$ é finito, mas isso não é suficiente para garantir a existência de pontos singulares na linha crítica.

No caso de um “clássico” série de Dirichlet : , temos $D$ $= 1$ , portanto: $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {a_ {n} \ sobre n ^ {s}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {c}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {a}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}} +1}

O exemplo da série de Dirichlet da função eta de Dirichlet ( ) mostra que temos uma desigualdade ótima: a série simplesmente converge (é uma série alternada ) apenas para números reais $> 0$ e absolutamente apenas para números reais . Números reais $> 1$ . $\ eta (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {(- 1) ^ {{n-1}} \ sobre n ^ {s}}$

Singularidade de desenvolvimento

Voltamos ao caso em que as duas séries a serem comparadas têm o mesmo tipo (ou seja, mesmo $λ n$ ) tomando a união (reordenada de forma crescente) de seus respectivos tipos.

Nesse caso, se eles têm a mesma função limite em um semiplano $Re ( s )> σ$ onde ambos convergem, então, de acordo com a fórmula de Perron , eles têm os mesmos coeficientes.

Basta para isso que $σ$ seja da forma $Re ( s 0 ) + ε$ para um certo $s 0$ onde as duas séries convergem e um certo $ε> 0$ e que as duas funções neste semiplano coincidam em uma infinidade de pontos pertencentes para um setor $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ$ com $θ <π / 2$ . De fato, se a diferença dessas duas funções não for zero, então seus zeros em tal domínio são finitos, já que isolados e limitados (porque a diferença das duas séries, dividida por seu primeiro termo diferente de zero, é convergente em $s 0,$ portanto uniformemente convergente neste setor , de modo que a função associada tende para $1$ quando $s$ tende para o infinito).

Exemplos de decomposições em série de Dirichlet

${\ frac 1 {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}$ onde $μ$ é a função de Möbius .
${\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}$ onde $φ$ é a indicatriz de Euler
e, mais geralmente, onde $J$ $k$ é a função totiente de Jordan . ${\ frac {\ zeta (sk)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}$
$\ zeta (s) \ zeta (sa) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {{a}} (n)} {n ^ {s} }}$ onde $σ a ( n )$ é a função divisora .
${\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}$ .

Propriedades analíticas

Em muitos casos, a função analítica associada a uma série de Dirichlet tem uma extensão analítica em um campo maior. Este é o caso da função zeta de Riemann , meromórfica em ℂ com um único pólo em $s = 1$ . Uma das conjecturas mais importantes e não resolvidas da matemática, chamada hipótese de Riemann, diz respeito aos zeros dessa função.

Um primeiro passo no estudo da extensão analítica de uma série geral de Dirichlet

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

é definir uma nova série de Dirichlet

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ mu _ {n}}, \ quad \ mathrm {o { \ grave {u}}} \ quad \ mu _ {n} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n}}}

que converge pelo menos no semiplano $Re ( s )> 0$ se $σ c <\infty$ (e mesmo em todo o plano se $σ c <0$ ).

Ao usar isso, a função $Γ$ satisfaz, para qualquer $s$ complexo da parte real $> 0$ (pela mudança da variável $x = t μ n$ )

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ Gama (s) = \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- t \ mu _ {n}} t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}

e ao justificar a inversão da série integral por aumentos adequados, obtemos, então, para qualquer $s$ complexo tal que $Re ( s )> max (σ c , 0)$ :

f (s) = {\ frac 1 {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

Deduzimos de passagem que para todo $σ> max (σ c , 0)$ , $F ( s )$ é o valor principal de

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {\ sigma - \ mathrm {i} \ infty} ^ {\ sigma + \ mathrm {i} \ infty} \ Gamma (\ zeta) f (\ zeta) \ zeta ^ {- s} ~ \ mathrm {d} \ zeta}

Mas a expressão de $f$ como uma função de $F$ é especialmente útil para deduzir um prolongamento meromórfico, sob certas suposições:

Teorema ( Hardy - Fekete ) - Se $σ c <\infty$ e se $F$ se estende em uma função meromórfica em $0$ , a ordem do pólo sendo $q \geq 0$ , então $f$ se estende em uma função meromórfica sobre todo o plano complexo, com como apenas possível pólos dos pólos simples em $1, 2,\dots, q$ .

Demonstração

Podemos facilmente provar que $F$ está diminuindo rapidamente , então

\ Gamma (s) f (s) = \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t + \ int _ {x} ^ {{ + \ infty}} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

onde, para todo $x > 0$ , a segunda integral é uma função inteira . Além disso, por hipótese, $F$ tem na vizinhança de $0$ um desenvolvimento da forma:

F (t) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} c_ {k} t ^ {{kq}}

portanto, para $x$ pequeno o suficiente e para qualquer $s$ complexo tal que $Re ( s )> q$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {kq + s}} {kq + s}}}

No entanto, esta série converge para qualquer complexo $s$ diferente dos inteiros $q , q - 1, q - 2, ...$ (porque o raio de convergência de toda a série de coeficientes $c k$ não é modificado quando dividimos esses coeficientes pelo $k - q + s$ ) e define uma função meromórfica, com pólos (simples) $q - k$ para todo número natural $k$ . Como a função $1 / Γ$ é inteira, obtemos assim uma continuação meromórfica, que denotaremos novamente por $f$ , em todo o plano complexo:

{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {k -q + s}} {kq + s}} + \ int _ {x} ^ {+ \ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t \ right)}

Finalmente, os zeros de $1 / Γ$ nos pontos $0, -1, -2$ , etc. compensar os pólos simples correspondentes, portanto $f$ só tem pólos (simples) possíveis $q , q - 1,\dots, 1$ .

Também podemos calcular, para inteiros $q - k$ , o resíduo ou o valor de $f$ , dependendo se $0 \leq k < q$ ou $k \geq q$ :

\ forall n \ in \ {q, q-1, \ ldots, 1 \} \ quad {\ text {Res}} (f, n) = {\ frac {c _ {{qn}}} {\ Gamma ( n)}}

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (-n) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ Gamma (-n + \ varejpsilon)}} { \ frac {c_ {q + n} x ^ {\ varepsilon}} {\ varepsilon}} = {\ frac {c_ {q + n}} {{\ text {Res}} (\ Gamma, -n)}} = (-1) ^ {n} ~ n! ~ C_ {q + n}}

Histórico

Dirichlet definido estas séries, em 1837 e utilizá-los para provar o teorema progressão aritmética, de acordo com a qual existe uma infinidade de números primos em qualquer progressão aritmética $um + b como$ logo que $um$ e $b$ são primos entre si. Foram estudados apenas a partir da obra de Eugène Cahen , que a tornou objeto de sua tese em 1894. Mas sua tese foi objeto de muitas críticas e, portanto, provocou novos trabalhos. A definição de funções quase periódicas por Harald Bohr permitiu mostrar que as funções definidas pela série de Dirichlet com coeficientes positivos são quase periódicas no semiplano de convergência absoluta.

Parte do desenvolvimento da teoria, vista de uma perspectiva histórica, encontra-se neste link.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Dirichlet series " ( veja a lista de autores ) .

Notas

Valiron 1926 .
De acordo com esta definição, toda a série é zero em $0$ .
Petkov e Yger 2001 , p. 8
Ver, por exemplo, Valiron 1926 , p. 7, Petkov e Yger 2001 , p. 11, Mandelbrojt 1969 , p. 12 ou (en) DV Widder , An Introduction to Transform Theory , Academic Press ,1971( leia online ) , p. 31.
A declaração original de Cahen 1894 “se σ c ≥ 0 então σ c = N ” e sua prova, embora tomada como tal em Apostol 1990 , p. 162-164 ( visualização no Google Livros ), são falsos se $σ c = 0$ . No entanto, Hardy e Riesz 1915 , p. 6-7 demonstram esta declaração Cahen sob a suposição adicional de que a série diverge 0 ou converge para um valor diferente de zero, e (in) Hugh L. Montgomery e RC Vaughan , Teoria dos Números Multiplicativos I: Teoria Clássica , UPC ,2007( leia online ) , p. 13faça isso sem essa suposição, mas apenas para uma série clássica de Dirichlet ( ou seja, para $λ n = ln ( n )$ ).
(em) T. Kojima , " On the convergence abscissa-General of Dirichlet's series " , TMJ , vol. 6,1914, p. 134-139forneceu uma variante $N '$ ( vista no Google Livros ) que é sempre igual a $σ c$ , mesmo quando $N'$ não é estritamente positivo: cf. Maurice Blambert , “ Na abscissa da convergência simples da série de Dirichlet geral ”, Ann. Inst. Fourier , vol. 14, n o 21964, p. 509-518 ( ler online ).
Para prova direta neste caso e exemplos, veja o artigo " Fórmula Sumativa de Abel ".
Petkov e Yger 2001 , p. 12
Petkov e Yger 2001 , p. 9 e Colmez 2009 , p. 274
Cahen 1894 , p. 92
Hardy e Riesz 1915 , p. 6
Petkov e Yger 2001 , p. 47
estão surgindo a Mellin transformam de $F$ .
O caso particular em que $f$ é a função zeta de Riemann - $F ( t )$ sendo então claramente igual a $1 / (e t - 1)$ - é tratado na § “Expressão integral” do artigo “Função zeta de Riemann” .
Petkov e Yger 2001 , p. 49
Petkov e Yger 2001 , p. 49 para o caso geral. Para a série clássica de Dirichlet, consulte também Colmez 2009 , p. 280 e seguintes.
Colmez 2009 , p. 247: Funções holomórficas definidas por uma integral
" [...] a primeira tentativa de construir uma teoria sistemática da função $f '' ( s )$ foi feita por Cahen em um livro de memórias que, embora grande parte da análise que contém esteja aberta a críticas sérias, serviu - e possivelmente justamente por isso - como ponto de partida da maioria das pesquisas posteriores no assunto. » , Hardy e Riesz 1915 , p. 1-2

Referências

(pt) Tom M. Apostol , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory , Springer , col. " GTM " ( n o 41)1990( leia online )
Eugène Cahen , " Sobre a função $ζ ( s )$ Riemann e funções semelhantes " Asens , 3 série E , vol. 11,1894, p. 75-164 ( ler online )
Pierre Colmez , Elementos de análise e álgebra (e teoria dos números) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , leitura online ) , cap. 7
(pt) GH Hardy e Marcel Riesz , The General Theory of Dirichlet's Series , coll. "Cambridge Tracts in Mathematics",1915( leia online )
S. Mandelbrojt , Dirichlet Series. Princípios e métodos , Paris, Gauthier-Villars ,1969
Vesselin Petkov e Alain Yger , Analytical Singularities of Dirichlet Series , University of Bordeaux I ,2001( leia online )
G. Valiron , “ Teoria geral da série de Dirichlet ”, Memorial das ciências matemáticas , vol. 17,1926, p. 1-56 ( ler online )

Bibliografia adicional

Vladimir Bernstein (de) , Lessons on Recent Advances in Dirichlet Series Theory , 1933
Colin, série The Dirichlet , Magistère de Cachan, 1995-1996
(pt) Edward Charles Titchmarsh , The Theory of Functions , Oxford University Press , Londres, 1939