Raio de convergência

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O raio de convergência de uma série inteira é o número real positivo ou $+ \infty$ igual ao limite superior do conjunto de módulos de números complexos para onde a série converge (no sentido clássico de convergência simples ):

{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {simplesmente converge}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Propriedades

Se $R$ é o raio de convergência de uma série de potência, então a série é absolutamente convergente no disco aberta $D (0, R )$ a partir do centro $0$ e o raio $R$ . Este disco é denominado disco de convergência . Essa convergência absoluta produz o que às vezes é chamado de convergência incondicional : o valor da soma em qualquer ponto deste disco não depende da ordem dos termos. Por exemplo, temos:

$\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n}} z ^ {{2n}} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n + 1}} z ^ {{2n + 1}}$ ;
${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ right) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}$ , onde e são os raios de convergência das duas séries inteiras (ver produto de Cauchy ). $R_1$ $R_2$

Se toda a série tiver um raio de convergência $R$ , então: $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}$

a convergência é até normal (portanto uniforme ) em qualquer compacto incluído em $D (0, R )$ ;
para qualquer $z$ complexo tal que $| z | > R$ , a série diverge aproximadamente ;
para qualquer $z$ complexo tal que $| z | = R$ , a série pode divergir ou convergir;
o inverso do raio $R$ é dado pelo teorema de Cauchy-Hadamard : onde $lim sup$ denota o limite superior ; ${\ frac 1R} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {{n \ to \ infty}} \ esquerda | {\ frac {a _ {{n + 1}}} {a_ {n}}} \ direita |$
se $R$ não for zero, então a soma $f$ de toda a série é uma função holomórfica em $D (0, R )$ , onde temos ${\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} }$ ;
se o raio $R$ for infinito, a série inteira é chamada de função inteira .