Função divisória

Em matemática , a função "soma das potências dos divisores ", às vezes abreviada como uma função divisora , denotado , é a função multiplicativa que para qualquer número inteiro $n$ $> 0$ associa a soma das potências -ésimas dos divisores positivos de $n$ , onde é qualquer número complexo : $\ sigma _ {a}$ $no$ $no$

{\ displaystyle \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {d | n} d ^ {a}.}

Propriedades

A função é multiplicativo , que é dizer que para todos os inteiros m e n coprime , . Na verdade, é o produto da convolução de duas funções multiplicativas : a função potência- ésima e a função constante 1. $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n)}$ $\ sigma _ {a}$ $no$
Se $p$ é um número primo, então $σ a ( p k )$ é uma soma parcial de séries geométricas : ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N}, \ quad \ sigma _ {a} (p ^ {k}) = 1 + p ^ {a} + p ^ {2a} + \ ldots + p ^ { ka} = {\ begin {cases} {\ frac {p ^ {(k + 1) a} -1} {p ^ {a} -1}} & {\ text {si}} p ^ {a} \ neq 1, \\ k + 1 & {\ text {si}} p ^ {a} = 1. \ end {casos}}}$ (A condição $p a = 1 é$ equivalente a $a \in i (2π / log p ) ℤ$ , que é verdadeira para todo $p$ se $a$ for zero e para no máximo um se não for .) Em particular, não é completamente multiplicativo . $\ sigma _ {a}$
O uso das duas propriedades anteriores torna possível determinar $σ a ( n )$ conhecendo a decomposição em fatores primos de $n$ : ${\ displaystyle {\ rm {si}} \ quad n = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {k_ {i}} \ quad {\ rm {then}} \ quad \ sigma _ {a} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {ja}.}$
A segunda das mesmas duas propriedades permite calcular $σ a$ ( p k ) pelos polinômios de Chebyshev : seja $U k$ o polinômio de Chebyshev do segundo tipo de grau $k$ , e $X k$ sua renormalização, definida por $X k ( T ) = U k ( T / 2)$ . Então : ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {a} (p ^ {k})} {p ^ {ak / 2}}} = X_ {k} \ left ({\ frac {\ sigma _ {a} ( p)} {p ^ {a / 2}}} \ direita).}$

Demonstração

Denote por $q = p a / 2$ . É uma questão de provar que

${\ displaystyle 1 + q ^ {2} + q ^ {4} + ... + q ^ {2k} = q ^ {k} X_ {k} (q + q ^ {- 1})}$

ou, de forma mais geral, que temos a igualdade dos polinômios:

${\ displaystyle 1 + T ^ {2} + T ^ {4} + ... + T ^ {2k} = T ^ {k} X_ {k} (T + T ^ {- 1}).}$ Basta para isso verificá-lo em um número infinito de valores . Agora, para qualquer real $θ$ não múltiplo de $π$ , definindo $t = e i θ$ , temos

${\ displaystyle X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = X_ {k} (2 \ cos \ theta) = U_ {k} (\ cos \ theta) = {\ frac {\ sin ((k +1) \ theta)} {\ sin \ theta}} = {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}}}$

portanto

${\ displaystyle t ^ {k} X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = {\ frac {t ^ {k + 1}} {t}} {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}} = {\ frac {t ^ {2 (k + 1)} - 1} {t ^ {2} -1}} = 1 + t ^ {2} + t ^ {4} + ... + t ^ {2k},}$

que conclui.

Por multiplicatividade, deduzimos do ponto anterior: ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {d \ mid (m, n)} d ^ {a} \ sigma _ {a} \ left ({ \ frac {mn} {d ^ {2}}} \ right)}$ (onde $( m , n )$ denota o mdc de $m$ e $n$ ) então, por inversão de Möbius : ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ sum _ {d \ mid (m, n)} \ mu (d) d ^ {a} \ sigma _ {a} \ left ({\ frac {m } {d}} \ right) \ sigma _ {a} \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$ .
A série de Dirichlet associada é expressa usando a função de Riemann $ζ$ : $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (sa)}$ e temos a relação: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}}.}$

Caso em que a é um número natural

Função de número de divisores

A função ( "número de divisores" ), também conhecida como $d$ , também é chamada de função tau (do alemão Teiler : divisor) e conhecida como $τ$ . Ele conta o número de divisores positivos de $n$ : $\ sigma _ {0}$

{\ displaystyle d (n) = \ tau (n) = \ sum _ {d | n} 1 = \ operatorname {Cartão} \ {1 \ leqslant d \ leqslant n: d | n \} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} (k_ {i} +1).}

O resultado está listado conforme A000005 de OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {0} (n))}$

Soma da função divisora

A função sigma às vezes é denotada $σ$ . Nós temos $\ sigma _ {1}$

{\ displaystyle \ sigma (n) = \ sum _ {d | n} d = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {j} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {k_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}}.}

Por exemplo, se $n = pq$ para dois números primos distintos $p$ e $q$ , então

${\ displaystyle \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q) {\ text {and}} \ varphi (n) = (p-1) (q- 1) = n + 1- (p + q)}$ onde φ é a indicatriz de Euler .

A soma dos divisores estritos de $n$ é ${\ displaystyle s (n) = \ sum _ {d | n, d \ neq n} d = \ sigma (n) -n.}$ Diz-se que o inteiro $n$ é perfeito se $s ( n ) = n$ , deficiente se $s ( n ) < n$ e abundante se $s ( n )> n$ .

O resultado está listado conforme A000203 de OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {1} (n))}$

Outros valores de $um$

O resultado está listado conforme A001157 de OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {2} (n))}$

O resultado está listado conforme A001158 de OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {3} (n))}$

Notas e referências

Emmanuel Royer. Um curso "africano" sobre formas modulares .
" d (n) (também chamado de tau expirado (n) ouro sigma_0 (n)), o número de divisores de n " , seguindo A000005 do OEIS .
GH Hardy e EM Wright , introdução à teoria dos números ; William John Ellison e Michel Mendès France , The Prime Numbers ,1975[ detalhe da edição ].
Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlim 1909.
Gérald Tenenbaum , Introdução à teoria analítica e probabilística dos números , Belin.

Veja também

Bibliografia

J. Liouville , “ Generalization of a formula referente à soma das potências dos divisores de um número ”, J. Math. Pure Appl. , 2 nd série, vol. 3,1858, p. 63-68 ( ler online )

Link externo

(en) Eric W. Weisstein , “ Divisor Function ” , no MathWorld