Divisor

A palavra “ divisor ” tem dois significados em matemática . A divisão é feita a partir de um “ dividendo ” e um “ divisor ” e, uma vez concluída a operação, o produto do “ quociente ” pelo divisor mais o “ resto ” é igual ao dividendo. Em aritmética , um “ divisor ” de um inteiro n é um inteiro do qual n é um múltiplo . Mais formalmente, se d e n são dois inteiros, d é um divisor de n apenas se houver um inteiro k tal que $dk = n$ . Portanto, $2$ é um divisor de $10$ porque $2 \times 5 = 10$ .

A noção de divisor está ligada à de múltiplo , porque se d divide n então n é um múltiplo de d , e à noção de divisibilidade .

O nome vem da operação aritmética de divisão : se a , b são inteiros com b diferente de zero, e se c = a / b é um inteiro, então a é o dividendo , b o divisor ec o quociente.

Conjunto de divisores de um inteiro

Se o inteiro n for zero, qualquer inteiro divide n .

Se o inteiro n não for zero, ele terá divisores positivos e negativos, mas nenhum divisor zero. Se d é um divisor de n, então - d também é um divisor de n . Essas observações explicam por que frequentemente estamos interessados apenas em divisores positivos de um número inteiro positivo. Posteriormente, nos colocaremos nesta situação.

Portanto, o conjunto de divisores (positivos) de 10 é {1, 2, 5, 10} e o de 60 é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} .

Se d é um divisor de n , qualquer divisor de d também é um divisor de n . Esta propriedade induz uma espécie de hierarquia entre os divisores de um inteiro que pode ser visualizada na forma de um diagrama de Hasse .

Se n for igual a 1, n terá apenas um divisor: 1.

Qualquer número inteiro n estritamente maior que 1 tem pelo menos dois divisores 1 e n, que são chamados de divisores triviais. Um divisor de n diferente de n é um divisor estrito de n (ou parte da alíquota - o termo divisor próprio é usado como sinônimo às vezes de divisor estrito, às vezes de divisor não trivial ). Um número inteiro n que tem exatamente dois divisores é chamado de número primo . Um divisor primo de n é chamado de divisor primo de n .

O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número inteiro estritamente maior que 1 é exclusivamente escrito como um produto das potências dos números primos, que são seus divisores primos. Essa decomposição em fatores primos permite enumerar todos os divisores do inteiro. sim $n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} p_ {i} ^ {{\ alpha _ {i}}}$ onde p i são números primos distintos e α i são expoentes inteiros estritamente positivos, então, d é um divisor de n se e somente se houver inteiros β i variando amplamente entre 0 e α i, de modo que $d = \ prod _ {{i = 1}} ^ {{k}} p_ {i} ^ {{\ beta _ {i}}}.$

Portanto, a decomposição de 60 é $60 = 2 ^ {2} \ vezes 3 ^ {1} \ vezes 5 ^ {1}$ e 10 é um divisor de 60 porque pode ser escrito $10 = 2 ^ {1} \ vezes 3 ^ {0} \ vezes 5 ^ {1}.$

Funções vinculadas ao conjunto de divisórias

Existem funções de um inteiro n criado a partir do conjunto de seus divisores. As mais clássicas são as funções “ número de divisores ” e “ soma de divisores ”.

A função “número de divisores” fornece o número d ( n ) dos divisores de n . Assim, d (10) = 4, d (36) = 9 e d (60) = 12. A fatoração primária de n torna possível dar um valor explícito a essa função. Se a decomposição de n for $n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {{k}} p_ {i} ^ {{\ alpha _ {i}}}$ tão $d (n) = \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} (\ alpha _ {i} +1).$

As funções "soma divisores" e "soma dos divisores" envolvidas no estudo de números perfeitos , números abundantes , números deficientes ou números amigáveis e em suítes de alíquotas .

Eles fazem parte da família de funções "soma dos poderes dos divisores" .

Divisor em um anel

A definição de generaliza divisor para um anel conmutativo : se um e b são dois elementos de um anel A , B divide um se e apenas se existe um elemento C de A de tal modo que um = bc .

Atenção especial deve ser dada ao conceito do divisor de zero . De acordo com a definição anterior, qualquer elemento de uma dividido 0 A (elemento neutro de adição no anel A) na forma de um × 0 A = 0 um . No entanto, de uma forma não-anel incorpora , existem elementos de uma , diferente de zero, b e c tal que BC = 0 um . Estes elementos são chamados divisores de zero em A .

Classificação e referência

Aviva Szpirglas , Álgebra L3: Curso completo com 400 testes e exercícios corrigidos [ detalhe da edição ], parte IV, capítulo 9, I.5, p. 462 .

Veja também

Tabela de fatores primos : uma tabela de fatores primos de inteiros de 1 a 1000
Tabela de divisores : uma tabela de divisores (primos e não primos) de números inteiros de 1 a 1000
Maior divisor comum
Aritmética modular
Anel fatorial