Na álgebra , as séries formais são uma generalização de polinômios permitindo somas infinitas, da mesma forma que na análise , as séries inteiras generalizam funções polinomiais , exceto que no arcabouço algébrico os problemas de convergência são evitados por definições ad hoc . Esses objetos são úteis para descrever sequências de forma concisa e para encontrar fórmulas para sequências definidas por indução por meio das chamadas séries geradoras .
Seja R um anel comutativo ( unificado ). O anel R [[ X ]] de série formal sobre R em um X indeterminado é o grupo abeliano ( R N , +) de sequências com valores em R , dotadas de uma certa lei de multiplicação interna . Mais precisamente :
(é um tipo de produto de convolução discreto).
Essas duas operações tornam R [[ X ]] um anel comutativo.
A topologia em R [[ X ]] melhor porque, quaisquer que sejam os coeficientes a n em R , é a topologia produzida em R N, em que R é dotado de topologia discreta .
Por construção, este espaço é:
Reconhecemos a distância da topologia I -adic onde I = ( X ) é os múltiplos ideais de X . Faz de R [[ X ]] um anel topológico (se K for um campo comutativo, K (( X )) também é dotado de uma estrutura de campo topológico ).
Consequentemente, a propriedade que motivou a escolha desta topologia é generalizada: uma série de termos gerais f n converge em R [[ X ]] se e somente se para qualquer número natural N , quase todas as séries formais f n (au significando: apenas um número finito ) são múltiplos de X N . Além disso, qualquer rearranjo da série converge para o mesmo limite.
Em análise, uma série inteira convergente define uma função com valores reais ou complexos. As séries formais também podem ser vistas como funções cujos conjuntos inicial e final devem ser tratados com cuidado. Se f = Σ um n X n é um elemento de R [[ X ]], S uma álgebra conmutativo e associativo em R , I um ideal de S de tal modo que o eu -adic topologia em S é completa, e x um elemento de I , então é possível definir:
Esta série converge em S graças à suposição de x . Além disso :
e
No entanto, essas fórmulas não são definições e devem ser demonstradas.
Uma vez que a topologia sobre R [[ X ]] é a topologia ( X ) -ádica e R [[ X ]] é completa, é possível aplicar uma série formal a outra série formal, desde que os argumentos n 'não tenham constante coeficiente: f (0), f ( X 2 - X ) ef ((1 - X ) −1 - 1) são bem definidos para qualquer série formal f ∈ R [[ X ]].
Com este formalismo, podemos dar uma fórmula explícita para o inverso (no sentido multiplicativo) de uma série formal f cujo coeficiente constante a = f (0) é invertível em R :
Se a série formal g com g (0) = 0 é dada implicitamente pela equação
onde f é uma série inteira conhecida que satisfaz f (0) = 0, então os coeficientes de g podem ser calculados explicitamente usando o teorema de inversão de Lagrange .
Se f = ∑ a n X n é um elemento de R [[ X ]], definimos sua derivada formal usando o operador D definido por
Esta operação é R - linear :
para a , b em R e f , g em R [[ X ]].
Muitas propriedades da derivação clássica de funções são válidas para a derivação de séries formais. Por exemplo, a regra de derivação de um produto é válida:
bem como a regra de derivação de um composto:
Em certo sentido, todas as séries formais são séries de Taylor , porque se f = ∑ a n X n , escrevendo D k como a k- ésima derivada formal, descobrimos que
Também podemos definir a derivação para séries formais de Laurent de forma natural, e neste caso a regra de quociente, além das regras listadas acima, também será válida.
A maneira mais rápida para definir o anel R [[ X 1 , ..., X r ]] das séries formais de R em R variáveis começa com o anel S = R [ X 1 , ..., X r ] dos polinómios em R . Seja I o ideal de S gerado por X 1 ,…, X r ; considere então a topologia I -adic em S e conclua-a (en) . O resultado desta conclusão é um anel topológico completo contendo S e que é denotado por R [[ X 1 ,…, X r ]].
Para n = ( n 1 ,…, n r ) ∈ N r , escrevemos X n = X 1 n 1 … X r n r . Então, cada elemento de R [[ X 1 , ..., X r ]] é escrito exclusivamente como uma soma da seguinte forma:
Essas somas convergem para qualquer escolha dos coeficientes a n ∈ R e a ordem em que os elementos são somados não importa.
A topologia em R [[ X 1 , ..., X r ]] é a topologia J -adic, onde J é o ideal de R [[ X 1 , ..., X r ]] gerado por X 1 , ..., X r ( ou seja, J é composto de séries cujo coeficiente constante é zero).
Como R [[ X 1 ,…, X r ]] é um anel comutativo, podemos definir seu anel de série formal, denotado por R [[ X 1 ,…, X r ]]. Este anel é naturalmente isomórfico ao anel R [[ X 1 ,…, X r ]] definido anteriormente, mas esses anéis são topologicamente diferentes.
Se R for principal, então R [[ X 1 ,…, X r ]] é fatorial .
Quanto à série formal com uma variável, pode-se “aplicar” uma série formal com várias variáveis a outra série formal desde que seu coeficiente constante a (0, ..., 0) seja zero. Também é possível definir derivadas parciais dessas séries formais. Derivados parciais comutam como o fazem para funções continuamente diferenciáveis.
Podemos usar séries formais para provar a parte puramente algébrica de algumas identidades clássicas de análise. Por exemplo, séries formais (com coeficientes racionais ) verificar (a última expressão sendo definida no anel Q [[ X, Y ]].
Métodos múltiplos ( ver artigo detalhado) tornam possível representar uma seqüência por uma série formal e explicar os termos da seqüência (ou pelo menos, informações sobre seu comportamento) a partir de cálculos na série associada.
O anel da série formal R [[ X 1 , ..., X r ]] tem a seguinte propriedade universal :
então existe um único mapa Φ: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S verificando
Seja G um grupo abeliano totalmente ordenado .
Podemos então construir o conjunto R (( G )) das somas
em subconjuntos ordenada I de L , e em que um i são elementos de R . Soma Tal é zero se tudo a i são zero. Mais formalmente, são os mapas de G em R com um suporte bem ordenado.
Então R (( G )) é um anel comutativo chamado de anel de série formal em G generalizado . A condição de que as somas se referem a subconjuntos I bem ordenados garante que o produto seja bem definido.
Se R é um campo e se G é o grupo de inteiros relativos, encontramos a série formal de Laurent.
Várias propriedades de R podem ser transferidas para R (( G )).
Se R é um campo, então é R (( G )). Se R é um campo ordenado , podemos definir em R (( G )) uma relação de ordem atribuindo a cada série o sinal de seu coeficiente dominante: o coeficiente associado ao menor i tal que a i é diferente de zero. Se G é um grupo divisível e R um campo real fechado, então é o mesmo para R (( G )) Finalmente, se G é um grupo divisível e R um campo algebraicamente fechado, então é o mesmo para R (( G ))Esta teoria foi desenvolvida pelo matemático austríaco Hans Hahn