Teorema de inversão de Lagrange
Em matemática , o teorema de inversão de Lagrange fornece a expansão em série de certas funções definidas implicitamente ; a fórmula de inversão de Lagrange , também conhecida como fórmula de Lagrange-Bürmann , é um caso especial que dá a expansão da série de Taylor da bijeção recíproca de uma função analítica .
Fórmula geral
Se z é uma função de x , de y e de uma função indefinidamente diferenciável f , tal que
z=x+yf(z){\ displaystyle z = x + yf (z)}então, para qualquer função indefinidamente diferenciável g , temos
g(z)=g(x)+∑k=1∞ykk!(∂∂x)k-1(f(x)kg′(x)){\ displaystyle g (z) = g (x) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {k}} {k!}} \ left ({\ frac {\ partial } {\ partial x}} \ right) ^ {k-1} \ left (f (x) ^ {k} g '(x) \ right)}para y pequeno, se a série convergir (veja abaixo a versão formal dessa identidade).
Se g é a função de identidade, obtemos então
z=x+∑k=1∞ykk!(∂∂x)k-1(f(x)k){\ displaystyle z = x + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {k}} {k!}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x} } \ right) ^ {k-1} \ left (f (x) ^ {k} \ right)}Casos especiais
Caso de bijeção recíproca
Se tomarmos x = 0 e f ( z ) = z ⁄ h ( z ) onde h é uma função analítica tal que h (0) = 0 e h ' (0) ≠ 0 , obtemos a relação y = h ( z ) e a fórmula de inversão de Lagrange fornece a série de Taylor da função h −1 , a saber:
z=h-1(y)=∑k=1∞ykk!(∂∂x)k-1(xh(x))k{\ displaystyle z = h ^ {- 1} (y) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {k}} {k!}} \ left ({\ frac { \ parcial} {\ parcial x}} \ direita) ^ {k-1} \ esquerda ({\ frac {x} {h (x)}} \ direita) ^ {k}}as derivadas sendo calculadas em x = 0 .
Mais precisamente, seja f uma função analítica (variável complexa) no ponto a tal que f '( a ) ≠ 0 . Podemos então resolver a equação em w , f ( w ) = z para z pertencente a uma vizinhança de f ( a ) , obtendo w = g ( z ) , onde
g é analítico no ponto b = f ( a ) . Dizemos que g é obtido por inversão de série .
A expansão serial de g é dada por
g(z)=no+∑não=1∞(limC→no(dnão-1dCnão-1(C-nof(C)-b)não)(z-b)nãonão!).{\ displaystyle g (z) = a + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ lim _ {w \ to a} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ , n-1}} {\ mathrm {d} w ^ {\, n-1}}} \ left ({\ frac {wa} {f (w) -b}} \ right) ^ {n} \ right ) {\ frac {(zb) ^ {n}} {n!}} \ right).}Esta fórmula é de fato válida para séries formais e pode ser generalizada de várias maneiras: para funções de várias variáveis, para o caso em que f '( a ) = 0 (o inverso g sendo então uma função multivalorada ), e para extensões para álgebras de operadores, como para o exponencial ou o logaritmo de matrizes.
Este teorema foi demonstrada por Lagrange e generalizada por Hans Heinrich Bürmann (em) no final do XVIII th século. Ele pode ser obtido usando a teoria (posterior) da integral de contorno , mas é na realidade um resultado puramente formal, do qual se pode dar uma prova direta.
Fórmula de Lagrange-Bürmann
Um caso especial do teorema, usado em combinatória analítica , corresponde af ( w ) = w / ϕ ( w ) e ϕ (0) ≠ 0 . Tomando a = 0 e b = f (0) = 0 , obtemos
g(z)=∑não=1∞(limC→0(dnão-1dCnão-1(CC/ϕ(C))não)znãonão!){\ displaystyle g (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ lim _ {w \ to 0} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {n-1 }} {\ mathrm {d} w ^ {n-1}}} \ left ({\ frac {w} {w / \ phi (w)}} \ right) ^ {n} \ right) {\ frac { z ^ {n}} {n!}} \ direita)}
=∑não=1∞1não(1(não-1)!limC→0(dnão-1dCnão-1ϕ(C)não))znão,{\ displaystyle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim _ {w \ to 0} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {n-1}} {\ mathrm {d} w ^ {n-1}}} \ phi (w) ^ {n} \ right) \ direita) z ^ {n},}
que também pode ser escrito
[znão]g(z)=1não[Cnão-1]ϕ(C)não,{\ displaystyle [z ^ {n}] g (z) = {\ frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] \ phi (w) ^ {n},}onde [ w r ] denota o coeficiente de w r na expressão que o segue.
Uma generalização útil desta fórmula é conhecida como fórmula de Lagrange - Bürmann :
[znão]H(g(z))=1não[Cnão-1](H′(C)ϕ(C)não){\ displaystyle [z ^ {n}] H (g (z)) = {\ frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] (H '(w) \ phi (w) ^ { não})},
onde H pode ser uma série formal ou uma função analítica arbitrária, por exemplo H ( w ) = w k .
Formulários
Função W de Lambert
A função de Lambert W é a função W ( z ) definida pela equação implícita
C(z)eC(z)=z.{\ displaystyle W (z) \ mathrm {e} ^ {W (z)} = z. \,}O teorema de Lagrange nos permite calcular a série de Taylor de W ( z ) perto de z = 0 . Tomando f ( w ) = w e w e a = b = 0 , notamos que
dnãodxnão eαx=αnãoeαx{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, x} \, = \, \ alpha ^ {n} \, \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, x}}Qual dar
C(z)=∑não=1∞limC→0(dnão-1dCnão-1 e-nãoC)znãonão!=∑não=1∞(-não)não-1znãonão!=z-z2+32z3-83z4+12524z5-⋯.{\ displaystyle W (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lim _ {w \ to 0} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {\, n-1} } {\ mathrm {d} w ^ {\, n-1}}} \ \ mathrm {e} ^ {- nw} \ right) {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \, = \, \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- n) ^ {n-1} \, {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = zz ^ {2} + { \ frac {3} {2}} z ^ {3} - {\ frac {8} {3}} z ^ {4} + {\ frac {125} {24}} z ^ {5} - \ dotsb. }O raio de convergência desta série é e –1 (que corresponde ao ramo principal da função de Lambert).
Podemos obter uma série com maior raio de convergência pelo mesmo método: a função f ( z ) = W (e z ) - 1 satisfaz a equação
1+f(z)+em(1+f(z))=z.{\ displaystyle 1 + f (z) + \ ln (1 + f (z)) = z. \,}Desenvolvendo z + ln (1 + z ) em série e invertendo este, obtemos para f ( z + 1) = W (e z + 1 ) - 1 :
C(e1+z)=1+z2+z216-z3192-z43072+13z561440-47z61474560-73z741287680+2447z81321205760+O(z9).{\ displaystyle W (e ^ {1 + z}) = 1 + {\ frac {z} {2}} + {\ frac {z ^ {2}} {16}} - {\ frac {z ^ {3 }} {192}} - {\ frac {z ^ {4}} {3072}} + {\ frac {13z ^ {5}} {61440}} - {\ frac {47z ^ {6}} {1474560} } - {\ frac {73z ^ {7}} {41287680}} + {\ frac {2447z ^ {8}} {1321205760}} + O (z ^ {9}).}W ( x ) pode ser deduzido substituindo ln x - 1 por z nesta série. Por exemplo, tomando z = –1 , encontramos W (1) = 0,567143 dentro de 10 -6 .
Combinatória analítica
Seja B n o número de árvores binárias (não rotuladas) com n nós.
Remover a raiz de uma árvore a divide em duas árvores menores; deduzimos que a função geradora satisfaz a equação funcional:
B(z)=∑não=0∞Bnãoznão{\ displaystyle B (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} z ^ {n}}
B(z)=1+zB(z)2.{\ displaystyle B (z) = 1 + zB (z) ^ {2}.}Colocando C ( z ) = B ( z ) - 1 , esta equação pode ser reescrita:
z=VS(z)(VS(z)+1)2.{\ displaystyle z = {\ frac {C (z)} {(C (z) +1) ^ {2}}}.}Podemos, portanto, aplicar o teorema com ϕ ( w ) = ( w + 1) 2 :
Bnão=[znão]VS(z)=1não[Cnão-1](C+1)2não=1não(2nãonão-1)=1não+1(2nãonão).{\ displaystyle B_ {n} = [z ^ {n}] C (z) = {\ frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] (w + 1) ^ {2n} = { \ frac {1} {n}} {2n \ escolha n-1} = {\ frac {1} {n + 1}} {2n \ escolha n}.}Deduzimos que B n é o n- th número catalã .
Notas e referências
Notas
(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
“ Teorema de inversão de Lagrange ” ( veja a lista dos autores ) .
Referências
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(em) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas [ detalhes de publicação ] ( ler online ), indivíduo. 3.6.6. : “Expansão de Lagrange”, p. 14
-
Joseph-Louis Lagrange , “ Novo método para resolver equações literais por meio de séries ”, Memoirs of the Royal Academy of Sciences and Belles-Lettres of Berlin , vol. 24,1770, p. 251-326 ( ler online ) (apresentado em 1768)
-
Hans Heinrich Bürmann , " Teste de cálculo do funcionário público com constantes ad-libitum ", Institut National de France , apresentado em 1796. Para um resumo deste artigo, cf. (de) Bürmann , “Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges ” , em CF Hindenburg , Archiv der reinen und angewandten Mathematik , vol. 2, Leipzig, Schäferischen Buchhandlung,1798( leia online ) , p. 495-499
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Hans Heinrich Bürmann , Fórmulas de Desenvolvimento, Feedback e Integração, submetido ao Instituto Nacional da França. O manuscrito de Bürmann é mantido nos arquivos da Escola Nacional de Pontes e Estradas de Paris
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Lagrange e Legendre , “ Relatório sobre dois artigos analíticos do Professor Burmann ”, Memórias do Instituto Nacional de Ciências e Artes: Ciências Matemáticas e Físicas , vol. 2,1799, p. 13-17 ( ler online )
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Veja o artigo em inglês sobre séries formais
Veja também
Artigo relacionado
Fórmula de Faà di Bruno
links externos
- (en) Eric W. Weisstein , “ Lagrange Inversion Theorem ” , no MathWorld
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(en) M. Müller, " Equação do Tempo - Problema em Astronomia " , Acta Phys. Pol. A (in) , vol. 88,1995( leia online )na equação do tempo contendo uma aplicação à equação de Kepler
- (en) Eric W. Weisstein , “ Teorema de Bürmann ” , no MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein , “ Series Reversion ” , no MathWorld
- (en) ED Solomentsev , " Bürmann-Lagrange series " , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">