Grupo ordenado

Um grupo ordenado é um grupo fornecido com uma relação de ordem respeitada pelas traduções.

Definições

Seja ( G ,). Um grupo (o direito do grupo a ser denotado multiplicatively ) e ≤ uma relação de ordem no G . Dizemos que isso é compatível com a lei do grupo quando para todos os elementos x , y e z do grupo, a relação x ≤ y envolve as duas relações zx ≤ zy e xz ≤ yz . Um grupo ordenado é um conjunto fornecido simultaneamente com uma lei de grupo e uma relação de ordem compatível. Chamamos um grupo totalmente ordenado de um grupo ordenado cuja relação de ordem é total .

Em um grupo ordenado G , um elemento é considerado positivo se for maior que o elemento neutro e G e negativo se for menor que ele.

Uma parte P de um grupo G forma o conjunto de elementos positivos de G para uma determinada ordem compatível se e somente se P for um cone positivo , ou seja: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } e P é estável por conjugação .

Exemplos

O grupo aditivo de números reais , (ℝ, +), é um grupo abeliano totalmente ordenado pela ordem usual.

Graças às três primeiras propriedades abaixo, deduzimos imediatamente muitos outros grupos abelianos total ou parcialmente ordenados.

Propriedades

• Qualquer subgrupo de um grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) é um grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) pela restrição da ordem do grupo.
• Qualquer produto (mesmo infinito) de grupos ordenados é um grupo ordenado pela ordem parcial produzida . Se o conjunto de índices estiver bem ordenado , o produto também é fornecido com uma ordem lexicográfica também compatível.
• Qualquer grupo isomórfico a um grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) é um grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) pela ordem induzida .
• Em um grupo ordenado, para todos os elementos x , y , x ' e y' , as desigualdades x ≤ y e x ' ≤ y' levam à desigualdade xx '≤ yy' .Em outras palavras, podemos compor, membro por membro, desigualdades de mesmo significado. De fato, de acordo com a definição, a desigualdade x ≤ y acarreta xx ' ≤ yx' . Da mesma forma, a desigualdade x ' ≤ y' resulta em yx ' ≤ yy' . Concluímos pela transitividade da relação de ordem.
• Em um grupo ordenado, para todos os elementos x e y , a desigualdade x ≤ y acarreta a desigualdade y −1 ≤ x −1 .Em outras palavras, podemos voltar a uma desigualdade mudando seu significado. Para obter este resultado, basta multiplicar a inequação x ≤ y por y −1 à esquerda e por x −1 à direita.
• Em um grupo totalmente ordenado, a conjugação preserva o "  sinal  " ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ), e cada elemento tem raízes únicas (para qualquer número inteiro diferente de zero n , x n = y n ⇒ x = y ).
• Qualquer grupo totalmente ordenável é livre de torção .O inverso é verdadeiro se o grupo é abeliano , mas falso, no caso geral: por exemplo o grupo fundamental da garrafa de Klein , isto é, o grupo com dois geradores de um e b ligadas apenas pela aba -1 = b -1 , é Torsion- grátis, mas (de acordo com o ponto anterior) não totalmente pedível.
• Hölder 's teorema (1902): qualquer totalmente ordenado de Arquimedes grupo é abeliano e é imerso em (ℝ, +, ≤).

Veja também

• Axioma de Arquimedes
• Corpo ordenado
• Espaço vetorial ordenado  (em)

Referências

1. T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , p.  143.
2. (in) Dale Rolfsen, "  Ordered Groups and Topology  " , na UBC ,2001.