Fórmula Multinomial de Newton
Em matemática , a fórmula do multinomial de Newton é uma relação que dá o desenvolvimento de uma potência inteira n de uma soma de um número finito m de termos na forma de uma soma de produtos de potências desses termos coeficientes atribuídos, que são chamados de coeficientes multinomiais . A fórmula binomial é obtida como um caso particular da fórmula multinomial, para m = 2 ; e, neste caso, os coeficientes multinomiais são os coeficientes binomiais .
Estados
Deixe que m e n ambos números inteiros e x 1 , x 2 , ..., x m de números reais ou complexo (ou mais geralmente, os elementos de um anel conmutativo ou apenas uma anel , desde que estes m elementos mudar dois a dois) . Então,
(x1+x2+x3+⋯+xm)não=∑k1+k2+k3+...+km=não(nãok1,k2,k3,...,km)x1k1x2k2x3k3...xmkm{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ dots + x_ {m}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ escolha k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ dots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ pontos x_ {m} ^ {k_ {m}}}.
A soma se refere a todas as combinações de índices inteiros naturais k 1 , k 2 , ..., k m tais que k 1 + k 2 + ... + k m = n , alguns deles possivelmente sendo zero.
Uma escrita equivalente, mas muito mais concisa, consiste em somar todos os multi-índices de dimensão m cujo módulo é igual an :
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}|k→|=∑eu=1mkeu{\ displaystyle \ left | {\ vec {k}} \ right | = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}}
(∑eu=1mxeu)não=∑|k→|=não(nãok→)∏eu=1mxeukeu{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ escolha {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}Números
(nãok1,k2,k3,...,km)=(nãok→)=não!k1!k2!k3!...km!=não!∏eu=1mkeu!{\ displaystyle {n \ escolha k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ escolha {\ vec {k}}} = {\ frac {n! } {k_ {1}! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i }!}}}são chamados de coeficientes multinomiais .
O coeficiente multinomial é também o número de "partições ordenadas" de um conjunto de n elementos em m conjuntos de respectivos cardeais k 1 , k 2 , ..., k m . Mais formalmente:
(nãok1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ escolha k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}
(nãok1,k2,...,km)=Cartão{eu∈P({1,...,não})m|∀eu,jCartão(eueu)=keu e (eu≠j⇒eueu∩euj=∅)}.{\ displaystyle {n \ escolha k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = \ operatorname {Card} \ left \ {I \ in {\ mathcal {P}} (\ {1, \ ldots, n \}) ^ {m} | \ forall i, j \ quad \ operatorname {Card} (I_ {i}) = k_ {i} ~ {\ text {and}} ~ (i \ neq j \ Rightarrow I_ {i} \ cap I_ {j} = \ emptyset) \ right \}.}
E mais concretamente, é o número de palavras de comprimento n formado com um alfabeto de m caracteres, o primeiro carácter a ser repetido k uma hora, o segundo, k 2 vezes, ..., o m -simo, k m vezes. Por exemplo, o número de anagramas da palavra Mississippi vale .
(nãok1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ escolha k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}(104,4,1,1)=6300{\ displaystyle {10 \ escolha 4,4,1,1} = 6300}
Manifestações
Uma prova direta é usar a penúltima expressão acima para coeficientes multinomiais.
Outra é raciocinar por indução em m , usando a fórmula binomial .
Finalmente, podemos usar a expansão de série inteira (ou simplesmente formal ) do exponencial .
Exemplo
(no+b+vs)3=(no3b0vs0+no0b3vs0+no0b0vs3)+3(no2b1vs0+no1b2vs0+no0b1vs2+no0b2vs1+no1b0vs2+no2b0vs1)+6no1b1vs1=no3+b3+vs3+3(no2b+nob2+bvs2+b2vs+novs2+no2vs)+6nobvs.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} (a + b + c) ^ {3} & = (a ^ {3} b ^ {0} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {3} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {0} c ^ {3}) + 3 (a ^ {2} b ^ {1} c ^ {0} + a ^ {1} b ^ {2} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {1} c ^ {2} + a ^ {0} b ^ {2} c ^ {1} + a ^ {1} b ^ {0} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}) + 6a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1} \\ & = a ^ {3} + b ^ {3 } + c ^ {3} +3 (a ^ {2} b + ab ^ {2} + bc ^ {2} + b ^ {2} c + ac ^ {2} + a ^ {2} c) + 6abc. \ End {alinhado}}}
Notas e referências
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Esta prova combinatória está disponível, por exemplo, em Louis Comtet , Análise combinatória avançada , Técnicas de engenharia ( leia online ) , p. 3e na Wikiversidade , no link abaixo .
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Esta prova de recorrência está disponível, por exemplo, na Wikiversidade, no link abaixo .
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Esta prova "analítica" está disponível, por exemplo, em Comtet , p. 3 e na Wikiversidade, no link abaixo .
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
(pt) Paul Erdős e Ivan Niven , “ The number of multinomial coefficients ” , Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 61,1954, p. 37-39 ( ler online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">