Aproximação de π

Na história da matemática , as aproximações da constante $π$ alcançaram uma precisão de 0,04% do valor verdadeiro antes do início da Era Comum ( Arquimedes ). No V ° século, alguns matemáticos chineses melhorou ter até sete casas decimais.

Extra grandes avanços foram feitos que a partir do XV th século ( Al-Kashi ). Os primeiros matemáticos modernos têm conseguido uma precisão de 35 dígitos no início da XVII th século ( Ludolph van Ceulen ) e 126 números XIX de th século ( Jurij Vega ), excedendo a precisão requerida para qualquer aplicação concebível fora de matemática pura .

A maior parte da aproximação Manual de $π$ é realizada por William Shanks , que calculou 527 decimal correta de 1873. Desde meados do XX ° século, a aproximação de $π$ é feito em computadores com software específico.

O 29 de janeiro de 2020o recorde é estabelecido em 50 trilhões de casas decimais por Timothy Mullican, usando um software triturador de $y$ .

História

antiguidade

As aproximações mais conhecidas de $π que$ datam de antes da Era Comum eram exatas com duas casas decimais; isso foi aprimorado com a matemática chinesa, especialmente na metade do primeiro milênio, com uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, nenhum progresso foi feito até o final do período medieval .

A matemática babilônica avaliava geralmente $π$ 3, o que era suficiente para projetos arquitetônicos da época (incluindo a descrição do Templo de Salomão na Bíblia Hebraica ). Os babilônios sabia que era uma aproximação, e um comprimido de matemática babilônica idade revelou perto Susa em 1936 (datada de entre o XIX th e o XVII th século AEC) proporciona uma melhor aproximação de $π$ , $25 / 8 = 3,125$ , ou perto de 0,5% do valor exato.

Quase ao mesmo tempo, o papiro Rhind (datado do Segundo Período Intermediário egípcio, 1600 aC) dá a aproximação 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (com precisão de 0,6%) calculando a área d 'um octógono regular que se aproxima de um círculo .

Cálculos astronômicos em Shatapatha Brahmana (ao VI ° século AC) use aproximação fracional $339/108 \approx 3.139$ .

No III th BC século, Arquimedes provou a desigualdade estrita 223 / 71 < $π$ < 22 de / 7 , utilizando um 96-gon (precisão de 2 × 10 -4 a 4 x 10 -4 , respectivamente). É possível provar que 22/7 excede π graças a um cálculo de integrais elementares , mas essa técnica não existia na época de Arquimedes.

No II ª século, Ptolomeu utilizado o valor 377 / 120 , a aproximação precisa primeiro conhecido com três casas decimais.

O matemático chinês Liu Hui , em 263, calculou que $π$ estaria entre 3,141024 e 3,142708, valores correspondentes, respectivamente, às construções de 96-gone e 192-gone; a média desses dois valores é 3,141866 (precisão 9 × 10 −5 ). Ele também sugeriu que 3,14 era uma aproximação suficiente para aplicações práticas. Muitas vezes foi creditado com um resultado mais preciso $π \approx 3927/1250 = 3,1416$ (precisão de 2 × 10 −6 ), embora alguns pesquisadores acreditem que isso se deve ao matemático chinês Zu Chongzhi . Zu Chongzhi é conhecido por ter dado o enquadramento de $π$ entre 3,1415926 e 3,1415927 , corrigido com sete casas decimais. Ele deu duas outras aproximações de $π$ : $π \approx 22/7$ e $π \approx 355/113$ . A última fração é a melhor aproximação racional possível de $π$ usando menos de cinco dígitos decimais no numerador e denominador. O resultado de Zu Chongzhi permanecerá a aproximação mais precisa por quase um milênio.

Na época do Império Gupta ( VI th século), o matemático Aryabhata , em seu tratado astronômico Aryabhatiya , calculado o valor de $π$ a cinco dígitos significativos ( $π \approx 62832/20000 = 3,1416$ ). Ele o usou para calcular uma aproximação da circunferência da Terra . Aryabhata afirmou que seu resultado foi “aproximadamente” ( āsanna ) a circunferência de um círculo. Nilakantha Somayaji ( Kerala Escola ) observou, a XV ª século, a palavra não significa apenas que esta é uma aproximação, mas o valor é "incomensurável" ( ou seja, d. Irracionalmente ).

Meia idade

No V ° século, $π$ se sabia sobre decimal sete em matemática chineses, e cerca de cinco em matemática indianos. A seguir, o progresso tem sido feito que mais de um milênio, o XIV th século, quando o matemático e astrônomo indiano Madhava de Sangamagrama , fundador da escola de Kerala astronomia e matemática descobriu um infinitas série para $π$ , agora conhecido como o Madhava-Leibniz fórmula , e deu dois métodos para calcular o valor de $π$ . Ao fazer isso, ele obteve a série infinita

{\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-3) ^ {- k}} {2k + 1}} = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- {\ frac {1} {3}}) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ sqrt { 12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right )}

e usou os primeiros 21 termos para calcular as primeiras 11 casas decimais de $π$ .

O outro método que ele usou foi adicionar um termo restante à série original de $π$ . Ele usou o termo restante

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} +1} {4n ^ {3} + 5n}}}

na extensão da série infinita de π ⁄ 4 para melhorar a aproximação de $π$ para 13 casas decimais, quando $n$ = 75.

Em 1424, Al-Kashi , um astrônomo e matemático persa , calculou corretamente de $2π$ a 9 dígitos sexagesimais . Convertido para base dez , esta aproximação é dada por 17 dígitos:

{\ displaystyle 2 \ pi \ approx 6 {,} 28318530717958648}

que é igual a

{\ displaystyle \ pi \ approx 3 {,} 14159265358979324}

Ele alcançou esse nível de precisão calculando o perímetro de um polígono regular de 3 × 2 28 lados.

Desde o XVI th ao XIX ° século

Na segunda metade do XVI th século, o francês matemático François Viète descoberto um produto infinito convergindo para $π$ , fórmula Localidade conhecido.

O matemático alemão-holandês Ludolph van Ceulen (por volta de 1600) calculou as primeiras 35 casas decimais de $π$ usando um valor de 2 62 anos. Ele estava tão orgulhoso desse resultado que o inscreveu em sua lápide .

Em Cyclometricus (1621), Willebrord Snell afirma que o perímetro do polígono inscrito se aproxima da circunferência duas vezes mais rápido do que o perímetro do polígono circunscrito correspondente. A prova será fornecida por Christiaan Huygens em 1654. Snell obteve 7 casas decimais de $π$ com 96-gone (en) .

Em 1789, o matemático esloveno Jurij Vega calculou as primeiras 140 casas decimais de $π$ , mas as últimas 14 estavam incorretas; este resultado foi, no entanto, o recorde mundial para 52 anos, até 1841, quando William Rutherford (in) calculou 208 casas decimais, das quais as primeiras 152 estavam corretas. Vega então melhorou a fórmula de John Machin de 1706 e seu método ainda é mencionado hoje.

O matemático amador inglês William Shanks passou mais de 20 anos calculando as primeiras 707 casas decimais de $π$ . Quando ele terminou sua tarefa em 1873, as primeiras 527 casas decimais estavam corretas. Ele calcularia novos decimais durante toda a manhã e passaria a tarde verificando o trabalho da manhã. Essa foi a aproximação mais precisa de $π$ até o advento do computador, um século depois.

XX th século

Em 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan encontrou várias séries infinitas de $π$ convergindo rapidamente, como

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9 \, 801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)! (1 \, 103 + 26 \, 390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}

que calcula a cada nova iteração oito casas decimais adicionais de $π$ . Suas séries agora são a base dos algoritmos mais rápidos usados atualmente para calcular $π$ .

A partir de meados do XX ° século, todos os cálculos $π$ foram realizados usando calculadoras ou computadores .

Em 1944, DF Ferguson, usando uma calculadora mecânica , descobriu que William Shanks tinha errado na 528 ª decimal e todos os decimais posteriores estão incorretos.

Nos primeiros anos do computador, uma expansão de $π$ para 100.000 casas decimais foi calculada pelo matemático Daniel Shanks da Universidade de Maryland (não relacionado a William Shanks mencionado acima) e sua equipe no Laboratório de Pesquisa Naval em Washington . Em 1961, Shanks e sua equipe usaram duas séries diferentes para calcular as casas decimais de $π$ . Por um lado, sabíamos que qualquer erro produziria um valor um pouco alto demais e, por outro, sabíamos que qualquer erro produziria um valor um pouco baixo demais em comparação com o valor real; portanto, desde que ambas as séries produzissem os mesmos dígitos, não havia virtualmente nenhuma dúvida sobre a exatidão dos decimais calculados. As primeiras 100.265 casas decimais de $π$ foram publicadas em 1962.

Em 1989, os irmãos Chudnovsky calcularam corretamente $π$ para 4,8 × 10 8 casas decimais usando o supercomputador IBM 3090 usando a seguinte variação da série infinita de Ramanujan:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13 \, 591 \, 409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ {3} 640 \, 320 ^ {3k + 3/2}}}}

Em 1999, Yasumasa Kanada e sua equipe na Universidade de Tóquio calcularam $π$ em 2.061.584 3 × 10 11 casas decimais, usando o supercomputador Hitachi SR8000 / MPP usando outra variante da série infinita de Ramanujan.

XXI th século

Os registros desde então foram todos feitos em computadores pessoais usando o algoritmo de Chudnovsky (em) .

Em 6 de dezembro de 2002, Yasumasa Kanada e uma equipe de 9 outras pessoas, usando o Hitachi SR8000, um supercomputador com 1 terabyte de memória, calcularam $π$ para cerca de 1.241 1 × 10 12 casas decimais em cerca de 600 horas.

Em 29 de abril de 2009, Daisuke Takahashi et al. , da Universidade de Tsukuba , com supercomputador T2K, mais que dobrou o recorde anterior, calculando $π$ para mais de 2,57 × 10 12 casas decimais, em menos de 74 horas no total (cálculo e verificação).

Em 31 de dezembro de 2009, Fabrice Bellard usou um computador pessoal para calcular pouco menos de 2,7 × 10 12 casas decimais de $π$ . Os cálculos foram realizados em binário e, em seguida, o resultado foi convertido para a base 10. As etapas de cálculo, conversão e verificação levaram um total de 131 dias.

Em 2010, todos os recordes foram alcançados usando o software "y-cruncher" de Alexander Yee:

Em agosto de 2010, Shigeru Kondo calculou 5 × 10 12 casas decimais de $π$ . O cálculo foi realizado entre 4 de maio e 3 de agosto, com as verificações primária e secundária durando 64 e 66 horas, respectivamente.
Em 16 de outubro de 2011, Shigeru Kondo dobrou seu próprio recorde ao calcular 10 13 casas decimais usando o mesmo método, mas com a ajuda de um material melhor.
Em dezembro de 2013, Kondo quebrou seu próprio recorde pela segunda vez ao calcular 1,21 × 10 13 casas decimais de $π$ . A limitação foi principalmente devido ao espaço de armazenamento.
Em 8 de outubro de 2014, um indivíduo não identificado, conhecido pelo pseudônimo “houkouonchi”, calculou 1,33 × 10 13 casas decimais de π.
Em 15 de novembro de 2016, Peter Trueb e seus patrocinadores calcularam, novamente graças ao programa y-cruncher, 2.245 915 771 836 1 × 10 13 ( $π$ e × 10 12 ) casas decimais de $π$ . O cálculo demorou (com 3 interrupções) 105 dias.
Em 14 de março de 2019, o Google, na pessoa de Emma Haruka Iwao , lançou o novo recorde que é de 31.415.926.535.897 (a parte inteira de π e 13 ) casas decimais de $π$ .
Em 29 de janeiro de 2020, um novo recorde é estabelecido com 50 trilhões de casas decimais (50.000.000.000.000) por Timothy Mullican, após 303 dias de cálculo.

Desenvolvimento de fórmulas eficazes

Aproximação poligonal de um círculo

Arquimedes, em Sobre a Medida do Círculo , criou o primeiro algoritmo para o cálculo de $π$ , baseado na ideia de que o perímetro de qualquer polígono inscrito em um círculo é menor que a circunferência do círculo que, por sua vez, é menor que o perímetro de qualquer polígono circunscrito a este círculo. Ele começou com hexágonos regulares inscritos e circunscritos, cujos perímetros são facilmente determinados. Em seguida, mostra como calcular os perímetros de polígonos regulares com o dobro de lados que estão inscritos e circunscritos em torno do mesmo círculo. Este é um procedimento recursivo que seria descrito hoje da seguinte forma:

Sejam $p k$ e $P k$ os perímetros de polígonos regulares com $k$ lados, inscritos e circunscritos em torno do mesmo círculo, respectivamente. Então,

{\ displaystyle P_ {2n} = {\ frac {2p_ {n} P_ {n}} {p_ {n} + P_ {n}}}, \ quad \ quad p_ {2n} = {\ sqrt {p_ {n } P_ {2n}}}.}

Arquimedes usou o processo descrito para calcular sucessivamente $P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96$ e $p 96$ . Ele obteve o seguinte quadro a partir dos últimos três valores

{\ displaystyle 3 + {\ frac {10} {71}} <\ pi <3 + {\ frac {1} {7}}}

Não se sabe por que Arquimedes parou em um polígono de 96 lados. Heron relata em sua Metrica que Arquimedes continuou o cálculo em um livro agora perdido, mas atribuiu a ele um valor incorreto.

Arquimedes não utilizou a trigonometria neste cálculo e a dificuldade na aplicação do método reside em obter boas aproximações para as raízes quadradas dos cálculos envolvidos. A trigonometria foi provavelmente usada por Claudius Ptolomeu para obter o valor de $π$ dado no Almagesto (cerca de 150 DC).

A fórmula de Vi'ete , publicada por François Viète em 1593, foi obtida usando um método poligonal, com áreas (ao invés de perímetros) de polígonos com lados de números sendo potências de dois.

Um aprimoramento trigonométrico de Willebrord Snell (1621) permitiu que melhores limites fossem obtidos a partir do método do polígono. Assim, resultados mais precisos foram obtidos, exigindo menos lados. A última grande tentativa de calcular $π$ por este método foi feita em 1630 por Christopher Grienberger , que calculou 39 casas decimais usando o aprimoramento de Snell.

Fórmulas de tipo de Machin

Para cálculos rápidos, podemos usar fórmulas semelhantes às de John Machin :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

com a expansão da série de Taylor da função arco tangente . Esta fórmula é verificada mais facilmente usando coordenadas polares de números complexos , produzindo:

{\ displaystyle (5+ \ mathrm {i}) ^ {4} \ cdot (239- \ mathrm {i}) = 2 ^ {2} \ cdot 13 ^ {4} (1+ \ mathrm {i})}

(( x , y ) = (239, 13 2 ) é uma solução da equação de Pell x 2 - 2 y 2 = −1.)

As fórmulas desse tipo são conhecidas como fórmulas de tipo de Machin . Eles foram usados na era do computador para calcular um número recorde de casas decimais de $π,$ mas mais recentemente outras fórmulas semelhantes foram usadas.

Por exemplo, Shanks e sua equipe usaram a seguinte fórmula de Machin em 1961 para calcular os primeiros 100.000 dígitos de $π$ :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 6 \ arctan {\ frac {1} {8}} + 2 \ arctan {\ frac {1} {57}} + \ arctan {\ frac {1 } {239}}}

assim como

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}}}

servindo como verificação.

O registro registrado em dezembro de 2002 por Yasumasa Kanada ( veja acima ) usou as seguintes fórmulas de Machin:

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}}

K. Takano (1982).

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}}

FCW Störmer (1896).

Outras fórmulas clássicas

Outras fórmulas que foram usadas para calcular as estimativas de $π$ incluem:

Liu Hui (ver também fórmula dietética ):

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & \ approx 768 {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + 1}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \\ & \ approx 3 {,} 141590463236763. \ end {alinhado}}}

Madhava :

{\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-3) ^ {- k}} {2k + 1}} = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- {\ frac {1} {3}}) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ sqrt { 12}} \ left ({1 \ over 1 \ cdot 3 ^ {0}} - {1 \ over 3 \ cdot 3 ^ {1}} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right)}

Euler :

{\ displaystyle {\ pi} = 20 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 8 \ arctan {\ frac {3} {79}}}

Transformação de Newton / Euler:

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} \ left ( 1 + {\ frac {2} {5}} \ left (1 + {\ frac {3} {7}} \ left (1+ \ cdots \ right) \ right) \ right)}

onde (2 k + 1) !! denota o produto de números inteiros ímpares até 2 k + 1.

Ramanujan :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}

David e Gregory Chudnovsky :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k) } {(3k)! (K!) ^ {3} 640320 ^ {3k + 3/2}}}}

O trabalho de Ramanujan é a base do algoritmo de Chudnovsky, os algoritmos mais rápidos usados para calcular $π$ .

Algoritmos modernos

O desenvolvimento decimal extremamente longo de $π$ é normalmente calculado com algoritmos como o algoritmo de Gauss-Legendre e o algoritmo de Borwein (in) . Este último, encontrado em 1985 por Jonathan e Peter Borwein , converge muito rapidamente:

Para e ${\ displaystyle y_ {0} = {\ sqrt {2}} - 1, \ a_ {0} = 6-4 {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle y_ {k + 1} = (1-f (y_ {k})) / (1 + f (y_ {k})) ~, ~ a_ {k + 1} = a_ {k} (1+ y_ {k + 1}) ^ {4} -2 ^ {2k + 3} y_ {k + 1} (1 + y_ {k + 1} + y_ {k + 1} ^ {2})}

onde , a sequência converge quarticamente para $π$ e dá 171 casas decimais em três etapas, portanto, mais de 10 12 casas decimais em 20 etapas. No entanto, o algoritmo de Chudnovsky (que converge linearmente) é mais rápido do que essas fórmulas iterativas. ${\ displaystyle f (y) = (1-y ^ {4}) ^ {1/4}}$ ${\ displaystyle 1 / a_ {k}}$

Os primeiros milhões de casas decimais de $π$ e $1 / π$ estão disponíveis graças ao projeto de Gutenberg (veja links externos abaixo).

Várias aproximações

Historicamente, a base 60 tem sido usada para cálculos de $π$ . Nessa base, $π$ pode ser aproximado de oito dígitos significativos (decimais) com o número 3: 8: 29: 44_60, ou seja:

{\ displaystyle 3 + {\ frac {8} {60}} + {\ frac {29} {60 ^ {2}}} + {\ frac {44} {60 ^ {3}}} = 3 {,} 14159 \ 259 ^ {+}}

(O próximo dígito sexagesimal é 0, o que permite truncamento aqui para obter uma aproximação relativamente boa.)

Além disso, as seguintes expressões podem ser usadas para estimar $π$ :

precisão de três casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {22} {7}} = 3 {,} 143 ^ {+}}

precisão de três casas decimais:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} = 3 {,} 146 ^ {+}}

Karl Popper especulou sobre a hipótese de que essa aproximação, mencionada por Émile Borel , já pudesse ter sido percebida por Platão .

{\ displaystyle {\ sqrt {15}} - {\ sqrt {3}} + 1 = 3 {,} 140 ^ {+}}

precisão de quatro casas decimais:

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {31}} = 3 {,} 1413 ^ {+}}

precisão de quatro casas decimais:

{\ displaystyle {\ sqrt {7 + {\ sqrt {6 + {\ sqrt {5}}}}}} = 3 {,} 1416 ^ {+}}

uma aproximação de Ramanujan , com precisão de 4 dígitos:

{\ displaystyle {\ frac {9} {5}} + {\ sqrt {\ frac {9} {5}}} = 3 {,} 1416 ^ {+}}

precisão de cinco casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {7 ^ {7}} {4 ^ {9}}} = 3 {,} 14156 ^ {+}}

precisão de nove casas decimais:

{\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {3 ^ {4} + 2 ^ {4} + {\ frac {1} {2 + ({\ frac {2} {3}}) ^ {2}} }}} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {2143} {22}}} = 3 {,} 14159 \ 2652 ^ {+}}

Vindo de Ramanujan, este afirmou que a deusa de Namagiri apareceu para ele em um sonho e disse-lhe o verdadeiro valor de $π$ .

precisão de dez casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {63} {25}} \ times {\ frac {17 + 15 {\ sqrt {5}}} {7 + 15 {\ sqrt {5}}}} = 3 {,} 14159 \ 26538 ^ {+}}

precisão de dez casas decimais:

{\ displaystyle {\ sqrt [{193}] {\ frac {10 ^ {100}} {11222.11122}}} = 3 {,} 14159 \ 26536 ^ {+}}

Este curiosos resultados de aproximação a partir da observação de que a 193 ° potência de $1 / π$ , produzindo a sequência 1122211125 ...

precisão de 18 casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {80 {\ sqrt {15}} (5 ^ {4} +53 {\ sqrt {89}}) ^ {\ frac {3} {2}}} {3308 (5 ^ {4 } +53 {\ sqrt {89}}) - 3 {\ sqrt {89}}}}}

Precisão de 30 dígitos:

{\ displaystyle {\ frac {\ ln (640320 ^ {3} +744)} {\ sqrt {163}}} = 3 {,} 14159 \ 26535 \ 89793 \ 23846 \ 26433 \ 83279 ^ {+}}

Derivado do número de Heegner 640 320³ + 744. Este método não admite generalizações óbvias, porque há apenas um número finito de números de Heegner.

precisão de 52 casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {\ ln (5280 ^ {3} (236674 + 30303 {\ sqrt {61}}) ^ {3} +744)} {\ sqrt {427}}}}

Como o anterior, uma consequência do invariante j .

precisão de 161 casas decimais:

{\ displaystyle {\ frac {\ ln {\ big (} (2u) ^ {6} +24 {\ big)}} {\ sqrt {3502}}}}

onde u é um produto de quatro unidades quárticas,

{\ displaystyle u = (a + {\ sqrt {a ^ {2} -1}}) ^ {2} (b + {\ sqrt {b ^ {2} -1}}) ^ {2} (c + {\ sqrt {c ^ {2} -1}}) (d + {\ sqrt {d ^ {2} -1}})}

{\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ tfrac {1} {2}} (23 + 4 {\ sqrt {34}}) \\ b & = {\ tfrac {1} {2}} ( 19 {\ sqrt {2}} + 7 {\ sqrt {17}}) \\ c & = (429 + 304 {\ sqrt {2}}) \\ d & = {\ tfrac {1} {2}} (627 + 442 {\ sqrt {2}}) \ end {alinhado}}}

. Método baseado no trabalho de Daniel Shanks . Semelhante aos dois anteriores, mas que desta vez é um quociente da forma modular , ou seja, a função eta de Dedekind , e onde o argumento implica .

{\ displaystyle \ tau = {\ sqrt {-3502}}}

A fração contínua de $π$ pode ser usada para gerar aproximações racionais sucessivas. Estas são as melhores aproximações racionais possíveis de $π$ com respeito ao tamanho de seus denominadores. Aqui está uma lista das primeiras treze frações:

{\ displaystyle {\ frac {3} {1}}, {\ frac {22} {7}}, {\ frac {333} {106}}, {\ frac {355} {113}}, {\ frac {103993} {33102}}, {\ frac {104348} {33215}}, {\ frac {208341} {66317}}, {\ frac {312689} {99532}}, {\ frac {833719} {265381} }, {\ frac {1146408} {364913}}, {\ frac {4272943} {1360120}}, {\ frac {5419351} {1725033}}}

Aproximação da área de um disco por grade

$π$ pode ser obtido a partir de um círculo, se seu raio e área forem conhecidos, usando a relação:

{\ displaystyle A = \ pi r ^ {2}}

Se considerarmos um círculo de raio $r$ com seu centro localizado em (0, 0), qualquer ponto cuja distância à origem seja menor que $r$ estará localizado no disco. O teorema de Pitágoras fornece a distância de qualquer ponto ( $x$ , $y$ ) ao centro:

{\ displaystyle d = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Os quadrados cujo centro está dentro ou exatamente no limite do círculo podem ser contados testando se, para cada ponto ( $x$ , $y$ ),

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq r.}

O número total de pontos que satisfazem essa condição, portanto, se aproxima da área do círculo, que pode então ser usado para calcular uma aproximação de $π$ .

Esta fórmula está escrita:

{\ displaystyle \ pi = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sum _ {x = -r} ^ {r} \; \ sum _ {y = -r} ^ {r} {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq r \\ 0 & {\ text {si}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}> r. \ end {casos}}}

Em outras palavras, começamos escolhendo um valor para $r$ . Considerando todos os pontos ( $x$ , $y$ ) em que $x$ e $y$ são inteiros entre - $r$ e $r$ . Então, é suficiente dividir a soma que representa a área de um círculo de raio $r$ , por $r 2$ para encontrar uma aproximação de $π$ . Por exemplo, se $r$ for igual a 5, os pontos considerados são:

(-5,5)	(-4,5)	(-3,5)	(-2,5)	(-1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(-4,4)	(-3,4)	(-2,4)	(-1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3.4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(-4,3)	(-3,3)	(-2,3)	(-1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(-4,2)	(-3,2)	(-2,2)	(-1,2)	(0,2)	(1,2)	(2.2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(-5,1)	(-4,1)	(-3,1)	(-2,1)	(-1,1)	(0,1)	(1,1)	(2.1)	(3.1)	(4.1)	(5.1)
(−5,0)	(-4,0)	(-3,0)	(-2,0)	(-1,0)	(0,0)	(1.0)	(2.0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5, −1)	(−4, −1)	(−3, −1)	(-2, -1)	(-1, -1)	(0, -1)	(1, -1)	(2, -1)	(3, -1)	(4, -1)	(5, -1)
(−5, −2)	(−4, −2)	(−3, −2)	(-2, -2)	(-1, -2)	(0, -2)	(1, -2)	(2, -2)	(3, -2)	(4, -2)	(5, -2)
(−5, −3)	(−4, −3)	(−3, −3)	(-2, -3)	(-1, -3)	(0, -3)	(1, -3)	(2, -3)	(3, -3)	(4, -3)	(5, -3)
(−5, −4)	(−4, −4)	(−3, −4)	(-2, -4)	(-1, -4)	(0, -4)	(1, −4)	(2, −4)	(3, −4)	(4, -4)	(5, -4)
(−5, −5)	(−4, −5)	(−3, −5)	(−2, −5)	(−1, −5)	(0, −5)	(1, −5)	(2, −5)	(3, −5)	(4, −5)	(5, −5)

Os 12 pontos (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) estão exatamente no círculo, enquanto 69 pontos estão dentro. Portanto, a área é 81, e $π$ é aproximado a cerca de 3,24 porque 81/5 2 = 3,24. Os resultados para alguns valores de $r$ são apresentados na tabela abaixo:

$r$	Área	Aproximação de $π$
2	13	3,25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3,24
10	317	3,17
20	1257	3,1425
100	31417	3,1417
1000	3141549	3,141549

Frações contínuas

$π$ tem muitas representações de fração contínuas generalizadas geradas por uma regra simples:

{\ displaystyle \ pi = {3 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ ddots \,}}}}}}}}

{\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2} } {7 + \ ddots}}}}}}}}}

Trigonometria

Série Gregory-Leibniz

A série Gregory-Leibniz

{\ displaystyle \ pi = 4 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 4 \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + - \ cdots \ right) \! = {\ Cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ ddots}}} }}}}}}

é a série de potências para arctan ( x ), definindo $x$ = 1. Converte muito lentamente para ter interesse prático.

Arcsine 1

Sabendo que $arcsin (1) = π / 2$ , a expansão em série inteira do arco sin pode ser simplificada para obter:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = 2 \ left (1 + {\ cfrac {1} {3}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4} {3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + { \ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5} {3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9 \ cdot 11}} + \ cdots \ right) \\ & = 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {n!} {(2n + 1) !!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {n + 1} n ! ^ {2}} {(2n + 1)!}} = \ Sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {n + 1}} {{\ binom {2n} {n }} (2n + 1)}} \\ & = 2 + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {4} {15}} + {\ frac {4} {35}} + {\ frac {16} {315}} + {\ frac {16} {693}} + {\ frac {32} {3003}} + {\ frac {32} {6435}} + {\ frac {256} {109395 }} + {\ frac {256} {230945}} + \ cdots \ end {alinhado}}}

mas com uma convergência quase tão lenta quanto a anterior (10 termos adicionais fornecem mais três casas decimais).

Arcsine 1/2

Notar que

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {6}} = {\ frac {1} {2}}}

Nós temos

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = 6 \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 6 \ left ({\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 2 ^ {3}}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 2 ^ {5}}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 7 \ cdot 2 ^ {7}}} + \ cdots \! \ right) \\ & = {\ frac {3 } {16 ^ {0} \ cdot 1}} + {\ frac {6} {16 ^ {1} \ cdot 3}} + {\ frac {18} {16 ^ {2} \ cdot 5}} + { \ frac {60} {16 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \! = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {3 \ cdot {\ binom {2n} {n }}} {16 ^ {n} (2n + 1)}} \\ & = 3 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {9} {640}} + {\ frac {15} {7168}} + {\ frac {35} {98304}} + {\ frac {189} {2883584}} + {\ cfrac {693} {54525952}} + {\ frac {429} {167772160}} + \ cdots \ end {alinhados}}}

com tal convergência que cada cinco termos adicionais fornecem pelo menos mais três casas decimais.

Cálculo da enésima casa decimal de $π$

A fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) para calcular $π$ foi descoberta em 1995 por Simon Plouffe . Usando o sistema hexadecimal , a fórmula pode calcular qualquer casa decimal em $π$ sem ter que calcular as casas decimais antes dela.

{\ displaystyle \ pi = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {8n + 1}} - {\ frac {2} {8n + 4}} - {\ frac {1} {8n + 5}} - {\ frac {1} {8n + 6}} \ right) \ left ({\ frac {1} {16}} \ right) ^ {n}}

Em 1996, Simon Plouffe deduzida um algoritmo para extrair o n- th decimal dígitos de $π$ , na base 10, em um tempo de computação melhorada por um factor de $O ( N 3 (registo n ) 3 )$ . O algoritmo quase não requer memória de armazenamento.

{\ displaystyle \ pi + 3 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n2 ^ {n} n! ^ {2}} {(2n)!}}}

O tempo de cálculo da fórmula de Plouffe foi aprimorado de $O ( n 2 )$ por Fabrice Bellard , que demonstrou uma fórmula alternativa para calcular $π$ .

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ { 10n}}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n +1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2}} { 10n + 7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right)}

Software para calcular $π$

Ao longo dos anos, vários programas de software foram escritos para calcular $π$ em computadores pessoais. Eles geralmente envolvem verificação e troca de disco eficientes para facilitar cálculos extremamente intensivos em recursos.

Super PI pelo Kanada Laboratory da Universidade de Tóquio. Ele poderia calcular um milhão de dígitos em 40 minutos, dois milhões de dígitos em 90 minutos e quatro milhões de dígitos em 220 minutos em um Pentium de 90 MHz .
PiFast de Xavier Gourdon foi o programa mais rápido no Windows em 2003. De acordo com seu autor, ele pode calcular um milhão de casas decimais em 3,5 segundos em um Pentium de 2,4 GHz (computador pessoal de última geração na época). PiFast também pode calcular outros números irracionais como e e . ${\ sqrt {2}}$
QuickPi de Steve Pagliarulo. Como PiFast, QuickPi também pode calcular outros números irracionais como ou . O software está disponível no Stu's Pi . ${\ sqrt {2}}$ ${\ sqrt {3}}$
$y$ -cruncherde Alexander Yee é o programa que Shigeru Kondo usou para calcular o recorde mundial para o número de casas decimais e que foi usado para todos os registros subsequentes. $O y-$ cruncher também pode ser usado para calcular outras constantes e atingir recordes mundiais para várias delas.

Notas e referências

(pt) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Approximations of π ” ( ver a lista de autores ) .

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Veja também

Bibliografia

: documento usado como fonte para este artigo.

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Link externo

(pt) " PI Competition " , no The Contest Center (listas de aproximações de $π$ e links para outras listas)