Função hipergeométrica confluente
A função hipergeométrica confluente (ou função de Kummer ) é:
onde denota o símbolo de Pochhammer .
1F1(no;vs;z)=∑não=0∞(no)não(vs)nãoznãonão!{\ displaystyle _ {1} F_ {1} (a; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ { n}}} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}
(no)não{\ displaystyle (a) _ {n}}![{\ displaystyle (a) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0810e7e636eef31bcf5a3df5a2b77b217a641b)
É a solução da equação diferencial de segunda ordem:
zd2você(z)dz2+(vs-z)dvocê(z)dz-novocê(z)=0{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - a (z) = 0 }![{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - a (z) = 0 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386a141ac6736f893912192837a774a2d6384008)
As funções de Bessel , a função gama incompleta , as funções de cilindro parabólico (in) ou os polinômios de Hermite e polinômios de Laguerre podem ser representados usando funções hipergeométricas confluentes (cf. Slater). Whittaker introduziu funções e que também estão relacionadas a funções hipergeométricas confluentes.
Mµ,ν(z){\ displaystyle M _ {\ mu, \ nu} (z)}
Cµ,ν(z){\ displaystyle W _ {\ mu, \ nu} (z)}![{\ displaystyle W _ {\ mu, \ nu} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667883f673492d04aa2e21db272ab1dc8e92df1b)
Resolvendo a equação diferencial
A equação pode ser resolvida usando o método de Frobenius , escolhemos o ansatz:
zd2você(z)dz2+(vs-z)dvocê(z)dz-novocê(z)=0{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - a (z) = 0 }![{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - a (z) = 0 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386a141ac6736f893912192837a774a2d6384008)
você(z)=∑não=0+∞nonãoznão+r,(no0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} z ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ em \ mathbb {R}.}![{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} z ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ em \ mathbb {R}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238903887a4755e18c02e74a21ccfbc6d8ff8837)
Aí vem a equação:
zr∑não=0+∞nonão[((não+r)(não+r-1)+vs(não+r))znão-1-((não+r)+no)znão]=0{\ displaystyle z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} [\ left ((n + r) (n + r-1) + c (n + r) \ direita) z ^ {n-1} - \ esquerda ((n + r) + a \ direita) z ^ {n}] = 0}![{\ displaystyle z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} [\ left ((n + r) (n + r-1) + c (n + r) \ direita) z ^ {n-1} - \ esquerda ((n + r) + a \ direita) z ^ {n}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5092f4b9e12e67581a1857f0dfe0a47db9be4d12)
quem se torna
zr-1no0rvs+zr∑não=0+∞nonão+1[((não+r+1)(não+r)+vs(não+r+1))znão]-nonão((não+r)+no)znão=0{\ displaystyle z ^ {r-1} a_ {0} rc + z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n + 1} [\ left ((n + r + 1) (n + r) + c (n + r + 1) \ direita) z ^ {n}] - a_ {n} \ esquerda ((n + r) + a \ direita) z ^ {n} = 0 }![{\ displaystyle z ^ {r-1} a_ {0} rc + z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n + 1} [\ left ((n + r + 1) (n + r) + c (n + r + 1) \ direita) z ^ {n}] - a_ {n} \ esquerda ((n + r) + a \ direita) z ^ {n} = 0 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8739807000010bd42d7e88d23273e2c5c07a8e8c)
.
Como o coeficiente anterior não pode ser cancelado por um membro da soma, ele deve ser zero, então encontramos isso . Podemos, portanto, encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes:
zr-1{\ displaystyle z ^ {r-1}}
r=0{\ displaystyle r = 0}![{\ displaystyle r = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89)
nonão+1=nonão(não+no)(não+1)(não+vs){\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} (n + a)} {(n + 1) (n + c)}}}![{\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} (n + a)} {(n + 1) (n + c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4eb05cf77353953a627bc554d4faf968c27723)
.
Nós escolhemos e encontramos por exemplo:
no0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}![{\ displaystyle a_ {0} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3873789cb6451e25f63b4d11572ac5c69d7873b)
no1=novsno2=no(no+1)2vs(vs+1)no3=no(no+1)(no+2)6vs(vs+1)(vs+2)...nonão=(no)não(vs)nãonão!{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a} {c}} \ quad a_ {2} = {\ frac {a (a + 1)} {2c (c + 1)}} \ quad a_ {3 } = {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {6c (c + 1) (c + 2)}} \ quad ... \ quad a_ {n} = {\ frac {(a ) _ {n}} {(c) _ {n} n!}}}![{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a} {c}} \ quad a_ {2} = {\ frac {a (a + 1)} {2c (c + 1)}} \ quad a_ {3 } = {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {6c (c + 1) (c + 2)}} \ quad ... \ quad a_ {n} = {\ frac {(a ) _ {n}} {(c) _ {n} n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1569e87107ab7c131f8bc1fb7d8c3f6b005796a7)
,
e finalmente qual é a função hipergeométrica.
você(x)=∑não=0∞(no)não(vs)nãoznãonão!{\ displaystyle u (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ { n}} {n!}}}![{\ displaystyle u (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ { n}} {n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf5828e4d625aa8e4a04ea20ac4817e12189e9e)
Bibliografia
-
Edmund Taylor Whittaker , Uma expressão de certas funções conhecidas como funções hipergeométricas generalizadas , Bull. Amargo. Matemática. Soc. Volume 10, Número 3 (1903), 125-134.
-
Lucy Joan Slater , Confluent hypergeometric functions in Handbook of Mathematical Functions , M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) P. 503 (US Government Printing Office, Washington, 1964)
-
Francesco Giacomo Tricomi (en) , funções hipergeométricas confluentes , Memorial das ciências matemáticas, n ° 140 (Gauthier-Villars, 1960)
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">