Método de Simpson

Em análise numérica, o método de Simpson , em homenagem a Thomas Simpson , é uma técnica de cálculo numérico de uma integral , ou seja, o cálculo aproximado de:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}

Este método utiliza a segunda ordem de aproximação de $f$ por um quadrática polinómio $P$ tomando os mesmos valores que $f$ nos pontos de abcissas $um$ , $b$ e $m$ $=$ $($ $a + b$ $)$ $/$ $2$ . Para determinar a expressão desta parábola (polinômio de grau 2), usamos a interpolação Lagrangiana . O resultado pode ser colocado na forma:

{\ displaystyle P (x) = f (a) {\ frac {(xm) (xb)} {(am) (ab)}} + f (m) {\ frac {(xa) (xb)} {( ma) (mb)}} + f (b) {\ frac {(xa) (xm)} {(ba) (bm)}}.}

Sendo um polinômio uma função muito fácil de integrar , aproximamos a integral da função $f$ no intervalo $[ a , b ]$ , pela integral de $P$ neste mesmo intervalo. Portanto, temos a fórmula simples:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx \ approx \ int _ {a} ^ {b} P (x) dx = {\ frac {ba} {6}} \ left [f (a) + 4f \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) + f (b) \ right].}

Outra maneira de obter esse resultado é aplicar as fórmulas de Newton-Cotes com $n = 2$ .

Se $f$ é 4 vezes continuamente diferenciável em $[ a , b ]$ , o erro de aproximação vale:

{\ displaystyle - {\ frac {h ^ {5}} {90}} f ^ {(4)} (\ xi), \ xi \ in [a, b]}

{\ displaystyle h = {\ frac {ba} {2}}.}

Esta expressão do termo de erro significa que o método de Simpson é exato (ou seja, o termo de erro desaparece) para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3. Além disso, este método é de ordem 4 para qualquer função continuamente diferenciável quatro vezes em $[ a , b ]$ .

Além disso, parece que quanto menor o intervalo, melhor será a aproximação do valor da integral. Portanto, para obter um resultado correto, subdividimos cada intervalo $[ a , m ]$ e $[ m , b ]$ em subintervalos e somamos o valor obtido em cada intervalo. É :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx \ approx {\ frac {h} {6}} {\ bigg [} f (x_ {0}) + 2 \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} f (x_ {2j}) + 4 \ sum _ {j = 1} ^ {n} f (x_ {2j-1}) + f (x_ {2n}) {\ bigg] },}

ou :

$n$ é o número de subintervalos de $[ a , b ]$ ;
$h = ( b - a ) ⁄ n$ é o comprimento desses subintervalos;
${\ displaystyle x_ {i} = a + i {\ frac {h} {2}}}$ para ${\ displaystyle i = 0.1, \ dots, 2n-1.2n.}$

Para esta fórmula composta, o termo de erro torna-se igual a

{\ displaystyle -n \ times {\ frac {h ^ {5}} {2880}} f ^ {(4)} (\ xi '), \ xi' \ in [a, b],}

o que significa que o método composto também fornece resultados exatos para polinômios de grau menor ou igual a 3.

Tanto por sua simplicidade de implementação quanto por sua boa precisão, esse método é o mais utilizado pelas calculadoras para todos os cálculos aproximados de integrais de funções explícitas.

Veja também

Artigo relacionado

Cálculo integral

Link externo

Fórmulas de Newton-Cotes em math-linux.com