Magnetostática

A magnetostática é o estudo do magnetismo em situações onde o campo magnético é independente do tempo.

Mais especificamente, a magnetostática se preocupa com o cálculo de campos magnéticos quando as fontes desses campos são conhecidas. Existem duas fontes possíveis para campos magnéticos:

• por um lado, correntes elétricas;
• por outro lado, matéria magnética.

Relações locais

As relações fundamentais da magnetostática são deduzidas das equações de Maxwell na matéria, removendo as derivadas com respeito ao tempo. Quando essas variações temporais são removidas, as equações da eletricidade e do magnetismo são desacopladas, o que permite o estudo separado da eletrostática e da magnetostática. As relações fundamentais da magnetostática, escritas em sua forma local, são:

∇⋅B=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0} ∇×H=j{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {j}}

ou

• B designa o campo magnético , às vezes também chamado de indução magnética ou densidade de fluxo magnético  ;
• H denota excitação magnética , às vezes também chamada de campo magnético  ;
• j é a densidade da corrente elétrica;
• ∇ é o operador nabla , que é usado aqui para escrever a divergência (∇⋅) e a rotação (∇ ×).

Note-se a ambiguidade da expressão campo magnético , que pode, como o contexto significam B ou H . No restante do artigo, designaremos os campos explicitamente por B ou H sempre que for importante fazer a distinção.

Às relações acima, devemos adicionar aquela que conecta B e H  :

B=µ0(H+M){\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})}

ou

• M é a magnetização do meio considerado;
• µ 0 é uma constante fundamental chamada de permeabilidade magnética do vácuo.

Vemos que a distinção entre B e H só é realmente útil em meios magnetizados (onde M ≠ 0 ). Sendo a magnetização considerada conhecida, a relação acima torna possível calcular B de forma muito simples como uma função de H e vice-versa. Consequentemente, cada vez que queremos calcular um campo magnético, podemos escolher entre calcular B ou H indiferentemente , sendo o outro deduzido imediatamente. Essas duas escolhas correspondem a duas abordagens para cálculos magnetostáticos:

• a abordagem do ampere;
• a abordagem de Coulomb.

Abordagem Ampereal

A abordagem ampérienne procura para calcular B . Atualmente é favorecido na educação porque está próximo do eletromagnetismo no vácuo. As equações a serem resolvidas são:

∇⋅B=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0} ∇×B=µ0(j+∇×M){\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {j} + \ nabla \ times \ mathbf {M})}.

Pode-se notar que o termo ∇ × M na segunda equação atua como uma corrente adicional, o que fez com que fosse interpretado como uma densidade de corrente microscópica (chamada corrente ligada ) decorrente do movimento dos elétrons em suas órbitas atômicas. Esta interpretação clássica de um fenômeno quântico tem seus limites, no entanto: embora descreva o magnetismo resultante do momento angular orbital bem o suficiente , não explica totalmente aquele ligado ao spin dos elétrons.

Na prática, a abordagem amperical é preferida em situações onde não há matéria magnetizada e o campo é devido exclusivamente à corrente. Vamos então nos colocar neste caso onde temos ∇ × B = μ 0 j . Para encontrar o caso geral (na presença de material magnético) apenas substituir j por j + ∇ × M .

Correntes de superfície ligada

Freqüentemente, estamos lidando com sistemas com superfícies em que a magnetização é descontínua. Por exemplo, se um ímã com magnetização uniforme é imerso no vácuo, a magnetização na superfície do ímã muda descontinuamente de um valor finito (interno) para zero (externo). Nesse caso, a densidade de corrente limitada ∇ × M pode ser infinita. Nesse caso, substitui-se na superfície a densidade de volume da corrente ligada por uma densidade de superfície  :

jms=(M1-M2)×não12{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {ms} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ times \ mathbf {n} _ {12}}

onde M 1 e M 2 são os magnetizações em cada lado da superfície de descontinuidade e n 12 é o vector de unidade normal a esta superfície, orientada a partir de 1 para 2. O efeito sobre o campo desta corrente superficial é para induzir uma descontinuidade de B  :

ΔB=µ0ΔM∥{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, \ Delta \ mathbf {M} _ {\ parallel}}

ou

• Δ M e Δ B representam as descontinuidades de M e B (contadas na mesma direção);
• Δ M ∥ representa a parte de Δ M que é paralela à superfície.

Essa descontinuidade afeta apenas a parte de B paralela à superfície. A parte normal de B permanece contínua.

Relações integrais

Duas relações interessantes podem ser obtidas aplicando o teorema de Stokes às relações locais. A relação ∇⋅ B = 0 nos dá:

∫⊂⊃∫SBdS=0{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

onde o integral, que se estende sobre uma superfície fechada S, é a fluir para fora da B . Este é o teorema da divergência de fluxo . A outra relação é obtida integrando ∇ × B = μ 0 j em uma superfície aberta S:

∮∂SBdeu=µ0∬SjdS{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf { j} \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

onde a integral esquerda é a circulação de B no contorno de S. Esta relação é conhecida como teorema de Ampère . O lado direito é interpretado simplesmente como a corrente fluindo pela superfície.

Essas relações integrais geralmente tornam possível calcular B simplesmente em situações de alta simetria.

Exemplo

Ou para calcular o campo criado por um condutor retilíneo infinito. As considerações de simetria fornecem a orientação do campo: ele gira em planos perpendiculares ao fio condutor. Seu módulo pode ser calculado aplicando o teorema de Ampère à superfície S delimitada por uma linha de campo de raio a  :

∮∂SBdeu=2πnoB=µ0eu{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = 2 \, \ pi \, a \, B = \ mu _ {0} \, I}

onde I é a corrente transportada pelo fio. Deduzimos o módulo de B  :

B=µ0eu2πno{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}.

Vemos que o campo diminui na proporção inversa da distância ao fio.

Potencial vetorial

A divergência de B sendo zero, podemos derivar B de um potencial vetorial A  :

B=∇×NO{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}.

Para garantir a exclusividade de A , geralmente é forçado a respeitar o medidor de Coulomb  :

∇⋅NO=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}.

Em que, A é uma solução da equação de Poisson  :

∇2NO+µ0j=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ mu _ {0} \, \ mathbf {j} = \ mathbf {0}}.

Solução integral

Podemos mostrar que A é dado pela integral

NO=µ04π∭jrdv{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j}} {r}} \ mathrm {d} v }

onde a integral se estende a todo o espaço (ou pelo menos às zonas onde j ≠ 0 ) e:

• r denota a distância entre o ponto atual da integral e aquele onde A é calculado;
• dv é o elemento de volume .

Da mesma forma, B é dado por:

B=µ04π∭j×rr3dv{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j} \ times \ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ mathrm {d} v}

ou :

• r é o vetor que vai do ponto atual da integral para aquele onde B é calculado;
• r é o módulo de r .

Esta última relação é conhecida pelo nome de lei de Biot e Savart .

Se não é magnetizado matéria, devemos, naturalmente, ter em conta as correntes associadas substituindo j por j + ∇ × M . Na presença de correntes de superfície ligadas, é necessário adicionar às integrais de superfície de volume que são deduzidas das anteriores pela substituição

∇×Mdv⟼jmsdS{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ mathbf {j} _ {ms} \, \ mathrm {d} S}

Uma situação comumente encontrada é aquela em que a corrente flui em um circuito filiforme e a seção do fio é desprezada. Neste caso, as integrais de volume para A e B são substituídas por integrais lineares ao longo do fio por meio da substituição

jdv⟼eudeu{\ displaystyle \ mathbf {j} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto I \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

onde I é a corrente no fio e o do comprimento do elemento , orientado ao longo eu .

Exemplos

Tópico infinito  :

Podemos pegar o exemplo anterior e calcular o campo criado por um fio infinito com a lei de Biot e Savart  :

B=µ0eu4π∫porque⁡(θ)deur2=µ0eu4π∫1nod(pecado⁡(θ))=µ0eu2πno{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {4 \, \ pi}} \ int \ cos (\ theta) {\ frac {\ mathrm {d} l} {r ^ { 2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \, \ pi}} \ int {\ frac {1} {a}} \ mathrm {d} (\ sin (\ theta)) = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}.

Outros exemplos  :

• Campo criado no eixo de uma bobina circular de raio R:

B=µ0eu2R2(R2+z2)3/2{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2}} {\ frac {R ^ {2}} {(R ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3 / 2}}}}

• Campo criado por um solenóide infinitamente longo  :

B=µ0não1eu{\ displaystyle B = \ mu _ {0} \, n_ {1} \, I}dentro do solenóide, o campo sendo zero fora. A quantidade n 1 designa o número de voltas por unidade de comprimento.

Abordagem de Coulomb

Na abordagem de Coulomb que atribui-se ao cálculo de H . Essa abordagem tem suas raízes no trabalho de Coulomb sobre as forças geradas pelos pólos dos ímãs. Ainda é comumente usado por magnéticos. É uma questão de resolver as equações para H  :

∇⋅H=ρm{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = \ rho _ {m}} ∇×H=j{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {j}}

onde nós definimos

ρm=-∇⋅M{\ displaystyle \ rho _ {m} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {M}}.

Por analogia com a eletrostática, ρ m é chamado de densidade de carga magnética . Observe que, ao contrário das cargas elétricas, as cargas magnéticas não podem ser isoladas. O teorema da divergência de fluxo mostra de fato que a carga magnética total de uma amostra de matéria é zero. Um ímã, portanto, sempre tem tanta carga positiva (pólo norte) quanto negativa (pólo sul).

Cargas superficiais magnéticas

Na prática, a carga magnética é freqüentemente encontrada na forma de uma carga superficial localizada nas superfícies do ímã. Esta carga superficial resulta das descontinuidades da componente de M normal à superfície, onde -∇⋅ M é localmente infinito. As superfícies assim carregadas são chamadas de pólos do ímã. A superfície carregada positivamente é o pólo norte, a superfície carregada negativamente é o pólo sul. Nessas superfícies, substitui-se a densidade de volume da carga por uma densidade de superfície:

σm=(M1-M2)⋅não12{\ displaystyle \ sigma _ {m} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12}}.

Esta carga superficial tem o efeito de induzir uma descontinuidade de H  :

ΔH=-ΔM⊥{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {H} = - \ Delta \ mathbf {M} _ {\ perp}}

onde Δ M ⟂ é a parte de Δ M que é normal à superfície. Essa descontinuidade afeta apenas a parte de H normal à superfície. A parte paralela de H permanece contínua.

Relações integrais

Como no caso de B , essas relações decorrem da aplicação do teorema de Stokes às relações locais. Eles também permitem calcular H em casos de alta simetria. A integração de ∇⋅ H = ρ m em um volume finito V dá:

∫⊂⊃∫∂VHdS=∭Vρmdv{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ parcial V} \ mathbf { H} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {V} \ rho _ {m} \ mathrm {d} v}

onde a roda esquerda, que é transportado na superfície que define V é o fluxo que sai H . O membro da mão direita nada mais é do que a carga total contida no volume. A outra relação é obtida integrando ∇ × H = j em uma superfície aberta S:

∮∂SHdeu=∬SjdS{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {H} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ mathrm {d } \ mathbf {S}}

onde a esquerda está cheio de tráfego H sobre o contorno de S. Esta é uma versão de Ampere escrito para H .

Na prática, a abordagem de Coulomb é preferida em situações onde o campo é gerado exclusivamente por matéria magnetizada (ímãs), na ausência de correntes elétricas. Vamos então nos colocar neste caso onde temos ∇ × H = 0 . No caso geral em que haveria correntes e ímãs, calcularíamos separadamente a contribuição para H vinda das correntes (por uma abordagem amperial) e aquela vinda dos ímãs (pela abordagem de Coulomb).

Potencial escalar

Uma vez que assumimos ∇ × H = 0 (sem correntes), podemos derivar H de um potencial escalar φ por:

H=-∇ϕ{\ displaystyle \ mathbf {H} = - \ nabla \ phi}

em que φ é a solução da equação de Poisson  :

∇2ϕ+ρm=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho _ {m} = 0}.

O fato de que H deriva de um potencial escalar, enquanto B deriva de um potencial vetorial, muitas vezes vale para a abordagem de Coulomb a favor dos numéricos.

Solução integral

Mostramos, como na eletrostática, que φ e H são dados pelas integrais:

ϕ=14π∭ρmrdv{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {m}} {r}} \ mathrm {d} v} H=14π∭ρmrr3 dv{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint \ rho _ {m} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} ~ \ mathrm {d} v}.

No caso frequente em que existem cargas superficiais, é necessário adicionar a essas contribuições superficiais integrais que são obtidas pela substituição:

ρmdv⟼σmdS{\ displaystyle \ rho _ {m} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ sigma _ {m} \, \ mathrm {d} S}.

Veja também

Artigos relacionados

• Campo magnético
  • Teorema de Ampère
• Eletrostática
• Análise vetorial
• Força eletromagnética
• Momento magnético
• Campo de um verticilo atual
• Geomagnetismo

Bibliografia

• Magnétisme: Fondements , obra coletiva editada por Étienne Du Trémolet de Lacheisserie, EDP Sciences, ( ISBN  2-86883-463-9 ) .
• (pt) Histerese no magnetismo: para físicos, cientistas de materiais e engenheiros , por Giorgio Bertotti, Academic Press.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">