Matemática Tropical
A matemática tropical ou geometria tropical , são um ramo da matemática que corresponde ao estudo de um sistema modificado, redefinindo a adição e multiplicação (e, portanto, outras operações). Duas álgebras tropicais foram definidas: a álgebra mínima mais definida com o mínimo para adição e adição para multiplicação e a álgebra máxima mais definida com o máximo para adição e adição para multiplicação.
A matemática tropical é assim chamada em homenagem a seu inventor brasileiro , Imre Simon . O uso do adjetivo tropical é atribuído por Jean-Éric Pin a Dominique Perrin , enquanto o próprio Imre Simon o atribui a Christian Choffrut. O termo tropical não tem outro significado senão se referir ao Brasil.
Meio corpo max-plus
O conjunto R dos números reais, desde que com as operações e máximos de adição, tem uma comutativa metade - estrutura do campo .
Operadores matemáticos
- A adição tropical é definida como:
⊕{\ displaystyle \ oplus}
no⊕b=max(no,b){\ displaystyle a \ oplus b = \ max (a, b)}
.
O resultado da adição tropical de dois números é, portanto, o máximo deles. Então .
2⊕3=max(2,3)=3{\ displaystyle 2 \ oplus 3 = \ max (2,3) = 3}![2 \ oplus 3 = \ max (2,3) = 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd44c75577741ef31dcb86840f2c7a3d403f1e78)
- A multiplicação tropical (ou produto tropical) (ou ) é definida por:
⊙{\ displaystyle \ odot}
⊗{\ displaystyle \ otimes}
no⊙b=no+b{\ displaystyle a \ odot b = a + b}
.
O resultado da multiplicação tropical de dois números é, portanto, a soma usual deles. Então .
2⊙3=2+3=5{\ displaystyle 2 \ odot 3 = 2 + 3 = 5}![2 \ odot 3 = 2 + 3 = 5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c629d251eaabfbdcaf7589272cd741eb5f7563eb)
Propriedades do operador
A adição tropical , como a adição usual, comutativa e associativa . Não há nenhum elemento neutro em ; se trabalhamos em , o elemento neutro é então ; na verdade ,. Não há elemento oposto a um dado elemento: para isso , é necessário .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
R∪{-∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}}
-∞{\ displaystyle - \ infty}
no⊕(-∞)=max(no,-∞)=no{\ displaystyle a \ oplus (- \ infty) = \ max (a, - \ infty) = a}
no⊕x=max(no,x)=(-∞){\ displaystyle a \ oplus x = \ max (a, x) = (- \ infty)}
no=x=(-∞){\ displaystyle a = x = (- \ infty)}![{\ displaystyle a = x = (- \ infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1a11561a3a79fcbdd7efa8527e1bf209a91085)
A multiplicação tropical , como a multiplicação usual, comutativa e associativa . É distributivo com respeito à adição tropical . O número 0 é o elemento neutro para a multiplicação tropical. Para ter um elemento absorvente, trabalhamos em . O elemento absorvente é então . Na verdade ,. Cada elemento tem um inverso para a multiplicação tropical desde então .
⊕{\ displaystyle \ oplus}
R∪{+∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}
+∞{\ displaystyle + \ infty}
no⊕(+∞)=max(no,+∞)=+∞{\ displaystyle a \ oplus (+ \ infty) = \ max (a, + \ infty) = + \ infty}
no⊙(-no)=0{\ displaystyle a \ odot (-a) = 0}![a \ odot (-a) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d51787e667c5cb8c4beea69447d036209e84b6)
A estrutura carece do elemento neutro para a primeira lei e a existência de um elemento simétrico para a primeira lei de forma que a estrutura seja um corpo. Em seguida, falamos do meio-corpo .
(R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)}
(R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)}![(\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebb91404e294024551489dd8d814420d5d811a9)
Poder tropical
A potência tropical , notada , com um número real en um número natural, corresponde à multiplicação usual. De fato,
no⊙não{\ displaystyle a ^ {\ odot n}}![{\ displaystyle a ^ {\ odot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22b7f53176733e4deb050802fdda719f4db0dd8)
no⊙não=no⊙⋯⊙no⏞não Tempo=no+⋯+no⏞não Tempo=não×no{\ displaystyle a ^ {\ odot n} = \ overbrace {a \ odot \ cdots \ odot a} ^ {n {\ text {times}}} = \ overbrace {a + \ cdots + a} ^ {n {\ texto {vezes}}} = n \ vezes a}![{\ displaystyle a ^ {\ odot n} = \ overbrace {a \ odot \ cdots \ odot a} ^ {n {\ text {times}}} = \ overbrace {a + \ cdots + a} ^ {n {\ texto {vezes}}} = n \ vezes a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8449829a9e2fefcc1d6b0987b5ba3ee3785a49a2)
.
Assim, o polinômio tropical em 2 variáveis
no⊙x⊕b⊙y⊕vs{\ displaystyle a \ odot x \ oplus b \ odot y \ oplus c}![{\ displaystyle a \ odot x \ oplus b \ odot y \ oplus c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab201b71b698847d599d1b3b92e0bc05573c43d6)
é escrito, com as notações mais usuais,
max(no+x,b+y,vs){\ displaystyle \ max (a + x, b + y, c)}![{\ displaystyle \ max (a + x, b + y, c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8688143a33ab3f5b091ec2763321de75668cb8)
Meio corpo min-plus
Outra estrutura de meio corpo é definida considerando o mínimo em vez do máximo como a primeira lei.
Polinômios tropicais
Nós nos colocamos no meio-corpo mínimo mais. Um polinômio tropical é uma função que pode ser expressa como uma soma tropical de um número finito de termos monomiais. Cada monômio é um produto tropical de uma constante e de variáveis tomadas em um conjunto . Assim, um polinômio tropical é F é o mínimo de uma família finita de transformações lineares afins em que as variáveis têm coeficientes lineares; é uma função côncava , contínua e linear por partes :
F:Rnão→R{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}
X1,...,Xnão{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}![{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac794f5521dcce89913085a6d566e7cdb615dbb0)
F(X1,...,Xnão)=(VS1⊗X1⊗no11⊗⋯⊗Xnão⊗nonão1)⊕⋯⊕(VSs⊗X1⊗no1s⊗⋯⊗Xnão⊗nonãos)=min{VS1+no11X1+⋯+nonão1Xnão,...,VSs+no1sX1+⋯+nonãosXnão}.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = \ left (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ right) \\ & = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {alinhado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = \ left (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ right) \\ & = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945ef575435e334a50572e62d936493d81433199)
O conjunto de pontos onde um polinômio tropical F é indiferenciável é chamado de hipersuperfície tropical e denotado (em analogia com variedades algébricas . Equivalentemente, é o conjunto de pontos onde o mínimo dos termos de F é alcançado por pelo menos 2 termos.
V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}
V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}![{\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106b5230121985e2de94033b7aab7c1036ccb577)
Aplicação: cálculo de distâncias em gráfico
O elemento é adicionado a R e toda a estrutura é fornecida min-plus; pode-se usar a estrutura assim definida para o cálculo da distância mais curta em um gráfico.
+∞{\ displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
Representamos um gráfico ponderado em n vértices pela matriz que dá as distâncias entre cada vértice: se o vértice i está ligado ao vértice j então o elemento é igual ao peso da aresta ( i , j ), se os vértices i e j não estão conectados em seguida corresponde ao infinito (temos ).
NO=(noeu,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}
noeu,j{\ displaystyle a_ {i, j}}
noeu,j{\ displaystyle a_ {i, j}}
noeu,eu=0{\ displaystyle a_ {i, i} = 0}![a _ {{i, i}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b156d2a892ef1df345b080e4a52143e1d70a62)
Portanto, a distância entre i e j passando por no máximo um vértice é:
mink∈{1,⋯,não}(noeu,k+nok,j)=⨁k∈{1,⋯,não}noeu,k⊙nok,j{\ displaystyle \ min _ {k \ in \ {1, \ cdots, n \}} (a_ {i, k} + a_ {k, j}) = \ bigoplus _ {k \ in \ {1, \ cdots , n \}} a_ {i, k} \ odot a_ {k, j}}![\ min _ {{k \ in \ {1, \ cdots, n \}}} (a _ {{i, k}} + a _ {{k, j}}) = \ bigoplus _ {{k \ in \ {1, \ cdots, n \}}} a _ {{i, k}} \ odot a _ {{k, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb146a63c4ef5edba08891b5c28095fdfcc1d992)
Isso corresponde ao produto da matriz na estrutura min-plus. Portanto, para calcular o comprimento de um caminho mais curto de um vértice a outro, temos no máximo n passos, no gráfico basta calcular a potência n de A para esta estrutura.
Referências
-
Esta é a definição de matemática tropical por seu inventor Imre Simon, online em Scientific Commons
-
Ilia Itenberg, " Introdução à Geometria Tropical » ,P. 2
-
Jean-Éric Pin, "Tropical Semirings" , em J. Gunawardena, Idempotency (Bristol, 1994) , Cambridge, Cambridge University Press,1998, p. 50-69.
-
Imre Simon, “Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring” , em Mathematical Foundations of Computer Science (Carlsbad, 1988) , Springer, coll. "Lecture Notes in Computer Science" ( n S 324),
1988( leia online ) , p. 107-120.
-
Mathoverflow, 2011, O que é tropical sobre álgebra tropical? no Mathoverflow
-
David Speyer e Bernd Sturmfels , “ Tropical mathematics ”, Mathematics Magazine , vol. 82, n o 3,2009, p. 163–173 ( DOI 10.1080 / 0025570X.2009.11953615 , ler online ).
Veja também
Bibliografia
- Ilia Itenberg, " Direitos tropicais ", Imagens da matemática , CNRS,2011( leia online )
- (pt) Diane Maclagan e Bernd Sturmfels, Introdução à Geometria Tropical , Providence (RI), American Mathematical Society, coll. " Pós-Graduação em Matemática " ( n o 161)abril de 2015, 363 p. ( ISBN 978-0-8218-5198-2 , leia online )
- Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin e Eugenii Shustin, Tropical algebraic geometry , Basel, Birkhäuser, coll. "Oberwolfach Seminars" ( n o 35)2009( ISBN 978-3-0346-0047-7 , OCLC 310400815 )
- Dima Grigoriev, " Equações diferenciais tropicais ", Advances in Applied Mathematics , vol. 82,javier 2017, p. 120–128 ( DOI 10.1016 / j.yam.2016.08.002 , arXiv 1502.08010.pdf )
- Dima Grigoriev , " Sequências recorrentes tropicais ", Advances in Applied Mathematics , vol. 116,2020, Artigo n o 102012 ( DOI 10.1016 / j.aam.2020.102012 , arXiv 1807,10714 )
- Antoine Chambert-Loir , " Quando a geometria se torna tropical ", Pour la science , n o 492,outubro de 2018, p. 26-33
- (de) Hannah Markwig , "Tropische Geometrie" , em Katrin Wendland , Annette Werner (ed.), Facettenreiche Mathematik , Wiesbaden, Vieweg + Teubner Verlag,2011( ISBN 978-3-8348-1414-2 )
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