A matemática para trás é um ramo da matemática que poderia ser definido simplesmente pela ideia de "voltar aos axiomas dos teoremas ", ao contrário do sentido usual (axiomas para teoremas). Mais precisamente, é uma questão de avaliar a robustez lógica de um conjunto de resultados matemáticos usuais, determinando exatamente quais axiomas são necessários e suficientes para prová-los.
O domínio foi criado por Harvey Friedman em seu artigo “ Alguns sistemas da aritmética de segunda ordem e seu uso ”.
O assunto foi continuado entre outros por Stephen G. Simpson e seus alunos. Simpson escreveu o trabalho seminal sobre o assunto, Subsistemas de aritmética de segunda ordem , cuja introdução serviu de inspiração para este artigo.
O princípio da matemática reversa é o seguinte: consideramos uma linguagem estruturada e uma teoria básica, muito fraca para provar a maioria dos teoremas que podem nos interessar, mas ainda forte o suficiente para provar a equivalência de certas afirmações cuja diferença é realmente mínima, ou para estabelecer certos fatos considerados bastante óbvios (a comutatividade da adição, por exemplo). Acima dessa fraca teoria básica, existe uma teoria completa (conjunto de axiomas), forte o suficiente para provar os teoremas que nos interessam e na qual a intuição matemática clássica permanece intacta.
Entre o sistema de base e o sistema completo, o matemático procura os conjuntos de axiomas de robustez intermediária, que provavelmente não são equivalentes aos pares (no sistema de base): cada sistema deve não apenas provar este ou aquele teorema clássico, mas também ser equivalente (no sistema básico). Isso garante que a robustez lógica do teorema foi alcançada com precisão (pelo menos para a linguagem estruturada e o sistema de base): um conjunto mais restrito de axiomas não poderia ser suficiente para provar o teorema, e não poderia implicar um.
O princípio, portanto, parte do sistema completo para o sistema básico, enquanto aumenta os axiomas que tornaram possível, pelo processo recíproco, obter o sistema básico.