Matriz de Vandermonde

Na álgebra linear , uma matriz de Vandermonde é uma matriz com uma progressão geométrica em cada linha. O nome vem do matemático francês Alexandre-Théophile Vandermonde .

Matrix, é assim:

V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & {\ alpha _ {1}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {1}} ^ {{n-1}} \ \ 1 & \ alpha _ {2} & {\ alpha _ {2}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {2}} ^ {{n-1}} \\ 1 & \ alpha _ { 3} & {\ alpha _ {3}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {3}} ^ {{n-1}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} & {\ alpha _ {m}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {m}} ^ {{n-1}} \\\ end {pmatrix}}

Em outras palavras, para todos os i e j , $V _ {{i, j}} = {\ alpha _ {i}} ^ {{j-1}}.$

Observação. Alguns autores usam a transposição da matriz acima.

Reversibilidade

Consideramos uma matriz Vandermonde quadrada V ( ). É invertível se e somente se os dois em dois são distintos. $m = n$ $\ alpha_i$

Demonstração

Se dois coeficientes são idênticos, a matriz tem duas linhas idênticas, portanto, não é invertível. $\ alpha_i$

Pelo contrário, podemos proceder ao cálculo do determinante, que será feito no próximo parágrafo.

Uma prova mais rápida de reversibilidade é, no entanto, considerar V como a matriz do sistema linear homogêneo VX = 0 para X dos componentes x 0 , ..., x n-1 :

{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {0} + \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {1} ^ {2} x_ {2} + & \ dots + \ alpha _ {1} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \\ & \ vdots \\ x_ {0} + \ alpha _ {n} x_ {1} + \ alpha _ {n} ^ {2} x_ {2 } + & \ dots + \ alpha _ {n} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \ end {casos}}}

Ao introduzir o polinômio

P (Y) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} x_ {i} Y ^ {i}

vemos que se X satisfaz a equação VX = 0, então P admite n raízes distintas, isto é, mais do que seu grau; portanto, P é zero e, portanto, X = 0, o que prova que V é invertível.

determinando

O determinante de uma matriz de Vandermonde ( neste caso) pode ser expresso como: $n \ vezes n$ $m = n$

\ det (V) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})

Demonstração

O determinante da matriz é um polinômio em . Além disso, esse determinante desaparece quando dois dos números são iguais (uma vez que existem duas linhas idênticas). Portanto, este determinante é igual a $D (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})$ $\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}$ $\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}$

{\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ cdot Q (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i} )

e onde ele mesmo é um polinômio. $Q$

No entanto, o polinômio é homogêneo , de grau 0 + 1 +… + ( n -1) = n ( n -1) / 2. Como é o mesmo com , o polinômio é de fato uma constante. Finalmente, essa constante vale 1, pois nas expansões de e de , o coeficiente do monômio tem o mesmo valor diferente de zero (igual a 1). $D$ $P$ $Q$ $D$ $P$ $\ alpha _ {n} ^ {{n-1}} \ alpha _ {{n-1}} ^ {{n-2}} \ ldots \ alpha _ {2} ^ {1}$

Formulários

A matriz de Vandermonde e o cálculo de seu determinante são usados na interpolação polinomial .

Um caso especial da matriz de Vandermonde aparece na fórmula da transformada discreta de Fourier , onde os coeficientes $(α i )$ são as raízes complexas da unidade .

Notas

Esta forma fatorada é usada, por exemplo, no teste de matemática da agregação externa 2006 , parte I.10.
Para uma prova menos conceitual, veja por exemplo este exercício corrigido na Wikiversidade .

Veja também

Artigo relacionado

Interpolação Lagrangiana

Bibliografia

Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , curso de matemática , volume 1: álgebra, mp - especial m ', m, Dunod, Paris, 1971; páginas 316 a 319.
Daniel Guinin François e Bernard Aubonnet Joppin, matemática Accurate , Livro 2, Álgebra 2, 3 ª edição, Breal, 1994; páginas 19 e 20.

Link externo

Didier Piau, um passeio pelo mundo (Vander) em 70 minutos