Matriz de Vandermonde
Na álgebra linear , uma matriz de Vandermonde é uma matriz com uma progressão geométrica em cada linha. O nome vem do matemático francês Alexandre-Théophile Vandermonde .
Matrix, é assim:
V=(1α1α12...α1não-11α2α22...α2não-11α3α32...α3não-1⋮⋮⋮⋮1αmαm2...αmnão-1){\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & {\ alpha _ {1}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {1}} ^ {n-1} \ \ 1 & \ alpha _ {2} & {\ alpha _ {2}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {2}} ^ {n-1} \\ 1 & \ alpha _ {3 } & {\ alpha _ {3}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {3}} ^ {n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} & {\ alpha _ {m}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {m}} ^ {n-1} \\\ end {pmatrix}}}![V = {\ begin {pmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & {\ alpha _ {1}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {1}} ^ {{n-1}} \ \ 1 & \ alpha _ {2} & {\ alpha _ {2}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {2}} ^ {{n-1}} \\ 1 & \ alpha _ { 3} & {\ alpha _ {3}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {3}} ^ {{n-1}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & \ alpha _ {m} & {\ alpha _ {m}} ^ {2} & \ dots & {\ alpha _ {m}} ^ {{n-1}} \\\ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6f1a3d09d1dfe830575d51a427b757dc54e241)
Em outras palavras, para todos os i e j ,Veu,j=αeuj-1.{\ displaystyle V_ {i, j} = {\ alpha _ {i}} ^ {j-1}.}
Observação.
Alguns autores usam a
transposição da matriz acima.
Reversibilidade
Consideramos uma matriz Vandermonde quadrada V ( ). É invertível se e somente se os dois em dois são distintos.
m=não{\ displaystyle m = n}
αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}![\ alpha_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790)
Demonstração
Se dois coeficientes são idênticos, a matriz tem duas linhas idênticas, portanto, não é invertível.
αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}![\ alpha_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790)
Pelo contrário, podemos proceder ao cálculo do determinante, que será feito no próximo parágrafo.
Uma prova mais rápida de reversibilidade é, no entanto, considerar V como a matriz do sistema linear homogêneo VX = 0 para X dos componentes x 0 , ..., x n-1 :
{x0+α1x1+α12x2+⋯+α1não-1xnão-1=0⋮x0+αnãox1+αnão2x2+⋯+αnãonão-1xnão-1=0{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {0} + \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {1} ^ {2} x_ {2} + & \ dots + \ alpha _ {1} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \\ & \ vdots \\ x_ {0} + \ alpha _ {n} x_ {1} + \ alpha _ {n} ^ {2} x_ {2 } + & \ dots + \ alpha _ {n} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \ end {casos}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {0} + \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {1} ^ {2} x_ {2} + & \ dots + \ alpha _ {1} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \\ & \ vdots \\ x_ {0} + \ alpha _ {n} x_ {1} + \ alpha _ {n} ^ {2} x_ {2 } + & \ dots + \ alpha _ {n} ^ {n-1} x_ {n-1} = 0 \ end {casos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3f16e04ddf05cd4799617fb1f2483612ca97dd)
Ao introduzir o polinômio
P(Y)=∑eu=0não-1xeuYeu{\ displaystyle P (Y) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i} Y ^ {i}}![P (Y) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} x_ {i} Y ^ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4b1310c9882498aecb84b0c88b5969d4131216)
,
vemos que se X satisfaz a equação VX = 0, então P admite n raízes distintas, isto é, mais do que seu grau; portanto, P é zero e, portanto, X = 0, o que prova que V é invertível.
determinando
O determinante de uma matriz de Vandermonde ( neste caso) pode ser expresso como:
não×não{\ displaystyle n \ times n}
m=não{\ displaystyle m = n}![m = n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c9d8e54796e7de7d4738510cc10bc3fc55d48e)
det(V)=∏1≤eu<j≤não(αj-αeu){\ displaystyle \ det (V) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})}![\ det (V) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077c12708ade7b6c9e75926c1d95dd6c1bc99e78)
Demonstração
O determinante da matriz é um polinômio em . Além disso, esse determinante desaparece quando dois dos números são iguais (uma vez que existem duas linhas idênticas). Portanto, este determinante é igual a
D(α1,...,αnão){\ displaystyle D (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}
α1,...,αnão{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}
αeu,αj{\ displaystyle \ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}}![\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b130e93c2ac39adfcb760af8c206a8df601cd2)
P(α1,...,αnão)⋅Q(α1,...,αnão){\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ cdot Q (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}![{\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ cdot Q (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859a6fd4d939cb118290ea82f259d7bd2d8a8986)
ou
P(α1,...,αnão)=∏1≤eu<j≤não(αj-αeu){\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i })}![P (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i} )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e762c8070b74c10e0454014c2e58d25558adb7)
e onde ele mesmo é um polinômio.
Q{\ displaystyle Q}![Q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)
No entanto, o polinômio é homogêneo , de grau 0 + 1 +… + ( n -1) = n ( n -1) / 2. Como é o mesmo com , o polinômio é de fato uma constante. Finalmente, essa constante vale 1, pois nas expansões de e de , o coeficiente do monômio tem o mesmo valor diferente de zero (igual a 1).
D{\ displaystyle D}
P{\ displaystyle P}
Q{\ displaystyle Q}
D{\ displaystyle D}
P{\ displaystyle P}
αnãonão-1αnão-1não-2...α21{\ displaystyle \ alpha _ {n} ^ {n-1} \ alpha _ {n-1} ^ {n-2} \ ldots \ alpha _ {2} ^ {1}}![\ alpha _ {n} ^ {{n-1}} \ alpha _ {{n-1}} ^ {{n-2}} \ ldots \ alpha _ {2} ^ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a04e6c562cd97758cbc3402f5ef2b43eafd61ec)
Formulários
A matriz de Vandermonde e o cálculo de seu determinante são usados na interpolação polinomial .
Um caso especial da matriz de Vandermonde aparece na fórmula da transformada discreta de Fourier , onde os coeficientes (α i ) são as raízes complexas da unidade .
Notas
-
Esta forma fatorada é usada, por exemplo, no teste de matemática da agregação externa 2006 , parte I.10.
-
Para uma prova menos conceitual, veja por exemplo este exercício corrigido na Wikiversidade .
Veja também
Artigo relacionado
Interpolação Lagrangiana
Bibliografia
-
Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , curso de matemática , volume 1: álgebra, mp - especial m ', m, Dunod, Paris, 1971; páginas 316 a 319.
- Daniel Guinin François e Bernard Aubonnet Joppin, matemática Accurate , Livro 2, Álgebra 2, 3 ª edição, Breal, 1994; páginas 19 e 20.
Link externo
Didier Piau, um passeio pelo mundo (Vander) em 70 minutos
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