Método Ferrari
O método Ferrari imaginado e aperfeiçoado por Ludovico Ferrari (1540) permite resolver as equações do quarto grau por radicais , ou seja, escrever as soluções como uma combinação de adições, subtrações, multiplicações, divisões e quadrado, cúbico. e raízes quárticas formadas a partir dos coeficientes da equação. Ele fornece para as quatro soluções, sob uma aparência diferente, a mesma fórmula dos métodos posteriores de Descartes (1637) e Lagrange (1770).
Princípio do método
Primeiro reduzimos a equação (dividindo pelo coeficiente dominante, em seguida, traduzindo a variável de modo a eliminar o termo do grau 3 ) para uma equação da forma
z4+pz2+qz+r=0{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}.
O ponto central do método consiste em então substituir o monômio z 4 pelo polinômio ( z 2 + λ) 2 - 2λ z 2 - λ 2 , parametrizado por λ , e encontrar um valor adequado de λ , que permite escrever z 4 + pz 2 + qz + r como uma diferença de dois quadrados, portanto, por meio de uma identidade notável , como um produto de dois polinômios de segundo grau .
Alguns autores preferem a começar por completar o quadrado , z 4 + PZ 2 = ( z 2 + p / 2) 2 - p 2 /4 , o qual lhes permite apresentar o método de Ferrari com outro parâmetro ( u = λ - p / 2 ), igual à metade daquele de Descartes e Lagrange ( y = 2λ - p ).
Implementação
z4+pz2+qz+r=(z2+λ)2-2λz2-λ2+pz2+qz+r=(z2+λ)2-[(2λ-p)z2-qz+λ2-r].{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} -2 \ lambda z ^ { 2} - \ lambda ^ {2} + pz ^ {2} + qz + r \\ & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} - \ left [(2 \ lambda -p) z ^ {2} -qz + \ lambda ^ {2} -r \ right]. \ End {array}}}
O termo (2λ - p ) z 2 - qz + λ 2 - r , visto como um polinômio em z , é escrito como um quadrado se e somente se for discriminante , q 2 - 4 (2λ - p ) (λ 2 - r ) , é zero.
Portanto, resolvemos a equação correspondente, chamada resolução cúbica (in) :
8λ3-4pλ2-8rλ+4rp-q2=0{\ displaystyle 8 \ lambda ^ {3} -4p \ lambda ^ {2} -8r \ lambda + 4rp-q ^ {2} = 0},
usando um dos métodos clássicos de resolver uma equação de grau 3 .
Ao escolher uma solução λ 0 , então a 0 , b 0 (possivelmente complexo), como:
no02=2λ0-peb0=-q2no0{\ displaystyle a_ {0} ^ {2} = 2 \ lambda _ {0} -p \ quad {\ text {e}} \ quad b_ {0} = - {\ frac {q} {2a_ {0}} }},
a equação inicial torna-se:
(z2+λ0)2-(no0z+b0)2=0{\ displaystyle (z ^ {2} + \ lambda _ {0}) ^ {2} - (a_ {0} z + b_ {0}) ^ {2} = 0}ou :
(z2+no0z+λ0+b0)(z2-no0z+λ0-b0)=0{\ displaystyle (z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0}) (z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ { 0}) = 0},
o que equivale ao cancelamento de um dos dois fatores:
z2+no0z+λ0+b0=0ouz2-no0z+λ0-b0=0{\ displaystyle z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0} = 0 \ quad {\ text {ou}} \ quad z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ {0} = 0}.
Cada uma dessas duas equações fornece dois valores para z , ou quatro valores ao todo.
Quase todos os autores excluem implicitamente o caso em que 2λ 0 - p é zero (o que levaria a uma divisão por a 0 = 0 na definição acima de b 0 ). Mas, neste caso, q = 0, então a equação z 4 + pz 2 + qz + r = 0 é simplesmente uma equação quádrupla .
Para exemplos, veja a lição sobre Wikiversidade ( link abaixo ) e seus exercícios.
Notas de Referência
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Esta etapa preliminar não simplifica o resto, alguns autores a dispensam: ver Joseph-Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1849) ( linha de leitura ) , p. 233-237, (pt) John Hymers (pt) , A Treatise on the Theory of Algebraical Equations , Deighton, Bell,1858, 3 e ed. ( leia online ) , p. 106-107, ou o final do capítulo “Método Ferrari” na Wikiversidade ( link abaixo ).
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Daniel Perrin , “ Uma visão geométrica do método de Ferrari […] ” , no Departamento de Matemática em Orsay .
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(en) Jean-Pierre Tignol , Teoria das Equações Algébricas de Galois , World Scientific ,2001( leia online ) , p. 24.
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Tignol 2001 , p. 22-23.
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(em) AG Kurosh ( trad. Do russo), Higher Algebra , Mir ,1980( 1 st ed. 1972) ( linha de leitura ) , p. 231.
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Tignol 2001 , p. 24
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Com exceção, pelo menos, de Tignol 2001 , p. 24
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Para mais detalhes sobre o caso q = 0 , veja por exemplo este exercício corrigido na Wikiversidade .
Veja também
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