Método Tschirnhaus
O método Tschirnhaus , idealizado e desenvolvido por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , é uma tentativa de resolver o ponto-chave na teoria das equações, a saber , encontrar um método geral de resolução da equação polinomial . Este método tenta reduzir a equação que queremos resolver a outras equações de menor grau. Esse método definitivamente falha para equações de grau maior ou igual a cinco que têm um grupo de Galois insolúvel .
Princípio do método
Tschirnhaus primeiro lembra que qualquer equação de grau n
xnão+nonão-1xnão-1+⋯+no1x+no0=0{\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}classicamente se reduz a uma equação sem termo de grau n - 1 , por uma mudança de variável da forma . Na verdade, o coeficiente do termo em do polinômio
x=y+b0{\ displaystyle x = y + b_ {0}}ynão-1{\ displaystyle y ^ {n-1}}
(y+b0)não+nonão-1(y+b0)não-1+⋯+no1(y+b0)+no0{\ displaystyle (y + b_ {0}) ^ {n} + a_ {n-1} (y + b_ {0}) ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} (y + b_ {0} }) + a_ {0}}Portanto, é suficiente, para esse coeficiente ser zero, escolher igual a .
nãob0+nonão-1{\ displaystyle nb_ {0} + a_ {n-1}}b0{\ displaystyle b_ {0}}-nonão-1não{\ displaystyle - {\ frac {a_ {n-1}} {n}}}
Isso lhe dá a ideia de cancelar mais termos, de introduzir um fator desconhecido auxiliar y que não é mais um traduzido de x, mas um polinômio , colocando:
xk=bk-1xk-1+⋯+b1x+b0+y{\ displaystyle x ^ {k} = b_ {k-1} x ^ {k-1} + \ dots + b_ {1} x + b_ {0} + y}onde k (estritamente menor que n ) é o número de termos a serem cancelados, e a escolha dos coeficientes é explicada abaixo.
bk-1,...,b1,b0{\ displaystyle b_ {k-1}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}
Essa transformação é chamada de transformação de Tschirnhaus .
Ao eliminar x entre esta relação e a equação para ser resolvido, obtém-se uma equação de grau n e desconhecido y cujos coeficientes dependem dos k coeficientes b i . Em seguida, tentamos determinar os coeficientes de forma a obter uma equação em y que seja mais simples de resolver, por exemplo (para k = n - 1 ) da forma:
beu{\ displaystyle b_ {i}}
ynão-vs=0{\ displaystyle y ^ {n} -c = 0}.
Por isso, na equação em Y , um conjuntos igual a 0 de todos os coeficientes de monómios de grau 1 a n - 1 . Assim, obtemos um sistema de n - 1 equações com n - 1 incógnitas . Esses valores, uma vez obtidos, são relatados na equação:
bnão-2,...,b1,b0{\ displaystyle b_ {n-2}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}
xnão-1-bnão-2xnão-2-⋯-b1x-(b0+y)=0{\ displaystyle x ^ {n-1} -b_ {n-2} x ^ {n-2} - \ dots -b_ {1} x- (b_ {0} + y) = 0},
onde y sucessivamente leva para um valor de a n n -simo raízes de c .
Tschirnhaus, portanto, reduz (no exemplo n = 3 ) a resolução de uma equação de grau n para aquela de n equações de grau n - 1 . Porém, seu método fornece n ( n - 1) valores para x , que devem ser testados para detectar, entre eles, as n soluções eficazes. Especificando nossa ideia, podemos encontrar diretamente essas n soluções (uma para cada valor de y ).
O método acima permite que Tschirnhaus dê, para as soluções de uma equação cúbica , uma nova fórmula, diferente da de Cardan . Ele também encontra o último por outra mudança de variável: xy = y 2 + a , reinventando assim a substituição de Viète .
Aplicação à solução de equações cúbicas
Considere uma equação de grau 3, sem perda de generalidade da forma
x3+px+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}com . Deixe-nos colocar, conforme indicado acima:
p≠0{\ displaystyle p \ neq 0}
x2=nox+b+y{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}.
O sistema
{x3+px+q=0x2=nox+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {3} + px + q & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}é equivalente ao sistema
{(no2+b+y+p)x=-(q+nob+noy)x2=nox+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} (a ^ {2} + b + y + p) x & = - (q + ab + ay) \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end { casos}}}que admite soluções x se e somente se
(q+nob+noy)2=-no(q+nob+noy)(no2+b+y+p)+(b+y)(no2+b+y+p)2{\ displaystyle (q + ab + ay) ^ {2} = - a (q + ab + ay) (a ^ {2} + b + y + p) + (b + y) (a ^ {2} + b + y + p) ^ {2}}.
Esta condição é reescrita:
y3+(3b+2p)y2+(3b2+4pb+p2+pno2-3qno)y+b3+2pb2+p2b+pno2b-3qnob-q2-pqno-qno3=0(∗){\ displaystyle y ^ {3} + (3b + 2p) y ^ {2} + (3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa) y + b ^ {3} + 2pb ^ {2} + p ^ {2} b + pa ^ {2} b-3qab-q ^ {2} -pqa-qa ^ {3} = 0 \ quad (*)}.
Nós determinamos um e b de modo que já não contém um termo em y 2 ou em y :
{3b+2p=03b2+4pb+p2+pno2-3qno=0⇔{b=-2p3no=3p(q2+δ) com δ2=q24+p327.{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ begin {cases} 3b + 2p & = 0 \\ 3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa & = 0 \ end {cases}} \\\ Leftrightarrow & {\ begin {cases} b & = - {\ frac {2p} {3}} \\ a & = {\ frac {3} {p}} \ left ({\ frac {q} {2}} + \ delta \ right) {\ text {with}} \ delta ^ {2} = {\ frac {q ^ {2}} {4}} + {\ frac {p ^ {3 }} {27}}. \ End {casos}} \ end {alinhado}}}Esta escolha de um e b torna possível simplificar a equação , o que torna-se então:
(∗){\ displaystyle (*)}
y3=(6δp)3pno3{\ displaystyle y ^ {3} = \ left ({\ frac {6 \ delta} {p}} \ right) ^ {3} {\ frac {pa} {3}}}.
Nós terminar a solução escolhendo uma raiz cúbica z de , definindo para , e o cálculo, para cada um destes três valores, as duas soluções da equação quadrática . Obtemos assim em geral 6 valores distintos, dos quais as 3 soluções de fazem necessariamente parte. Para concluir, basta testar esses 6 valores.
pno3{\ displaystyle {\ frac {pa} {3}}}yk=6δpzjk{\ displaystyle y_ {k} = {\ frac {6 \ delta} {p}} z \, \ mathrm {j} ^ {k}}k=0,1,2{\ displaystyle k = 0,1,2} x2=nox+b+yk{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y_ {k}}x3+px+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}
Considere uma equação de grau 4, sem perda de generalidade da forma
x4+px2+qx+r=0{\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}com . Considere a seguinte transformação de Tschirnhaus:
q≠0{\ displaystyle q \ neq 0}
x2=nox+b+y{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}.
O sistema
{x4+px2+qx+r=0x2=nox+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}admite soluções x se e somente se
y4+(4b+2p)y3+NOy2+By+VS=0(∗∗){\ displaystyle y ^ {4} + (4b + 2p) y ^ {3} + Ay ^ {2} + Por + C = 0 \ quad (**)}com
NO=6b2+6bp+pno2-3qno+p2+2r{\ displaystyle A = 6b ^ {2} + 6bp + pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r},
B=4b3+6pb2+2b(pno2-3qno+p2+2r)+2r(2no2+p)-q(no3+pno+q){\ displaystyle B = 4b ^ {3} + 6pb ^ {2} + 2b (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + 2r (2a ^ {2} + p) -q (a ^ {3} + pa + q)},
VS=b4+2pb3+b2(pno2-3qno+p2+2r)+b[2r(2no2+p)-q(no3+pno+q)]+nor(no3+pno-q)+r2{\ displaystyle C = b ^ {4} + 2pb ^ {3} + b ^ {2} (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + b \ left [2r (2a ^ {2 } + p) -q (a ^ {3} + pa + q) \ right] + ar (a ^ {3} + pa-q) + r ^ {2}}.
A equação é quadrada se
(∗∗){\ displaystyle (**)}
{4b+2p=0B=0,{\ displaystyle {\ begin {cases} 4b + 2p & = 0 \\ B & = 0, \ end {cases}}}que é igual a
{b=-p2-qno3+(4r-p2)no2+2pqno-q2=0{\ displaystyle {\ begin {cases} b = - {\ frac {p} {2}} \\ - qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} & = 0. \ end {casos}}}Para resolver , basta:
x4+px2+qx+r=0{\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}
- encontre uma solução a da “equação cúbica de solução (in) ” ;-qno3+(4r-p2)no2+2pqno-q2=0{\ displaystyle -qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} = 0}
- calcule A e C para esta escolha de a e para ;b=-p2{\ displaystyle b = - {\ frac {p} {2}}}
- encontre as quatro soluções ( ) da equação quádrupla obtida;yk{\ displaystyle y_ {k}}k=0,1,2,3{\ displaystyle k = 0,1,2,3}y4+NOy2+VS=0{\ displaystyle y ^ {4} + Ay ^ {2} + C = 0}
- para cada um desses quatro valores, encontre as duas soluções ( ) de .xk,j{\ displaystyle x_ {k, j}}j=0,1{\ displaystyle j = 0,1}x2-nox-b-yk=0{\ displaystyle x ^ {2} -ax-b-y_ {k} = 0}
Obtemos assim 8 valores , dos quais as 4 soluções de fazem necessariamente parte. Para concluir, basta testar esses 8 valores.
xk,j{\ displaystyle x_ {k, j}}x3+px+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}
Equação de quinto grau
Para saber mais sobre isso, consulte o artigo Radical de Bring .
Nota Histórica
Este método é o primeiro método geral de resolução de equações publicado. Sua publicação data de 1683 .
Notas e referências
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(la) Tschirnhaus, “ Methodus auferendi erga terminos intermedios ex aequatione dados ” , Acta Eruditorum ,Maio de 1683, p. 204-207 ( ler online ). Tradução para o inglês: (en) RF Green, “ Um método para remover todos os termos intermediários de uma dada equação ” , ACM SIGSAM Bulletin , vol. 37, n o 1,Março de 2003( leia online ).
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(em) Victor S. Adamchik e David J. Jeffrey, " Polynomial transformations of Tschirnhaus, and Jerrard Bring " , ACM SIGSAM Bulletin , Vol. 37, n o 3,Setembro 2003( leia online ).
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Esses cálculos por Tschirnhaus 1683 são detalhados, completados e testados em um exemplo, na primeira parte de uma tarefa corrigida na Wikiversidade : siga o link na parte inferior da página .
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Tschirnhaus 1683 , excepto para anotações.
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Esses cálculos são detalhados (e testados em um exemplo) na segunda parte da tarefa já mencionada da Wikiversidade.
Veja também
Joseph-Alfred Serret , Curso de álgebra superior , t. 1,1866, 3 e ed. ( 1 st ed. 1849) ( linha de leitura ) , p. 420-430
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">