Um número primo de Stern (nomeado após Moritz Abraham Stern ) é um número primo que não é a soma de um número primo e o dobro de um quadrado perfeito diferente de zero.
Ou, para transcrevê-lo algebricamente, um número primo q é o se de Stern para qualquer número natural diferente de zero b , q - 2 b 2 é um número composto .
Conhecidos apenas oito primos Stern: 2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977, 1187 e 1493 (mais A042978 de OEIS ).
Assim, por exemplo, o número primo 137 é o de Stern, pois se tentarmos subtrair de 137 as primeiras duplas dos quadrados, obteremos 135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9, que são compostos.
Por outro lado, o número primo 139 não é de Stern porque 139 = 137 + 2,1 2 , ou novamente 139 = 131 + 2,2 2 , etc.
Na verdade, muitos números primos têm mais de uma representação q - 2 b 2 . Em um par de primos gêmeos , o maior dos dois é escrito p + 2,1 2 . E se este número primo p + 2 é o maior, p ' + 8, de um quádruplo de números primos , então ele também é escrito p' + 2,2 2 .
Uma “representação de Goldbach ” de um inteiro é uma decomposição desse número na forma p + 2 b 2 com p primo ou igual a 1 eb inteiro possivelmente zero. Seguindo A007697 de OEIS tem o n- ésimo menor termo ímpar admitindo pelo menos n representações de Goldbach. Leonhard Euler observou que quanto maiores os números, mais representações de Goldbach eles têm, sugerindo que a lista de números primos de Stern seria finita.
Essa lista poderia ser não apenas finita, mas reduzida aos oito números acima. De acordo com Judson S. McCranie, esses são os únicos números primos de Stern entre os 100.000 números primos. Esses oito números têm representações de Waring com melhor desempenho do que sugeriria sua falta de representações de Goldbach.
Christian Goldbach conjecturou em uma carta a Leonhard Euler que qualquer número ímpar tem pelo menos uma representação de Goldbach. Laurent Hodges acredita que Stern se interessou pelo assunto depois de ler a correspondência de Goldbach.