Sobre números e jogos
On Numbers and Games é um livro de matemática, em inglês , escrito por John Horton Conway em 1976. Ele apresenta o conceito de número surreal e estabelece as bases da teoria dos jogos partidários . Com Winning Ways for your Mathematical Plays , este livro é considerado o fundador da teoria dos jogos combinatória .
Conway indica no prólogo da segunda edição (2001) que escreveu este livro principalmente porque a teoria surreal dos números estava começando a impedir o desenvolvimento de Winning Ways for your Mathematical Plays , que ele estava então co-escrevendo com Elwyn Berlekamp e Richard Guy . Escondendo-se dos outros co-autores, ele decidiu escrever um livro separado e, após uma semana de escrita ininterrupta, On Numbers and Games estava pronto.
O livro está dividido em duas grandes partes, numeradas de forma humorística zero e uma parte. A parte zero lida com números surreais , e a primeira parte lida com jogos partidários . Os capítulos de cada parte também são numerados a partir do número zero.
Capítulos da parte zero
A parte zero, intitulada On Numbers ... , é composta de 7 capítulos.
- Capítulo 0: Todos os números grandes e pequenos apresenta definições de números surreais , operações de adição e multiplicação e dá exemplos iniciais de números surreais.
- O Capítulo 1: O nº da classe é um campo mostra que o nº da classe dos números surreais, munido de operações de adição e multiplicação, possui uma estrutura de campos totalmente ordenada .
- Capítulo 2: Os números reais e ordinais mostra que os números surreais contêm números reais e também números ordinais .
- Capítulo 3: A Estrutura do Número Surreal Geral fornece notações para alguns números surreais, incluindo ε 0 , ε 1 que são equivalentes a números ordinais, mas que são estendidos para novos números, como ε –1 . Este capítulo também apresenta a forma normal.
- Capítulo 4: Álgebra e Análise de Números introduz as somas infinitas de números surreais e Não [i] com i 2 = –1, que é o equivalente para números surreais da construção de números complexos , então mostra que Não [i] é um campo algebricamente fechado (e que Não é um campo real fechado ).
- Capítulo 5: Teoria dos Números na Terra de Oz é um capítulo curto que define um conceito de inteiro para números surreais, o todo omnifiques (em inglês: inteiros omníficos). A classe dos inteiros oníficos é denotada por Oz. Qualquer número surreal é então uma fração de dois inteiros omníficos.
- Capítulo 6: The Curious Field On 2 introduz nimbers (que não são números surreais) e mostra que com as operações de nim-adição e nim-multiplicação, a classe On 2 de nimbers é um campo comutativo .
Esta parte conclui com um apêndice ( Apêndice da Parte Zero ), defendendo a ideia de que um formalismo preciso não é necessário para definir números surreais em vários axiomas do tipo conjunto, como o ZF usual aceitando apenas conjuntos ou o NBG menos comum também aceitando classes estritas : essas teorias, por permitirem a definição dos ordinais de Von Neumann , também nos permitem construir números surreais usando recorrência transfinita e codificações como a técnica dos pares de Kuratowski .
Capítulos da primeira parte
A primeira parte, intitulada ... e Games , é composta por 10 capítulos.
- Capítulo 7: Jogar vários jogos ao mesmo tempo define formalmente os jogos partidários como uma generalização dos números entregues. A soma dos conjuntos, o negativo de um conjunto e a relação de comparação entre os conjuntos têm as mesmas definições dos números surreais.
- Capítulo 8: Alguns jogos já são números estuda alguns jogos, incluindo Hackenbush (en) , e mostra que um número surreal é interpretado como o número de movimentos à frente de um dos jogadores.
- O Capítulo 9: Sobre jogos e números apresenta vários conceitos para comparar jogos complexos, incluindo a temperatura de um jogo, o jogo resfriado ou aquecido por um valor t e o termógrafo de um jogo.
- O capítulo 10: Simplificando os Jogos descreve as possíveis simplificações nos jogos, com as noções de jogadas reversíveis e opções dominadas, e mostra que isso permite obter a forma mais simples de um jogo. O final do capítulo é dedicado ao jogo Dominador e dá os valores De muitas posições.
- O Capítulo 11: Jogos Imparciais e o Jogo de Nim lida com o caso especial de jogos imparciais , prova o teorema de Sprague-Grundy e o estende ao caso de jogos imparciais com um número infinito de posições usando números generalizados para ordinais.
- Capítulo 12: Como perder quando você deve descreve a teoria dos jogos imparciais em uma versão miserável, ou seja, quando o jogador que não pode mais jogar é o vencedor desta vez. Este capítulo é muito semelhante ao capítulo Sobrevivência no Mundo Perdido de Maneiras de Vencer para seus Jogos Matemáticos .
- O Capítulo 13: Funções de Animação, Jogo de Welter e Hackenbush Unrestrained concentra- se em detalhes em dois jogos imparciais em particular , Jogo de Welter e Hackenbush.
- Capítulo 14: Como jogar vários jogos ao mesmo tempo em uma dúzia de maneiras diferentes oferece doze combinações de regras para jogar somas de jogos. A teoria combinatória clássica dos jogos corresponde a uma dessas doze variações, e a principal variação clássica é outra. -chamadas regras de miséria , onde o jogador que joga por último perde.
- O Capítulo 15: Ups, Downs e Bynumbers apresenta as funções que associam um conjunto a outro e, em particular, o caso particular da soma ordinal .
- O Capítulo 16: O Longo, o Curto e o Pequeno retorna ao problema de comparar jogos e números, e dá uma escala resumida da maioria dos números ou jogos que apareceram no livro.
Edições
Notas
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Conway usa a palavra inglesa zeroth, que geralmente é traduzida como zero
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Demonstrado equiconsistente a ZF se nos restringirmos a conjuntos; consulte esta seção do artigo NBG para obter mais detalhes .