Operador vinculado

Em matemática , a noção de operador limitado é um conceito de análise funcional . Esta é uma transformação linear G entre dois espaços normados X e Y de modo a que a imagem da esfera unidade X é uma parte delimitada por Y . Ele mostra que se identificam com aplicações lineares contínuas a partir de X para Y . O conjunto de operadores limitados é dotado de uma norma resultante das normas de X e Y , apadrão do operador .

Definição

Um mapa linear L entre os espaços vetoriais normados X e Y é chamado de operador limitado quando o conjunto

{\ displaystyle \ left \ {\ left. {\ tfrac {\ | Lu \ | _ {Y}} {\ | u \ | _ {X}}} \ right | u \ in X \ setminus \ {0 \} \ right \} = \ left \ {\ | Lu \ | _ {Y} \ mid u \ in X, \ | u \ | _ {X} = 1 \ right \}}

é limitado. Em outras palavras, existe um real M estritamente positivo para o qual, para qualquer u pertencente a X , a seguinte desigualdade é realizada

{\ displaystyle \ | Lu \ | _ {Y} \ leq M \ | u \ | _ {X}. \,}

O menor dos limites superiores adequados M é chamado de norma do operador de L e denotado , ou mais simplesmente . ${\ displaystyle | \! | \! | L | \! | \! |}$ ${\ displaystyle \ | L \ |}$

Essa definição pode ser reformulada de várias maneiras. E um mapeamento linear L de X em Y é dito para ser limitado quando a imagem da esfera unidade B é limitada, e é o raio da mais pequena bola Y contendo as imagens dos elementos B . ${\ displaystyle \ | L \ |}$

Ou, usando a linearidade, um operador é limitado se e somente se for um mapa de Lipschitz , e então sua constante de Lipschitz. ${\ displaystyle \ | L \ |}$

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ in X ^ {2}, \ | Lu-Lv \ | _ {Y} = \ | L (uv) \ | _ {Y} \ leq \ | L \ | \ | uv \ | _ {X}. \,}

A expressão “operador limitado” não deve ser enganosa, não é uma função limitada de X a Y , mas sim uma função limitada localmente .

Link com continuidade

Um operador L entre espaço normado X e Y é limitado se e só se for contínuo, a 0, ou, se e somente se é contínua em X .

Exemplos

Um mapa linear entre espaços vetoriais normatizados de dimensão finita é sempre um operador limitado.
Mais geralmente, este é o caso para todos os mapas lineares para os quais o espaço inicial é de dimensão finita.
No espaço vetorial dos polinômios , tomando como norma o máximo dos valores absolutos dos coeficientes, a forma linear L que associa P (2) a um polinômio P não é contínua: não é limitada desde L ( X n ) = 2 n . $\ mathbb {R} [X]$
Outro exemplo: o linear de , por si só não pode, seja qual for a escolha do padrão, seja uma aplicação de Lipschitz, uma vez que para qualquer inteiro n , . ${\ displaystyle L: P \ mapsto XP '(X)}$ $\ mathbb {R} [X]$ ${\ displaystyle L (X ^ {n}) = nX ^ {n}}$
Um operador compacto é um mapeamento linear de X para Y de tal modo que a unidade de bola X tem a parte de imagem relativamente compacto em Y . Esse operador é então limitado. Este é o caso, por exemplo, de operadores integrais (ou operadores de kernel). O exemplo mais simples de tal operador é dado por ${\ displaystyle T_ {K}: f \ mapsto \ left ({T_ {K} (f): x \ mapsto T_ {K} (f) (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (t , x) f (t) ~ {\ rm {d}} t} \ right).}$ Se a função K ( kernel ) é contínua , então é um operador compacto de in (ambos fornecidos com a norma de convergência uniforme ). ${\ displaystyle [a, b] \ times [c, d]}$ $T_ {K}$ ${\ displaystyle C ^ {0} ([a, b])}$ ${\ displaystyle C ^ {0} ([c, d])}$

Operadores limitados dentro da estrutura de espaços de Banach

O conjunto de operadores delimitado entre dois espaços de Banach X e Y forma um espaço de Banach quando é fornecido com a norma do operador . Se X = Y , é uma álgebra de Banach unitária.

É possível definir um operador limitado entre dois espaços de Banach, dando apenas sua restrição a um subespaço denso . Para isso, basta garantir que essa restrição seja limitada localmente (ou Lipschitziana) e aplicar o procedimento geral de prolongamento por continuidade . O resultado é de fato um operador limitado.

O Banach-Schauder (ou aplicação aberta) teorema

O teorema de Banach-Schauder mostra que qualquer operador limitado e sobrejetivo entre espaços de Banach é um mapa aberto (ou seja, a imagem de um aberto é um aberto de F ). Em particular, a imagem da bola unitária é então “enquadrada” entre duas bolas do espaço da imagem.

O teorema de Banach segue : se L é um operador limitado e bijetivo entre dois espaços de Banach, seu inverso também é um operador limitado. Tal mapa constitui um isomorfismo para a estrutura espacial de Banach.

O teorema de Banach-Steinhaus (ou princípio de limite uniforme)

O teorema de Banach-Steinhaus diz respeito a famílias, e em sequências particulares, de operadores limitados. Em sua versão fraca, ele afirma que tal família é uniformemente limitada se e somente se for pontualmente limitada.

Como corolário, quando uma sequência ( L n ) de operadores limitados em um espaço de Banach simplesmente converge para uma função L , então L também é um operador limitado. Porém, não se pode afirmar a convergência da seqüência ( L n ) para L relativamente à norma do operador.

O teorema do gráfico fechado

Para um mapa linear entre dois espaços de Banach E e F é limitada (e, por conseguinte, contínuas) se e só se o seu gráfico é fechado em E x F . Este resultado é uma consequência direta do teorema de Banach.

Veja também

Operador ilimitado