Operadores Laplacianos na geometria Riemanniana

Na geometria Riemanniana , existem várias generalizações comumente usadas do operador Laplaciano . O mais simples é o operador Laplace-Beltrami, que se aplica a funções numéricas. Podem-se definir operadores que permitem derivar objetos mais gerais, formas diferenciais, tensores ou seções de feixes de vetores, de maneiras diferentes, às vezes concorrentes. Vários deles merecem ser qualificados como laplacianos, a partir de seu símbolo principal , ou seja, os termos de derivação de grau superior. Portanto, eles compartilham características diferentes, como seu caráter elíptico . É possível relacioná-los entre si pelas chamadas fórmulas de Weitzenböck que envolvem a curvatura e deduzir delas propriedades interessantes que ligam a topologia e a análise funcional.

Definição comum

Em tudo o que se segue, tomamos uma variedade Riemanniana (M, g) . Usaremos os símbolos do produto escalar e da norma e para a métrica induzida nos tensores ou nas formas diferenciais . ${\ displaystyle <.,.>}$ $||. ||$

Operadora Laplace-Beltrami

No caso de funções numéricas, definimos o Laplaciano pela fórmula

{\ displaystyle \ Delta f = - \ mathrm {div} (\ mathrm {grad} f)}

esta convenção, comumente praticada na geometria diferencial, é oposta àquela geralmente encontrada na análise; isso se explica, em particular, pelo fato de privilegiar o sinal "+" na expressão do vínculo com o diferencial externo e o codiferencial (que será generalizado com o Laplaciano de Hodge)

{\ displaystyle \ Delta f = \ delta df}

Este Laplaciano constitui um operador diferencial elíptico e auto-adjacente. Ao integrar a relação graças ao teorema de Stokes , em uma variedade compacta , seu núcleo (conjunto das chamadas funções harmônicas ) é reduzido a constantes. ${\ displaystyle \ Delta f = 0}$

Operadores Laplacianos em geral

No quadro euclidiano, pode-se definir uma noção geral de símbolo de um operador diferencial , ou seja, uma expressão que fornece os coeficientes e as ordens de derivação. Mas para variedades diferenciais , os coeficientes são modificados ao alterar os mapas. Apenas o símbolo principal é preservado, na forma de um tensor simétrico.

Em uma variedade Riemanniana (M, g) é, portanto, possível qualificar como Laplacianos todos os operadores diferenciais que atuam nas seções de um feixe vetorial E e cujo símbolo principal

{\ displaystyle \ sigma _ {A}: S ^ {2} T ^ {\ ast} M \ otimes E \ a E}

está diretamente relacionado à métrica por meio das relações

{\ displaystyle \ sigma _ {A} (\ xi \ otimes \ xi \ otimes e) = - <\ xi, \ xi> e}

Operadores diferentes

Laplaciano de conexão (ou Laplaciano bruto)

Como a métrica Riemanniana está canonicamente associada à conexão de Levi-Civita , temos uma derivada covariante que nos permite derivar funções, formas diferenciais e todos os tipos de tensores , em qualquer ordem. O Laplaciano bruto, ou Laplaciano de conexão, é dado usando o traço (ou seja, a contração de acordo com g ) da segunda derivada

{\ displaystyle {\ underline {\ Delta}} T = - \ mathrm {tr} _ {g} (\ nabla ^ {2} T)}

Também podemos estender esta definição para calcular o Laplaciano em qualquer pacote vetorial Riemanniano E, uma vez que temos então uma derivação covariante nos covetores com valores em E :

{\ displaystyle {\ underline {\ Delta}} T = - \ mathrm {tr} _ {g} (\ nabla ^ {E} \ nabla T \ omega) = \ nabla ^ {\ ast} \ nabla T}

observando o assistente formal da conexão. O principal símbolo de justifica que se trata de um operador Laplaciano, que também é formalmente auto-adicionado e positivo. SE a variedade for compacta, o kernel é formado pela verificação de seções , ou seja, com T geralmente paralelas . ${\ displaystyle \ nabla ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ Delta}}}$ ${\ displaystyle \ nabla T = 0}$

Hodge Laplacian

O Laplaciano de Hodge é definido apenas em formas diferenciais ; também leva os nomes de operador de Laplace-De Rham, ou de Laplace-Beltrami, ou mesmo de Laplacien simplesmente. No caso de uma variedade Riemanniana orientada , podemos definir a codiferencial graças ao operador de dualidade de Hodge $\ ast$ : na dimensão n , para as p- formas

{\ displaystyle \ delta = (- 1) ^ {np + n + 1} \ ast \ mathrm {d} \ ast}

Laplaciano combina o diferencial e o codiferencial

{\ displaystyle \ Delta = (\ mathrm {d} + \ delta) ^ {2} = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d}}

e o operador obteve trocas para o operador Hodge.

No entanto, se uma mudança de orientação modifica o operador Hodge, encontramos o mesmo codiferencial e, portanto, o mesmo Laplaciano, que pode, portanto, ser definido mesmo em variedades não orientáveis.

As formas diferenciais do Laplaciano nulo são chamadas de harmônicas. Em uma variedade compacta e orientada, essas formas harmônicas anulam tanto o diferencial quanto o codiferencial, e podemos estabelecer o teorema de decomposição de Hodge : qualquer forma diferencial é exclusivamente escrita como a soma de uma forma exata, de uma forma co-exata e de um harmônico Formato.

Laplaciano de Lichnerowicz

Laplacianos de Dirac

Podemos definir uma noção geral de operador de Dirac : eles são operadores definidos em certos pacotes assim que temos boas propriedades de compatibilidade com o pacote de Clifford da variedade. Todos eles têm em comum o fato de terem um quadrado que é um operador Laplaciano. Entre os exemplos notáveis, é aconselhável citar o seguinte operador no feixe de formas diferenciais, e cujo quadrado é o Hodge Laplaciano mencionado acima:

{\ displaystyle D = d + \ delta}

No entanto, nesta família, dois operadores específicos são mais frequentemente chamados de operadores Dirac. Eles não são definidos em nenhuma variedade Riemanniana, mas apenas quando temos uma estrutura Spin ou Spin c e o feixe de espinor associado. No caso de uma estrutura Spin, existe um operador Dirac privilegiado e quando se deseja distingui-lo da família geral que o precede, fala-se em operador Atiyah-Singer. Em uma base ortonormal móvel, e em cada ponto x , é dado pela fórmula

{\ displaystyle {\ cal {D}} \ sigma = \ sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} \ times \ nabla _ {e_ {i}} (\ sigma)}

mostrando um produto de Clifford e que mostramos que ele dá um resultado independente da base escolhida e que tem um Laplaciano como quadrado (Dirac ou Atiyah-Singer Laplaciano). Para uma estrutura Spin c , há uma escolha de conexão a ser feita no feixe de linhas associado à estrutura, portanto, vários operadores de Dirac e Laplacianos possíveis.

Fórmulas de Weitzenböck e método de Bochner

Relações entre laplacianos: fórmulas de Weitzenböck

A fórmula histórica de Weitzenböck, estabelecida em 1923 e redescoberta por Bochner em 1948, liga o Laplaciano de Hodge para uma forma diferencial ao Laplaciano de conexão; mostra que a diferença entre esses dois laplacianos é um termo sofisticado que envolve a curvatura. No caso de formas 1 , é escrito usando uma versão do tensor de curvatura de Ricci (forma bilinear de Ricci no feixe cotangente)

{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {\ ast} \ nabla + \ mathrm {Ric}}

Podemos dar uma formulação mais geral e elegante, incluindo inicialmente todos os Laplacianos de Dirac.

{\ displaystyle D ^ {2} = \ nabla ^ {\ ast} \ nabla + {\ cal {R}}}

onde o termo adicional é expresso com uma multiplicação de Clifford e o operador de curvatura

{\ displaystyle {\ cal {R}} (\ phi) = {\ frac {1} {2}} \ displaystyle \ sum _ {1 \ leq j, k \ leq n} e_ {j} \ times e_ {k } \ vezes R_ {e_ {j}, e_ {k}} (\ phi)}

Isso resulta em vários casos particulares interessantes: para o operador de Dirac d'Atiyah-Singer, o termo curvatura é particularmente simples, limitado a um termo de curvatura escalar (a chamada fórmula de Lichnerowicz)

{\ displaystyle {\ cal {D}} ^ {2} = \ nabla ^ {\ ast} \ nabla + {\ frac {1} {4}} s}

Aplicações: a técnica de Bochner

Bochner estabeleceu em 1946 que, para variedades Riemannianas, a positividade da curvatura de Ricci dá um limite para o valor de um invariante topológico, o primeiro número de Betti . Este resultado é interessante por si só, uma vez que faz parte de uma série de resultados que mostram o impacto das suposições de curvatura na topologia de variedades. E a abordagem de Bochner, que explora as fórmulas de Weitzenböck, viu seu uso amplamente difundido para a produção de muitas frutas.

Para o teorema original de Bochner , derivamos desta fórmula o valor do Laplaciano do quadrado da norma de uma forma de 1 harmônico

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ Delta (\ | \ omega \ | ^ {2}) = \ | \ nabla \ omega \ | ^ {2} - <\ Delta \ omega, \ omega > + \ mathrm {Ric} (\ omega, \ omega) = \ | \ nabla \ omega \ | ^ {2} + \ mathrm {Ric} (\ omega, \ omega)}

A integral da expressão é zero pelo teorema de Stokes e podemos então explorar as propriedades de positividade ou positividade estrita.

Um resultado pai, de Gallot e Meyer, dá a nulidade de todos os números de Betti de ordem diferente de 1 e n , desta vez fazendo uma hipótese de positividade estrita no operador de curvatura: neste caso, estamos lidando com uma esfera de homologia . Podemos comparar este resultado ao teorema da esfera, que fornece um difeomorfismo sob hipóteses mais exigentes.

Da fórmula de Lichnerowicz também extraímos um certo número de consequências sobre as variedades de Spin que são compactas: se a curvatura escalar for estritamente positiva, o núcleo do operador Atiyah-Singer é reduzido a 0 (sem espinor harmônico). E podemos encontrar restrições em outro invariante, o -gênero. ${\ hat A}$

A técnica de Bochner torna possível encontrar outros tipos de informação: um limite nos autovalores do Laplaciano se a curvatura de Ricci for suficientemente grande, ou propriedades dos campos Killing .

Laplaciano para aplicações entre variedades Riemannianas

Em 1964, James Eells e Joseph H. Sampson (en) , introduziram uma noção de aplicação harmônica entre duas variedades Riemannianas e , como solução para um determinado problema variacional , generalizaram o problema de Dirichlet . Pelo menos em um framework simples (variedades compactas orientadas), trata-se de encontrar os pontos críticos de um funcional denominado energia de Dirichlet . A equação de Euler-Lagrange associada é escrita ${\ displaystyle \ phi: M \ to N}$ $(M, g)$ ${\ displaystyle (N, h)}$

{\ displaystyle \ tau (\ phi) = \ mathrm {tr} _ {g} (\ nabla (\ mathrm {d} \ phi)) = 0}

(com a conexão Levi-Civita para $h$ ), ou em coordenadas locais (e com os símbolos de Christoffel para cada uma das duas métricas e o uso da convenção de soma de Einstein )

{\ displaystyle \ tau ^ {i} (\ phi) = g ^ {\ alpha \ beta} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ phi ^ {i}} {\ partial x ^ {\ alpha } \ partial x ^ {\ beta}}} - \ Gamma [g] _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} {\ frac {\ partial \ phi ^ {i}} {\ partial x ^ {\ gamma }}} + \ Gamma [h] _ {jk} ^ {i} {\ frac {\ partial \ phi ^ {j}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial \ phi ^ {i}} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ right).}

Este campo de tensão pode ser interpretado como o gradiente da energia de Dirichlet, ou ainda como laplaciano generalizado (traço do Hessiano generalizado). ${\ displaystyle \ tau (\ phi)}$ $\ phi$

Notas e referências

Esta é a escolha de Besse 1987 , p. 52
Jost 2002 , p. 84-85.
Thierry Aubin , (1998), “Alguns problemas não lineares em geometria Riemannianos”, Springer Monografias em Matemática, Springer-Verlag, Berlim, ( ISBN 3-540-60752-8 ) , pp. 28-29
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 167-168.
Besse 1987 , p. 52
Berger 2003 , p. 707
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 155
Jost 2002 , p. 83
Encontramos um estudo completo, sob o nome de feixes e operadores de Dirac, em Lawson e Michelsohn 1989 , p. 112-153
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 123
Jost 2002 , p. 144
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 121
Berger 2003 , p. 708
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 156
Lawson e Michelsohn 1989 , p. 155
Besse 1987 , p. 55
Berger 2003 , p. 595
Lawson e Michelsohn 1989 , pp. 158-159
Jost 2002 , p. 393

Bibliografia

(pt) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detalhe da edição ]
(pt) Arthur Besse , Einstein Manifolds , Berlin, Springer-Verlag, col. "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete",1987, capítulo 1 seção I (páginas 52 e seguintes)
(pt) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detalhe das edições ]
(en) H. Blaine Lawson (en) e Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN 978-0-691-08542-5 )