Óptica de Fourier

A óptica de Fourier (em homenagem a Joseph Fourier ), é um campo da óptica de onda baseada no conceito de transformada de Fourier .

A ferramenta básica: difração Fraunhofer

A ótica das ondas usa principalmente o princípio de Huygens-Fresnel para obter resultados como o das fendas de Young ou do ponto de Airy . Esses cálculos são relativamente complicados e, para simplificá-los, é possível situar-se no quadro de certas aproximações. Por exemplo, a difração de Fraunhofer assume que o padrão de difração é observado a uma distância muito grande do objeto de difração.

Fórmula de Fraunhofer

Essas aproximações tornam possível mostrar a transformada de Fourier na fórmula de difração: onde:
$E (x, y, z) \ propto {\ mathcal {F}} _ {{\ left [{\ mathcal {A}} _ {i} t \ right]}} \ left (f_ {x}, f_ { y} \ right)$

$\, E (x, y, z)$ é a iluminância nas coordenadas , $(X Y Z)$
${\ mathcal {F}}$ denota a transformada de Fourier,
${\ mathcal {A}} _ {i} (X, Y)$ é a amplitude da onda incidente,
$\, t (X, Y)$ é o fator de transmissão ,
$\, \ lambda$ é o comprimento de onda da onda incidente,
e e são chamados de frequências espaciais . $f_ {x} = {\ frac {x} {\ lambda z}}$ $f_ {y} = {\ frac {y} {\ lambda z}}$

Conseqüência principal

A fórmula anterior permite obter o seguinte resultado: uma onda plana em incidência normal sobre um objeto, formará, ao infinito, sua transformada de Fourier. Mais precisamente, ela forma a transformada de Fourier do fator de transmissão do objeto.

De fato, para uma onda plana com incidência normal, a amplitude é homogênea no plano de incidência, o que permite que ela seja retirada da transformada de Fourier. Isso deixa: . ${\ mathcal {A}} _ {i}$ $E (x, y, z) \ propto {\ mathcal {F}} _ {{\ left [t \ right]}} \ left (f_ {x}, f_ {y} \ right)$

Uma das principais consequências pode ser encontrada no exemplo de uma câmera. O diafragma do sistema óptico atua como uma superfície difratora e a imagem de um ponto é a transformada de Fourier desse elemento.

Diz-se que tal sistema óptico é limitado pela difração e atua como um filtro vis-à-vis as frequências espaciais da cena que está sendo fotografada. A ótica de Fourier, portanto, torna possível entender que qualquer que seja a qualidade da ótica, é impossível fotografar frequências espaciais muito altas.

Realização prática

A difração de Fraunhofer só é válida no infinito , mas em vez de ser colocada no infinito , preferimos usar uma lente convergente . De fato, pode-se mostrar que a difração de Fraunhofer também é válida no plano focal da imagem de uma lente. Isso torna possível trazer de volta a transformada de Fourier do objeto estudado a uma distância finita.

Assim, podemos observar a transformada de Fourier de diferentes objetos pelo seguinte método (ver diagrama): colocamos o objeto no caminho de um feixe de luz e adicionamos uma lente convergente após o objeto. Ao colocar uma tela no plano focal desta lente, a figura observada será a transformada de Fourier do objeto. Por exemplo, se o objeto for um orifício circular, a imagem resultante será o ponto Airy .

O plano focal da lente, onde a transformada de Fourier do objeto é formada, é chamado de plano de Fourier .

Interpretação de frequência espacial

A transformada de Fourier é freqüentemente usada para analisar espectros , como na acústica . Com efeito, esta transformação permite passar do estudo de uma onda de acordo com a sua evolução no tempo , para o seu estudo em frequências . Essas frequências são, portanto, chamadas de temporais , porque estão combinadas com o tempo .

Na ótica de Fourier, a transformada de Fourier não ocorre no que diz respeito ao tempo, mas no que diz respeito ao espaço, e mais precisamente no que diz respeito às coordenadas e no plano do objeto (definido acima). Portanto, definimos frequências espaciais conjugadas a essas coordenadas. $X$ $Y$

Existe uma forte analogia entre frequências temporais e frequências espaciais . Por exemplo, pode-se obter um espectro espacial semelhante ao espectro temporal usual: este espectro espacial, dando origem às frequências espaciais, é uma transformada espacial de Fourier da onda incidente. A parte anterior, portanto, nos mostra que o plano de Fourier revela esse espectro. Assim, visualizamos as frequências espaciais no plano de Fourier .

O centro desse plano, portanto, corresponde a uma frequência espacial zero e, quanto mais longe desse centro, maior será a frequência espacial correspondente.

Formulários

A principal aplicação da ótica de Fourier é a filtragem espacial , que consiste em remover algumas frequências espaciais para modificar a imagem do objeto. Isso resulta em vários métodos, como estrioscopia , limpeza a laser , etc.

Um experimento importante em torno da óptica de Fourier é o experimento de Abbe .

Apêndices

Bibliografia

: documento usado como fonte para este artigo.

(pt) Joseph W. Goodman , Introdução à Óptica de Fourier , Mc Graw-Hill,1996, 441 p. ( ISBN 978-0-07-024254-8 )
(pt) Bahaa EA Saleh e Malvin Carl Teich , Fundamentals of Photonics , John Wiley & Sons , coll. "Wiley Series in Pure and Applied Optics",1991, 1177 p. ( ISBN 978-0-471-35832-9 )
(pt) Max Born e Emil Wolf , Principles of Optics , Pergamon Press ,1999, 952 p. ( ISBN 978-0-521-64222-4 , leia online )