O paradoxo do barbeiro é uma ilustração didática do paradoxo de Russell , atribuído ao próprio Bertrand Russell . Não devemos, portanto, dar importância excessiva a este " paradoxo ", que o lógico E. W. Beth qualifica como " suposta antinomia " ou "pseudo-antinomia".
Podemos afirmar o paradoxo da seguinte forma:
O conselho municipal de uma aldeia passa um decreto municipal que ordena ao seu barbeiro (homem) que faça a barba de todos os habitantes homens da aldeia que não se barbeiem e só estes.
O barbeiro, que de fato é morador da aldeia, não pôde respeitar essa regra porque:
Esta regra é, portanto, inaplicável. Isso é um paradoxo para tudo isso? Não há razão para acreditar que um conselho de aldeia ou qualquer outro órgão não possa ser a fonte de uma lei absurda. Na verdade, longe de ser uma antinomia lógica, esse “paradoxo” simplesmente mostra que um barbeiro que respeite essa regra não pode existir. Esta é uma ilustração disso, se R for qualquer relação binária (neste caso "... raspa ..."), a seguinte declaração, escrita em linguagem formal:
¬ ∃ y ∀ x ( y R x ⇔ ¬ x R x )é uma fórmula universalmente válida para calcular predicados de primeira ordem. Vamos nos referir ao artigo sobre o paradoxo de Russell para ver por que isso pode levar, no caso da relação de pertencimento a uma teoria de conjuntos muito ingênua, a uma antinomia real, isto é, a uma contradição demonstrada na teoria.
Como se aplica de fato a qualquer relação (binária), pode-se dar, com mais ou menos felicidade, múltiplas variações. Citemos este, devido a Martin Gardner : é logicamente possível escrever um catálogo que liste todos os catálogos que não listam a si próprios e apenas estes? A resposta é não, uma vez que este catálogo não pode ser listado, nem pode ser listado.