Parte positiva e parte negativa de uma função
Em matemática , a qualquer função real f , podemos associar duas funções positivas , sua parte positiva f + e sua parte negativa f - , definidas respectivamente por:
f+(x)=max(f(x),0)={f(x)seu f(x)>00seunãoonão,{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max (f (x), \, 0) = {\ begin {cases} f (x) & \ mathrm {si} \ f (x)> 0 \\ 0 & \ mathrm {caso contrário}, \ end {casos}}}
f-(x)=-min(f(x),0)={-f(x)seu f(x)<00seunãoonão.{\ displaystyle f ^ {-} (x) = - \ min (f (x), \, 0) = {\ begin {cases} -f (x) & \ mathrm {si} \ f (x) <0 \\ 0 & \ mathrm {caso contrário}. \ End {casos}}}
Apesar do nome, a “parte negativa” é, portanto, positiva.
Intuitivamente, o gráfico por exemplo da parte positiva é obtido truncando o gráfico de f quando ele passa sob o eixo x , ou seja, novamente definindo 0 nesses pontos e deixando o resto do gráfico inalterado.
Relação com a função inicial
As partes positivas e negativas estão ligadas à função inicial pelas duas relações a seguir:
f=f+-f-,{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-},}
|f|=f++f-.{\ displaystyle | f | = f ^ {+} + f ^ {-}.}
A partir dessas duas partes, podemos expressar as partes positivas e negativas por:
f+=|f|+f2,{\ displaystyle f ^ {+} = {\ frac {| f | + f} {2}},}
f-=|f|-f2.{\ displaystyle f ^ {-} = {\ frac {| f | -f} {2}}.}
Outra relação, usando os colchetes de Iverson, é:
f+=[f>0]f,{\ displaystyle f ^ {+} = [f> 0] f,}
f-=-[f<0]f.{\ displaystyle f ^ {-} = - [f <0] f.}
A decomposição de qualquer função em duas funções positivas é útil, por exemplo, na teoria da integração .
Parte positiva e parte negativa de um real
A parte positiva x + e a parte negativa x - de um número real x são os dois reais positivos definidos por:
x+=max(x,0),{\ displaystyle x ^ {+} = \ max (x, \, 0),}
x-=-min(x,0).{\ displaystyle x ^ {-} = - \ min (x, \, 0).}
Deduzimos os mesmos tipos de relação que para as funções:
x=x+-x-,{\ displaystyle x = x ^ {+} - x ^ {-},}
|x|=x++x-,{\ displaystyle | x | = x ^ {+} + x ^ {-},}
assim como :
x+=|x|+x2,{\ displaystyle x ^ {+} = {\ frac {| x | + x} {2}},}
x-=|x|-x2.{\ displaystyle x ^ {-} = {\ frac {| x | -x} {2}}.}
As partes positiva e negativa de uma função f são, portanto, simplesmente seus compostos pelos mapas x ↦ x + e x ↦ x - respectivamente.
links externos
(it) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
italiano intitulado
“ Parte positiva e parte negativa di uma função ” ( ver lista de autores ) .
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