Pêndulo esférico
Chamamos de pêndulo esférico um dispositivo formado por uma haste de massa zero de comprimento presa a um ponto fixo e à qual é fixada na outra extremidade uma massa , capaz de se mover em 3 dimensões, e colocada em um campo gravitacional uniforme. Resumindo, é um pêndulo 3D simples .
eu{\ displaystyle l \,}
VS{\ displaystyle C \,}
M{\ displaystyle M \,}
m{\ displaystyle m \,}![m \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37129e832c2c81b9f146dd22228d409bd099b295)
Mas o problema também pode ser considerado como um caso particular de movimento de um ponto material obrigado a deslizar sem atrito sobre uma superfície, neste caso a esfera do centro e o raio .
VS{\ displaystyle C \,}
eu{\ displaystyle l \,}![lá,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8b3f411aa6977b35e33fffcd39d6713bf4e46b)
Pequenas oscilações: o pêndulo de Hooke
|
A relação fundamental da dinâmica está escrita: md2M→dt2=-mgk→-TeuVSM→=(T-mg)k→-TeuOM→{\ displaystyle m {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - mg {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {CM}} = (T-mg) {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {OM}}}
Podemos considerar para pequenas oscilações que o ponto permanece no plano e isso , portanto , o que dá a equação aproximada das pequenas oscilações:
M{\ displaystyle M \,} xOy{\ displaystyle xOy \,} T=mg{\ displaystyle T = mg \,} d2M→dt2=-geuOM→=-ω02OM→{\ displaystyle {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - {g \ over l} {\ overrightarrow {OM}} = - {\ omega _ {0} ^ { 2}} {\ overrightarrow {OM}}}
O movimento é, portanto, o de um ponto material em um campo central onde a força é proporcional à distância do centro (o chamado campo harmônico ). A equação diferencial aproximada é integrada em:
x=acos(ω0t+ϕ){\displaystyle x=a\cos(\omega _{0}t+\phi )\,} ; y=bsin(ω0t+ψ){\displaystyle y=b\sin(\omega _{0}t+\psi )\,}
As trajetórias são, portanto, as elipses centrais , chamadas elipses de Hooke . O período do movimento é uma constante igual a , o mesmo das pequenas oscilações do pêndulo monoplano.
O{\ displaystyle O \,} T0=2πω0{\ displaystyle T_ {0} = {2 \ pi \ over \ omega _ {0}}}![{\ displaystyle T_ {0} = {2 \ pi \ over \ omega _ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542338e22c7b18adfe2086b595b1eeb8d5c1e6e7)
|
Observe que este caso representa o de um pêndulo cuja haste poderia se alongar de forma que permanecesse em um plano perpendicular ao eixo (isto então para quaisquer oscilações).
M{\ displaystyle M \,}![M \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa66ea8156203e93f2dca12aca24538c2bdce761)
Aumento de oscilações
|
Se aumentarmos a amplitude do movimento de Hooke, vemos a elipse de Hooke precessar como na figura ao lado.
Este movimento de precessão é muito maior, se não se tomar cuidado, do que a precessão de Foucault devido ao pivotamento sideral terrestre. Esta é muitas vezes a razão pela qual o experimento de Foucault falha.
|
Equação usando a abordagem newtoniana
Equação usando a abordagem Lagrangiana
Para variações infinitesimais e , temos dois desvios perpendiculares e . Os dois componentes perpendiculares de velocidade são, portanto, e
e a energia cinética vale a pena . Sendo a energia potencial valiosa , a função de Lagrange está escrita:
dθ{\ displaystyle d \ theta \,}
dφ{\ displaystyle d \ varphi \,}
eudθ{\ displaystyle ld \ theta \,}
eupecadoθdφ{\ displaystyle l \ sin \ theta d \ varphi \,}
euθ˙{\ displaystyle l {\ dot {\ theta}}}
euφ˙pecadoθ{\ displaystyle l {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta}
Evs=meu22(θ˙2+φ˙2pecado2θ){\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right)}
Ep=VSte-mgeuporqueθ{\ displaystyle E_ {p} = \ mathrm {Cte} -mgl \ cos \ theta \,}![{\ displaystyle E_ {p} = \ mathrm {Cte} -mgl \ cos \ theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab425f75ae6eda41ea92d735cb84fa1a86777eb)
eu=Evs-Ep=meu22(θ˙2+φ˙2pecado2θ)+mgeuporqueθ-VSte{\ displaystyle L = E_ {c} -E_ {p} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right) + mgl \ cos \ theta - \ mathrm {Cte}}
O Lagrangiano , função a priori de, não depende aqui explicitamente de nem de . Nós temos ,
(θ,φ,θ˙,φ˙,t){\ displaystyle \ left (\ theta, \ varphi, {\ dot {\ theta}}, {\ dot {\ varphi}}, t \ right)}
φ{\ displaystyle \ varphi \,}
t{\ displaystyle t \,}
∂eu∂θ=meu2φ˙2pecadoθporqueθ-mgeupecadoθ{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta}} = {ml ^ {2}} {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta}} = {ml ^ {2}} {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7762d714a5d1bd3446028d5456975e2e333eac31)
∂eu∂θ˙=meu2θ˙{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = {ml ^ {2}} {\ dot {\ theta}}}
e
, o que leva às duas equações de Lagrange:
e
.
∂eu∂φ˙=meu2φ˙pecado2θ{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ varphi}}}} = ml ^ {2} {\ dot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta}
θ¨-φ˙2pecadoθporqueθ+g/eupecadoθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta + g / l \ sin \ theta = 0}
φ¨pecado2θ+2θ˙φ˙pecadoθporqueθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta +2 {\ ponto {\ theta}} {\ ponto {\ varphi}} \ sin \ theta \ cos \ theta = 0}![{\ displaystyle {\ ddot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta +2 {\ ponto {\ theta}} {\ ponto {\ varphi}} \ sin \ theta \ cos \ theta = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b684ef10de7470468b4156f8ba53e44441c58cc)
Encontramos as equações (4) e (5).
Uma trajetória possível é a de um paralelo: falamos então de um pêndulo cônico , cuja teoria foi feita por Huygens . Ao escrever na equação (4) que o ângulo , chamado de ângulo de nutação , é constante, obtemos a velocidade de rotação em torno do eixo, chamada de velocidade de precessão :, que é, portanto, constante. Note-se que não pode exceder 90 °; o período de movimento é .
θ{\ displaystyle \ theta \,}
φ˙=ω0porqueθ{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = {\ omega _ {0} \ over {\ sqrt {\ cos \ theta}}}}
θ{\ displaystyle \ theta \,}
T=T0porqueθ{\ displaystyle T = T_ {0} {\ sqrt {\ cos \ theta}}}![{\ displaystyle T = T_ {0} {\ sqrt {\ cos \ theta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423f81ce0a04b259016fcd59683d079cc2d5c018)
Nas proximidades desse movimento, existem movimentos com uma pequena nutação.
Caso Geral
Pode ser integrado em até quadratura, já que a superfície possui eixo de revolução vertical.
A equação (5) se encaixa em (6) ; a velocidade de rotação em torno do eixo é, portanto, mínima no equador e aumenta à medida que se aproxima dos pólos.
φ˙pecado2θ=vste=4ω{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta = cte = 4 \ omega}![{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta = cte = 4 \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5a21be1da8241445e13fe1190abf474e710dc6)
A equação (4) então se integra em (7) ; mostrando claramente o caso do pêndulo plano .
θ2˙-2ω02porqueθ+16ω2pecado2θ=vste=(2kω0)2{\ displaystyle {\ dot {\ theta ^ {2}}} - 2 \ omega _ {0} ^ {2} \ cos \ theta + {16 \ omega ^ {2} \ over \ sin ^ {2} \ theta } = cte = (2k \ omega _ {0}) ^ {2}}
ω=0{\ displaystyle \ omega = 0 \,}![{\ displaystyle \ omega = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0455d4a0bab8136a1b0622d097f6ec9d53362dfd)
Ao definir , (7) torna-se:
você=pecadoθ2{\ displaystyle u = \ sin {\ theta \ over 2}}![{\ displaystyle u = \ sin {\ theta \ over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14642b36c4b5102bab4478cd74e0d2f8dbbc4858)
(8)
você˙2=ω02(k2-você2)(1-você2)+ω2você2{\ displaystyle {\ dot {u}} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} (k ^ {2} -u ^ {2}) (1-u ^ {2}) + {\ ômega ^ {2} \ sobre u ^ {2}}}
.
Veja vistas de diferentes trajetórias no site:
curva do pêndulo esférico .
Generalizações
- No caso anterior, assumimos implicitamente que o quadro de referência era galileu; no caso geral, é necessário somar a força de inércia motriz e a força de inércia complementar, ou força de Coriolis ; o caso do pêndulo de Foucault é o das pequenas oscilações desse pêndulo, com uma rotação do eixo vertical e uma força de inércia motriz desprezível.
- Se o pêndulo tem uma inércia rotacional e está girando sobre si mesmo, obtemos o topo, ou o giroscópio .
- Quanto ao pêndulo plano, pode-se considerar um pêndulo duplo , mesmo múltiplo.
Fonte
Paul Appell: Tratado sobre Mecânica Racional, páginas 530 a 541
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">