Pfaffien

Em matemática , o pfaffiano , ou determinante pfaffiano , que leva o nome do matemático alemão Johann Pfaff , é um escalar que intervém no estudo de matrizes anti-simétricas . É expresso de forma polinomial usando os coeficientes da matriz. Este polinômio é zero se a matriz for de tamanho ímpar; é de interesse apenas no caso de matrizes anti-simétricas de tamanho 2 n × 2 n , seu grau é então n . O pfaffiano de uma matriz A é denotado . ${\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ left (A \ right)}$

O pfaffiano está relacionado ao determinante . Na verdade, o determinante de tal matriz pode sempre ser expresso como um quadrado perfeito e, de fato, o quadrado do pfaffiano. Explicitamente, para uma matriz anti-simétrica de tamanho 2 n × 2 n , temos $NO$

{\ displaystyle {\ text {Pf}} (A) ^ {2} = {\ text {det}} (A)}

História

O termo "pfaffian" foi introduzido por Arthur Cayley , que o usou em 1852: "Os permutantes desta classe (por sua conexão com a pesquisa de Pfaff em equações diferenciais) eu os chamarei de pfaffians " . O matemático alemão a que ele se refere é Johann Friedrich Pfaff .

Foi em 1882 que Thomas Muir provou a ligação entre o pfaffiano e o determinante de uma matriz anti-simétrica. Ele publica esse resultado em seu tratado sobre os determinantes.

Definição formal

Seja A = { a i, j } uma matriz antissimétrica 2 n × 2 n . O pfaffian de A é definido por:

{\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}

onde S 2 n é o grupo simétrico e sgn (σ) é a assinatura de σ.

Simplificação

Essa definição pode ser simplificada usando a antissimetria da matriz, que evita adicionar todas as permutações possíveis.

Seja Π o conjunto de todas as partições de {1, 2,…, 2 n } em pares, independentemente da ordem. Existem (2 n - 1) !! . Um elemento α ∈ Π pode ser escrito na forma:

{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}

com e . É ${\ displaystyle i_ {k} <j_ {k}}$ ${\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}$

{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}

a permutação correspondente. π depende apenas de α. Dada uma partição α, podemos definir:

{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}

O pfaffian de A é então:

{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ sum _ {\ alpha \ in \ Pi} A _ {\ alpha}.}

O pfaffiano de uma matriz antisimétrica n × n para n ímpar é definido como zero.

Definição alternativa

Podemos associar, com qualquer matriz antissimétrica 2 n × 2 n A = { a ij }, um bivetor :

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ wedge e ^ {j}.}

onde { e 1 , e 2 ,…, e 2 n } é a base canônica de R 2n . O Pfaffien é então definido pela relação:

{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \ wedge \ cdots \ cunha e ^ {2n},}

Aqui, ω n denota o produto externo de n cópias de ω consigo mesmo. O pfaffiano, portanto, aparece como o coeficiente de colinearidade entre ω n e a forma de volume de R 2n .

Exemplos

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {pmatrix}} = a.}

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + dc.}

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}

Identidades notáveis

Identidades Gerais

Para uma matriz antissimétrica 2 n × 2 n A e uma matriz arbitrária 2 n × 2 n , denotada por B ,

${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A) ^ {2} = \ det (A)}$ (Lema de Muir )
${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}$
${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}$
${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}$

Matrizes diagonais por blocos

O pfaffiano de uma matriz anti-simétrica diagonal por blocos da forma

{\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}

é o produto dos pfaffianos dos blocos

{\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}

Isso generaliza por recorrência para mais de dois blocos.

Qualquer matriz quadrada

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}

Formulários

O pfaffiano é um polinômio nos coeficientes de uma matriz anti-simétrica, invariante por transformação ortogonal. Ele aparece na teoria das classes características e pode ser usado para definir a classe de Euler de uma variedade Riemanniana , usada no teorema de Gauss-Bonnet generalizado .
Usamos o Pfaffian em física para calcular a função de partição dos modelos de Ising . Recentemente, foi usado para estabelecer algoritmos mais eficientes para resolver certos problemas em física quântica .

Referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Pfaffian " ( veja a lista de autores ) .

(em) Thomas Muir, Um Tratado sobre a Teoria dos Determinantes , reeditado e ampliado em 1930.
(em) Nicol Schraudolph e Dmitry Kamenetsky , "Efficient exact inference in planar Ising models" em Advances in Conference on Neural Information Processing Systems , vol. 21 , MIT Press ,2009( leia online ).

Veja também

links externos