Fenômeno de Gibbs

Em matemática , ao estudar as séries de Fourier e as transformadas de Fourier , às vezes aparece uma distorção do sinal, conhecida como fenômeno de Gibbs . Esse fenômeno é um efeito de borda que ocorre próximo a uma descontinuidade, durante a análise de uma função diferenciável por peças .

História

O fenômeno foi destacado pela primeira vez em 1848 por Henry Wilbraham  (em) , mas esta descoberta não encontrou muito eco.

Em 1898 , Albert Michelson desenvolveu um sistema mecânico capaz de calcular e somar a série de Fourier de um determinado sinal de entrada. Ele então observou um efeito de amplificação das descontinuidades, que persistiu apesar do aumento no número de coeficientes calculados.

Enquanto Michelson suspeitava de um defeito na fabricação de sua máquina, Josiah Willard Gibbs mostrou que o fenômeno era de origem matemática e ocorria em condições muito gerais. Em 1906 , Maxime Bôcher deu a primeira interpretação satisfatória do fenômeno ao qual deu o nome de fenômeno de Gibbs.

Descrição do fenômeno

Fenômeno de Gibbs

O fenômeno de Gibbs é de alguma forma um "padrão de aproximação" para uma função contínua de peças de classe C 1 . Para tal função f , o teorema de Dirichlet garante que a série de Fourier de f simplesmente converge para a função f no intervalo onde f é C 1 por partes. Em qualquer ponto x de continuidade, a soma da série de Fourier é f ( x ) .

O polinômio trigonométrico S N ( f ) , enésima soma parcial da série de Fourier, é uma função contínua; portanto, é normal que ele não possa se aproximar uniformemente da função na vizinhança dos pontos de descontinuidade. Inversamente, em um segmento em que f é diferenciável, observa-se uma convergência uniforme, de acordo com o teorema trigonométrico de Weierstrass (é o caso das zonas de “platô” no exemplo da função crenela).

No ponto de descontinuidade x , S N ( f ) sofre uma forte oscilação , uma espécie de "salto" que é medido pela comparação dos valores em e . De fato, ainda de acordo com o teorema de Dirichlet , a série de Fourier de f também converge simplesmente nos pontos de descontinuidades, mas para a regularizada de Dirichlet, isto é, a meia soma dos valores de f em cada lado do ponto de descontinuidade. Quando N se torna grande, a amplitude dessas oscilações tende a um limite estritamente maior do que a amplitude da descontinuidade, enquanto a largura da zona de oscilação tende a 0. x-πNÃO{\ displaystyle x - {\ frac {\ pi} {\ mathrm {N}}}}x+πNÃO{\ displaystyle x + {\ frac {\ pi} {\ mathrm {N}}}}

É notável que o fenômeno seja expresso quantitativamente independentemente da função considerada. Se a função tem uma descontinuidade de amplitude Δ y , então S N ( f ) , embora permaneça contínua, experimentará um “salto” na ordenada da ordem de 9% a mais nas proximidades da descontinuidade.

Explicação para a onda quadrada

Considere uma onda quadrada ímpar de período . Colocamo-nos na descontinuidade em 0, e o salto é fixado em π / 2. Tomamos o caso de uma soma S N ( f ) para N par, sem perda de generalidade. Então temos eu=2π{\ displaystyle L = 2 \ pi}

SNÃOf(x)=pecado⁡(x)+13pecado⁡(3x)+⋯+1NÃO-1pecado⁡((NÃO-1)x).{\ displaystyle \ mathrm {S_ {N}} f (x) = \ sin (x) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3x) + \ cdots + {\ frac {1} {\ mathrm {N} -1}} \ sin ((\ mathrm {N} -1) x).}

Em particular, o teorema de Dirichlet nos dá em x = 0

SNÃOf(0)=0=-π4+π42=f(0-)+f(0+)2.{\ displaystyle \ mathrm {S_ {N}} f (0) = 0 = {\ frac {- {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} {4}}} {2} } = {\ frac {f (0 ^ {-}) + f (0 ^ {+})} {2}}.}

Além disso,

SNÃOf(2π2NÃO)=pecado⁡(πNÃO)+13pecado⁡(3πNÃO)+⋯+1NÃO-1pecado⁡((NÃO-1)πNÃO){\ displaystyle \ mathrm {S_ {N}} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 \ mathrm {N}}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {\ mathrm {N}}} \ right) + {\ frac {1} {3}} \ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {\ mathrm {N}}} \ right) + \ cdots + {\ frac {1} {\ mathrm {N} -1}} \ sin \ left ({\ frac {(\ mathrm {N} -1) \ pi} {\ mathrm {N}}} \ right)}

ou, usando a função seno cardinal normalizada  : sinc⁡(x)=pecado⁡(πx)πx{\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) = {\ tfrac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}}

SNÃOf(2π2NÃO)=π2[2NÃOsinc⁡(1NÃO)+2NÃOsinc⁡(3NÃO)+⋯+2NÃOsinc⁡((NÃO-1)NÃO)].{\ displaystyle \ mathrm {S_ {N}} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 \ mathrm {N}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left [ {\ frac {2} {\ mathrm {N}}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {1} {\ mathrm {N}}} \ right) + {\ frac {2} {\ mathrm { N}}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {3} {\ mathrm {N}}} \ right) + \ cdots + {\ frac {2} {\ mathrm {N}}} \ operatorname { sinc} \ left ({\ frac {(\ mathrm {N} -1)} {\ mathrm {N}}} \ right) \ right].}

Mas o termo certo é simplesmente uma aproximação da integral por um método retângulo de não 2 / N . Como o seno cardinal é contínuo, a soma converge para o valor exato da integral para N → ∞: π2∫01sinc⁡(x)dx{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \, \ mathrm {d} x}

limNÃO→+∞SNÃOf(2π2NÃO)=π2∫01sinc⁡(x)dx=12∫0πpecado⁡(t)tdt=π4+π2×0,089490...{\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {N} \ to + \ infty} \ mathrm {S_ {N}} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 \ mathrm {N}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (t)} {t}} \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} {2 }} \ times 0 {,} 089 \, 490 \ pontos}

Da mesma forma, temos:

limNÃO→+∞SNÃOf(-2π2NÃO)=-π2∫01sinc⁡(x)dx=-π4-π2×0,089490...{\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {N} \ to + \ infty} \ mathrm {S_ {N}} f \ left (- {\ frac {2 \ pi} {2 \ mathrm {N}}} \ right ) = - {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ mathrm {d} x = - {\ frac {\ pi} {4} } - {\ frac {\ pi} {2}} \ times 0 {,} 089 \, 490 \ dots}

Quantidade

∫0πpecado⁡ttdt=π2+π×0,089392⋯=1.851937052...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin t} {t}} \ mathrm {d} t = {\ frac {\ pi} {2}} + \ pi \ times 0 {,} 089 \, 392 \ pontos = 1 {,} 851 \, 937 \, 052 \ pontos}

é chamada de constante de Gibbs-Wilbraham. É o aparecimento dessa constante que explica a elevação do sinal próximo à descontinuidade.

Links com causalidade

Os dispositivos de medição se comportam como filtros passa-baixa: eles são incapazes de reagir a sinais de frequência muito alta. Suponhamos que medimos um degrau de tensão  : ele será deformado e apresentará oscilações antes e depois da descontinuidade do sinal real.

Porém, isso significaria que as oscilações ocorreram antes da medição do degrau, o que quebraria a causalidade . Na realidade, isso pode ter duas interpretações: ou os dispositivos não são filtros perfeitos (o que é compreensível), ou a etapa de tensão não pode ser perfeitamente descontínua.

Se considerarmos qualquer uma dessas correções, a transformada de Fourier é simplesmente deslocada: as oscilações começam quando o passo é enviado , o passo sendo observado apenas após um pequeno atraso.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Fenômeno de Gibbs  " ( veja a lista de autores ) .

1. (em) H. Wilbraham, "  tem alguma função periódica  " , Cambridge Dublin Math. J. , vol.  3,1848, p.  198-201.
2. (em) JW Gibbs, "  Fourier Series  " , Nature , vol.  59,1898, p.  200e 1899, p.  606 .
3. (em) Mr. Bôcher, "  Introdução à teoria das séries de Fourier  " , Ann. Matemática. , vol.  7,1906, p.  81-152.

Veja também

Artigos relacionados

• Fenômeno de Runge
• Windowing
• Processamento de sinal
• Soma de Fejér
• Aproximação Sigma

Bibliografia

• (en) Dave Benson, Music: A Mathematical Offers , Cambridge University Press ,2006, 411  p. ( ISBN  978-0-521-85387-3 , leitura online ) , p.  53
• (em) Antoni Zygmund , série Trigonometrical , Dover Publications , 1955

Link externo

(pt) Eric W. Weisstein , “  Wilbraham-Gibbs Constant  ” , no MathWorld

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