Polinômio de Legendre associado
Em matemática , um polinômio de Legendre associado , observado é uma solução particular da equação geral de Legendre:
Pℓm(x){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9b97f26a184f3993b6af4811375ec8b60e757b)
(1-x2)y″-2xy′+(ℓ(ℓ+1)-m21-x2)y=0,{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ right) \, y = 0, \,}![{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ right) \, y = 0, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2450d950cace165dd4e2fd9302fb7b92260511e5)
que tem uma solução regular apenas no intervalo [-1,1] e se , com e m inteiros. Reduz à equação diferencial de Legendre se m = 0.
-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}
ℓ{\ displaystyle \ ell}![{\ displaystyle \ ell}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e)
Esta função é um polinômio se m for um número inteiro par . No entanto, o nome “polinomial”, embora incorreto, ainda é mantido no caso em que m é um número inteiro ímpar .
A equação geral de Legendre é encontrada em particular na física , por exemplo, na resolução da equação de Helmholtz em coordenadas esféricas . Em particular, os polinômios de Legendre associados desempenham um papel importante na definição de harmônicos esféricos .
Definições e expressões gerais
Equação geral de Legendre em física
A equação geral de Legendre aparece naturalmente na resolução da equação tridimensional de Helmholtz em coordenadas esféricas (denotada , com , com constante, pelo método de separação de variáveis . Mais precisamente, corresponde à parte angular de acordo com a colatitude deste equação e correspondendo às constantes de separação.
Δ2f+k2f=0{\ displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
f=f(r→)=f(r,θ,ϕ){\ displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ displaystyle k ^ {2}}
θ{\ displaystyle \ theta}
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}
m2{\ displaystyle m ^ {2}}![m ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d80831ded84ee5d9e1708e304c8868aa246409)
De fato, neste caso, a equação angular correspondente está na forma:
1pecadoθddθ(pecadoθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2pecado2θ)Θ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ direita) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ direita) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6add33aa62ccf2dbd8fb8c18232f8509591eb17a)
Demonstração
Em coordenadas esféricas, a equação de Helmholtz é escrita:
1r2pecadoθ[pecadoθ∂∂r(r2∂f∂r)+∂∂θ(pecadoθ∂f∂θ)+1pecadoθ∂2f∂ϕ2]+k2f=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} { \ frac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ direita) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ esquerda (\ sin \ theta {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] + k ^ { 2} f = 0,}![{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} { \ frac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ direita) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ esquerda (\ sin \ theta {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] + k ^ { 2} f = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df97ee688a8c59c7f4af1006d924888fe179b0ac)
se agora se busca uma solução separando as variáveis, então , o que acontecerá após a substituição e divisão por :
f(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}
R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}![{\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3693f94724618aa2891b020cd5d00f93b5a600cc)
1R(r)r2ddr(r2dRdr)+1Θ(θ)r2pecadoθddθ(pecadoθdΘdθ)+1Φ(ϕ)r2pecado2θd2Φdϕ2=-k2.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ direita) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ direita) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753980825a37cfcef89f974c916c41baadf68427)
Uma vez que esta equação deve ser verdadeira para todos os valores de , e é uma constante, cada um dos três primeiros termos deve ser igual a uma constante. Portanto, se perguntarmos:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ displaystyle k ^ {2}}![k ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6423cd00e3559de92c4bc497066ff1b12bbfc3)
1Φ(ϕ)d2Φdϕ2=-m2,{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e38fe11ad4a4e6a4c3db75919eb27e33c70be4c)
a equação é reorganizada na forma:
1R(r)ddr(r2dRdr)+k2r2=-1Θ(θ)pecadoθddθ(pecadoθdΘdθ)+m2pecado2θ.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6801df175e355ef5a125472859b13be39bce15a6)
Sendo esta equação na forma de variáveis separadas, cada membro deve ser igual à mesma constante observada , e a parte angular de acordo com é, portanto, colocada na forma:
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}
Θ(θ){\ displaystyle \ Theta (\ theta)}![\ Theta (\ theta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2008d1525a647ca07a9c839d34c5ef0ca17db20d)
1pecadoθddθ(pecadoθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2pecado2θ)Θ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ direita) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ direita) + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \ Theta (\ theta) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c57ea3e2949d0c7d82bf27e6e43fb93d86bc9f)
A equação radial corresponde à equação diferencial das funções esféricas de Bessel .
A mudança de variável permite então colocar esta equação na forma da equação geral de Legendre.
x=porqueθ{\ displaystyle x = \ cos \ theta}![{\ displaystyle x = \ cos \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c5f4024d72473459e4112d726b2eab01cefb44)
Expressão em função de polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre associados são deduzidos dos polinômios de Legendre pela fórmula:
Pℓ(x){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}![P _ {{\ ell}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a16bd480e0c257a118bc3a5a33156897b24d3f8)
Pℓm(x)=(-1)m (1-x2)m/2 dmdxm(Pℓ(x)).{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right).}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f4c3e7182d75583fdb6c08f60bd4e5569c42c4)
.
Assumindo 0 ≤ m ≤ ℓ, com m , ℓ inteiros, os polinômios satisfazem a seguinte condição de ortogonalidade para m fixo:
∫-11PkmPℓmdx=2(ℓ+m)!(2ℓ+1)(ℓ-m)! δk,ℓ,{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724bb987042145b06869e87ccf39b9c0fbdcd2f7)
onde está o símbolo Kronecker .
δk,ℓ{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}![{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491bf71e86812473236e2a85b197221ad9b5815)
Eles também seguem a seguinte condição de ortogonalidade em ℓ fixo:
∫-11Pℓm(x)Pℓnão(x)1-x2dx={0E se m≠não(ℓ+m)!m(ℓ-m)!E se m=não≠0∞E se m=não=0.{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {casos}}.}![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {casos}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a82a20482881e8a4dd32edcf33e64594faeb6a)
Link com harmônicos esféricos
Os harmônicos esféricos ocorrem em particular na física quântica , onde eles correspondem às autofunções do momento angular orbital , ou seja, aquelas comuns aos operadores (quadrado do momento angular) e de seu componente , com as equações de autovalores:
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
eu^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
eu^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}![{\ hat {L}} _ {z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890c759326e0b9e75b24931dcf2a53862ab309c)
eu^2Yℓ,m(θ,ϕ)=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a905dc487134a84d0dfc32a525c4de42c2a7289)
e
eu^zYℓ,m(θ,ϕ)=ℏmYℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffce6dd7becbe073c0fb8bf5a1de57e3d8e8cf82)
.
Em coordenadas esféricas, esses operadores são colocados na forma:
eu^z=-euℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}},}
eu^2=-ℏ2(1pecadoθ∂∂θ[pecadoθ∂∂θ]+1pecado2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right).}
Consequentemente, corresponde à parte angular do Laplaciano, e de fato as equações dos autovalores são idênticas às obtidas ao resolver a equação de Helmholtz. Portanto, os harmônicos esféricos são proporcionais a e , e após a normalização eles tomam a forma:
eu^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Pℓm(porqueθ){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}
eeumϕ{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}![{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0bdecfc528c957dfa826d9254a72f96524cebc)
Yℓm(θ,ϕ)=(-1)m(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(porqueθ)eeumϕ.{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}
Tabelas dos primeiros polinômios associados de Legendre
Os primeiros polinômios associados de Legendre são:
Pℓm(x){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
m{\ displaystyle m}
|
---|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
WL
|
WL
|
WL
|
WL
|
1
|
x{\ displaystyle x}
|
-(1-x2)1/2{\ displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
WL
|
WL
|
WL
|
2
|
12(3x2-1){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}
|
-3x(1-x2)1/2{\ displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
3(1-x2){\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}
|
WL
|
WL
|
3
|
12(5x3-3x){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}
|
-32(5x2-1)(1-x2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
15x(1-x2){\ displaystyle 15x (1-x ^ {2})}
|
-15(1-x2)3/2{\ displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
WL
|
4
|
18(35x4-30x2+3){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}
|
-52(7x3-3x)(1-x2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
152(7x2-1)(1-x2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}
|
-105x(1-x2)3/2{\ displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
105(1-x2)2{\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}
|
Para valores negativos de m, é suficiente usar a relação:
Pℓ-m=(-1)m(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm,{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489e85258626f7e3c8386c7210d1cae739077505)
que é deduzido diretamente da fórmula dada acima.
Notas e referências
Notas
-
Esta equação implica que temos alguma forma , mas como necessariamente não tem valor no intervalo, m deve ser um número inteiro relativo .Φ(ϕ){\ displaystyle \ Phi (\ phi)}
Φ(ϕ)=VSexp(eumϕ), com VS∈VS{\ displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {com}} C \ in \ mathbb {C}}
ϕ(ϕ){\ displaystyle \ phi (\ phi)}
[0,2π[{\ displaystyle [0,2 \ pi [}
-
O fator é na verdade um fator de fase, dito de Condon-Shortley, omitido por alguns autores(-1)m{\ displaystyle (-1) ^ {m}}
-
Em coordenadas esféricas, portanto, é fácil verificar que o Laplaciano assume a forma . Esta propriedade é usada em particular no estudo quântico do átomo de hidrogênio : o Laplaciano intervindo no termo de energia cinética e o potencial sendo invariante por simetria esférica, o hamiltoniano do sistema então comuta com e . A equação de Schrödinger para o elétron pode então ser resolvida separando as variáveis e a solução é dada como o produto de uma função radial e um harmônico esférico .Δ=1r2∂∂r(r2∂f∂r)-eu^2ℏ2r2{\ displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ tfrac {\ partial f} { \ parcial r}} \ direita) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}
eu^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
eu^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Referências
-
Ver em particular Arfken, Mathematical Methods for Physicists , Seventh Edition, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">