Polinômio mínimo (teoria dos campos)

Em teoria de campo , o polinômio mínimo sobre um campo comutativo K de um elemento algébrico de uma extensão de K , é o polinômio unitário de grau mínimo entre os polinômios com coeficientes no campo base K que cancelam o elemento. Ele divide todos esses polinômios. É sempre um polinômio irredutível . No caso de uma extensão do campo dos racionais (em particular de um campo de números ), falamos de um número algébrico e, portanto, de um polinômio mínimo de um número algébrico .

É uma noção elementar útil tanto na teoria clássica de Galois quanto na teoria algébrica dos números . Assim, em uma extensão do corpo K onde o polinômio mínimo de a é dividido , os elementos conjugados de a são todos as raízes de seu polinômio mínimo, e os automorfismos do corpo de tal extensão (que formam o grupo de Galois de celulas) deixando K estável necessariamente associado a um de seus elementos conjugados.

Uma extensão de K é também uma álgebra associativa em K , e é possível definir de forma mais geral, o polinômio mínimo neste quadro, que abrange também álgebra linear e endomorphism de um espaço vetorial sobre K . O polinômio mínimo de um elemento algébrico a sobre K é também, do ponto de vista da álgebra linear , o polinômio mínimo do endomorfismo $x \mapsto ax$ da extensão vista como espaço vetorial K. Outras ferramentas da teoria de campo, como o traço , a norma , a característica polinomial de um elemento algébrico, podem ser definidas a partir desse endomorfismo e manter as mesmas ligações com o polinômio mínimo que seus correspondentes na álgebra linear.

Definições

Aqui K denota um corpo e L uma extensão de K , isto é, um corpo contendo K .

Um elemento tem algébrica de L sobre K é um elemento de L raiz de um polinomiais coeficientes diferentes de zero em K . Dados dois polinômios que têm por raiz, o resto pela divisão euclidiana de um pelo outro ainda tem que raiz. Consequentemente, os polinômios de grau mínimo que têm como raiz a são proporcionais, e tal polinômio divide todos os polinômios que cancelam a .

Tal polinômio também é irredutível, porque se o produto de dois polinômios (com coeficientes em um campo) desaparecer sobre a , um dos dois desaparecerá (um campo em particular é integral ). Temos unicidade ao escolher este polinômio unitário, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é igual a 1.

Podemos, portanto, definir o polinômio mínimo de um , elemento algébrico de L sobre K :

o polinômio mínimo de a sobre K é o polinômio unitário de menor grau com coeficientes em K admitindo a para raiz ;
o polinômio mínimo de a em K é também o único polinômio de unidade irredutível com coeficientes em K que admite a para raiz;
o polinômio mínimo de a sobre K é também o único polinômio unitário com coeficientes em K que admite a por raiz e que divide todos os polinômios que têm por raiz a .

Em outras palavras, o anel K [X] dos polinômios sobre K é um anel euclidiano e, portanto, principal . O ideal dos polinômios que têm como raiz a é principal e, portanto:

o polinómio mínima de um sobre K é o polinómio unidade única, que gera o ideal de polinómios de K [X], que anulam um .

Como a é algébrico, K ( a ), o menor subcampo de L contendo K e a , é o anel K [ a ], e é isomórfico ao corpo de fratura K [ X ] / ( P ) do polinômio P mínimo de a , isto é, a estrutura de K ( a ) é determinada pelo polinômio mínimo de a . O grau de a , que é o grau da extensão K ( a ) de K , é também o grau do polinômio mínimo de a .

Exemplos

As letras ℂ, ℝ e ℚ denotam respectivamente os campos dos complexos , reais e racionais .

Qualquer elemento k do subcampo K é algébrico sobre K , com polinômio mínimo X - k .
Qualquer número não real complexo um + $i$ b (com um e b real e b diferente de zero) é algébrica sobre ℝ, com o mínimo de polinomial X 2 - 2 um X + um 2 + b 2 .
A unidade imaginária $i$ tem o mesmo polinômio mínimo sobre ℝ e ℚ, ou seja, X 2 + 1.
A raiz quadrada de dois , √ 2 , é um número algébrico com um polinômio mínimo X 2 - 2 sobre ℚ (diferente de seu polinômio mínimo sobre ℝ que é X - √ 2 ).
O número algébrico √ 2 + √ 3 tem como polinômio mínimo (em ℚ) X 4 - 10 X 2 + 1 = ( X - √ 2 - √ 3 ) ( X - √ 2 + √ 3 ) ( X + √ 2 + √ 3 ) ( X + √ 2 - √ 3 ) (a minimalidade decorre do fato de que o produto de dois de seus fatores não está em ℚ [ X ], as raízes do polinômio sendo opostas 2 por 2).
Os números transcendentais (não algébricos) como $π$ ( teorema de Lindemann ) não possuem polinômio mínimo sobre ℚ.
Se o mônico polinómio P é irredutível sobre K , existe o polinómio mínima do elemento da sua elevação corpo K [ X ] / ( P ), que é a classe de X módulo P .
Por exemplo, ? 2 sendo o corpo finito com 2 elementos, o polinômio X 2 + X + 1 de ? 2 [ X ] é irredutível; denotando ? 4 seu corpo de fratura (o corpo finito com 4 elementos) $ej$ a classe de X módulo desse polinômio, então X 2 + X + 1 é o polinômio mínimo de $j$ , e também de $j$ +1.
O n-ésimo polinômio ciclotômico Φ n é unitário e irredutível em ℚ [ X ]: é o polinômio mínimo sobre ℚ de cada uma de suas raízes, as n- ésimas raízes primitivas da unidade e 2i k π / n , k primeiro com n .
Um inteiro algébrico é por definição um número algébrico cujo polinômio mínimo tem coeficientes inteiros.

Teoria dos corpos

Propriedades elementares

Aqui K é um campo, L uma extensão de K e m um elemento de L .

No artigo “ Corpo fraturado ”, ao utilizar que o anel K [ X ] é euclidiano e portanto principal , provamos:

Seja P um polinômio irredutível e unitário de K [ X ], então existe uma extensão de K, de grau igual ao grau de P, contendo um elemento do qual P é o polinômio mínimo.

As propriedades a seguir são demonstradas no artigo detalhado.

Se m é algébrico sobre K e seu polinômio mínimo é de grau n, então qualquer extensão contendo m é de grau infinito ou múltiplo de ne o menor é de grau n.
Esta propriedade permite, por exemplo, demonstrar que a trissecção do ângulo ou a duplicação do cubo é geralmente impossível com a régua e o compasso (cf. o artigo " Torre de extensões quadráticas ").
Se m é algébrico sobre uma extensão finita de K, então m é algébrico sobre K.
Se m 1 e m 2 são K algébricos, então m 1 m 2 e m 1 + m 2 também são, e m 1 -1 também é se m 1 for diferente de zero.

Extensão separável

Um elemento algébrico sobre K é dito separável (sobre K ) se todas as raízes de seu polinômio mínimo sobre K, em uma extensão onde esse polinômio é dividido , são simples .

Uma extensão algébrica de K é considerada separável se todos os seus elementos o forem. Este é sempre o caso se K for perfeito , por exemplo, se K for finito ou de característica zero.

Extensões separáveis têm propriedades importantes, como o teorema do elemento primitivo :

Qualquer extensão finita separável é simples ,

quer dizer que contém um elemento que gera a extensão, ou ainda, cujo polinômio mínimo é de grau igual ao grau da extensão.

Ferramentas de álgebra linear

Em todo este parágrafo, assumimos que L é uma extensão finita de K e para qualquer elemento m de L, denotamos por φ m o endomorfismo do espaço vetorial K L que para x associa mx .

O polinômio mínimo de φ m é também o polinômio mínimo de m , pois para qualquer polinômio Q de K [ X ], Q (φ m ) = φ Q ( m ) .

Característica polinomial chamada de m em relação à extensão L de K , o polinômio característico do endomorfismo φ m .

Da mesma forma, por definição, a norma de m em relação à extensão L de K , é o determinante de φ m , e o traço de m em relação à extensão L de K é o traço do endomorfismo φ m .

Mesmo que essas três noções dependam não apenas de m, mas de L (e K ), quando o contexto é claro, estamos simplesmente falando sobre o polinômio característico, a norma e o traço de m .

A seguir, o polinômio mínimo de m é denotado por P m , e seu polinômio característico χ m .

Polinômio característico

Seja ψ m a restrição de φ m a K [ m ], o corpo de fratura P m , polinômio mínimo de m . Se d é o grau de P m , o K- espaço vectorial K [ m ] tem por base (1, m , m 2 , ..., m d - 1 ), e a matriz M K [ m ] de ψ m nesta base é a matriz companheira de P m , cujo polinômio característico é igual a P m .

Ou o outro ( l 1 , ..., L n ) uma base de K [ m ] de espaço vectorial L . Então, a família de m i l j , para i variando de 0 a d - 1 ej de 1 a n , forma uma base do espaço vetorial K L , no qual a matriz M L de φ m é escrita em blocos :

M_ {L} = {\ begin {pmatrix} M _ {{K [m]}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & M _ {{K [m]}} & \ ddots & \ vdots \\ \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & M _ {{K [m]}} \\\ end {pmatrix}}

O polinômio característico χ m de m em relação à extensão L de K é então uma potência do polinômio mínimo P m :

se L é de grau n sobre K [ m ], então:

\ chi _ {m} (X) = {\ Grande (} P_ {m} (X) {\ Grande)} ^ {n}

(obtemos assim o teorema de Cayley-Hamilton neste caso muito particular).

Padrão

A norma de m em relação à extensão L de K é geralmente denotada como N L / K ( m ). Por definição, é um elemento de K , igual ao coeficiente constante do polinômio característico de m até o sinal possivelmente próximo (multiplicado por (-1) n ). É também o produto das raízes de χ m (contadas com suas multiplicidades, e em uma extensão onde χ m é dividido).

Quando φ m é definido na extensão K [ m ], seu polinômio mínimo é o polinômio mínimo de m e, portanto:

a norma de um elemento m com respeito à extensão K [ m ] é o produto das raízes de seu polinômio mínimo .

Dada a expressão do polinômio característico em função do polinômio mínimo acima, temos:

se L é de grau n sobre K [ m ], a norma de m relativa à extensão L de K é igual à norma m relativa à extensão K [ m ] à potência n , portanto ao produto das potências n -ésimos dos elementos conjugados de m .

Vestígio

O traço é de m em relação à extensão L de K é freqüentemente denotado como Tr L / K ( m ). É, como a norma, um elemento de K , oposto ao coeficiente subdominante de χ m que, no caso particular L = K [ m ], nada mais é do que o polinômio mínimo de m .

O mapeamento para que dois elementos um e b de L associa o rastreio de ab é chamado a forma de rastreio. Ele desempenha um papel importante na teoria dos números algébricos , por exemplo, para definir o discriminante.

Análogo do polinômio mínimo para variedades algébricas em anéis fatoriais

Suponha que R é um anel fatorial cujo campo de frações é K , e que X 1 , X 2 , ..., X n são n variáveis independentes.

Se x 1 , x 2 , ..., x n são n elementos tais que o grau de transcendência da extensão K ( x 1 , x 2 , ..., x n ) é igual a n - 1, então o ideal dos polinômios P de R [ X 1 , X 2 , ..., X n ] desaparecendo em ( x 1 , x 2 ,…, x n ) é o principal.

Praticamente, este teorema é traduzido da seguinte forma: se x 1 , x 2 , ..., x n –1 são algebricamente independentes, e se x n é tal que existe um polinômio Q com coeficientes em R satisfazendo Q ( x 1 , ..., X n –1 , x n ) = 0, então existe um certo polinômio P com coeficientes em R , único exceto para a multiplicação por uma unidade de R , desaparecendo em ( x 1 , x 2 , ..., x n ) , e tal que qualquer outro polinômio com coeficientes em R desaparecendo neste ponto é divisível por P em R [ X ].

No caso em que n = 1, o grau de transcendência de x 1 é 0 e obtemos a seguinte proposição:

Se x é um elemento algébrico sobre K , então, até a multiplicação por uma unidade de R , existe um polinômio único P com coeficientes em R tal que qualquer polinômio de R [ X ] desaparecendo em x é divisível por P em R [ X ].

Vemos, além disso, que esse polinômio só pode ser o polinômio mínimo Q de x sobre K , multiplicado pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores dos coeficientes de Q , de modo a torná-lo primitivo .

Notas e referências

Notas

Por exemplo Chambert-Loir 2005 , p. 11
Por exemplo , Samuel , p. 43 para essas definições.
(en) Serge Lang , álgebra , 3 th ed. , p. 384, teorema 2.4.
Esta proposição pode ser demonstrada diretamente usando o lema de Gauss e, finalmente, envolve o primeiro teorema.

Referências

Antoine Chambert-Loir , Body algebra , Éditions de l'École Polytechnique,2005( leia online )
Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]

Galois

Régine e Adrien Douady , teorias de álgebra e Galois [ detalhe das edições ]
(pt) Emil Artin , Galois Theory , Notre Dame Press, Londres, 1971
(pt) Jörg Bewersdorff , Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective , AMS, 2006

Aritmética

CF Gauss ( trad. A.-C.-M. Poullet-Delisle), Pesquisa aritmética [" Disquisitiones arithmeticae "],1801
Pierre Samuel , teoria algébrica dos números [ detalhe da edição ]
Jean-Pierre Serre , curso de Aritmética ,1970[ detalhe das edições ]

Veja também

Artigo relacionado

Polinômio mínimo de valores trigonométricos especiais , um caso especial de polinômio mínimo de um número algébrico

links externos

Galois

O teorema fundamental da teoria de Galois por B. le Stum, Universidade de Rennes 1 , 2001
Um curso DEA sobre a teoria de Galois por A. Kraus, Universidade de Paris VI , 1998
Traço, formas quadráticas e extensões do corpo por Y. Coudene, Universidade de Rennes 1, 2003

Aritmética

Bas Edixhoven e Laurent Moret-Bailly , teoria algébrica dos números, curso de mestrado em matemática , Universidade de Rennes 1,2004( leia online )
Eugène Cahen , “ Sobre a aritmética do campo de todos os números algébricos ”, in Bull. SMF , vol. 56, 1928, pág. 7-17