Matriz companheira
Na álgebra linear , a matriz companheira do polinômio unitário
p(X)=vs0+vs1X+⋯+vsnão-1Xnão-1+Xnão{\ displaystyle p (X) = c_ {0} + c_ {1} X + \ dots + c_ {n-1} X ^ {n-1} + X ^ {n} \,}é a seguinte matriz quadrada:
VS(p)=(00...0-vs010...0-vs101...0-vs2⋮⋮⋮⋮⋮00...1-vsnão-1),{\ displaystyle C (p) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & -c_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \\\ end {pmatrix }},}mas existem outras convenções:
(-vsnão-1-vsnão-2...-vs1-vs010...0001...00⋮⋮⋮⋮⋮00...10).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -c_ {n-1} & - c_ {n-2} & \ dots & -c_ {1} & - c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & 0 \\\ end {pmatrix}}. }O polinômio característico de C ( p ) é igual ap (ou (–1) n p de acordo com a convenção escolhida para o polinômio característico); nesse sentido, a matriz C ( p ) é a “companheira” do polinômio p .
Se o polinômio p tem n raízes distintas λ 1 , ..., λ n (os autovalores de C ( p )), então C ( p ) pode ser diagonalizado da seguinte forma:
VVS(p)V-1=diag(λ1,...,λnão){\ displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = {\ mbox {diag}} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}) \,}onde V é a matriz de Vandermonde associada com λ 1 ,…, λ n (inversamente, a matriz companheira só pode ser diagonalizada neste caso, onde dizemos que p é um polinômio dividido com raízes únicas ).
Se A é uma matriz de ordem n cujos coeficientes pertencem a um campo comutativo K , então as seguintes proposições são equivalentes:
-
A é como uma matriz companheira com coeficientes em K ;
- o polinômio mínimo de A é igual ao seu polinômio característico;
- existe um vetor v em K n tal que ( v , Av , A 2 v ,…, A n -1 v ) é uma base de K n .
Nem todas as matrizes quadradas são como uma matriz companheira, mas toda matriz é como uma matriz composta de blocos de matrizes companheiras. Além disso, essas matrizes companheiras podem ser escolhidas de forma que o polinômio característico de cada uma divida o polinômio do seguinte; em seguida, eles são determinados exclusivamente por um . Esta é a forma canônica racional de A . No automático, a forma complementar também é chamada de forma canônica de comandabilidade. Se uma matriz pode se transformar através de uma base em uma matriz na forma de companheira, ela é obrigatoriamente controlável. A forma companheira é particularmente útil quando há uma função de transferência irredutível ou uma equação diferencial. De acordo com os coeficientes, podemos escrever imediatamente a representação do estado, que é uma das formas mais eficientes e precisas de representação de sistemas contínuos ou amostrados.
Notas e referências
-
Saunders Mac Lane e Garrett Birkhoff , Algebra [ detalhe das edições ], voar. 1, pág. 365 .
-
Aviva Szpirglas , Álgebra L3: Curso completo com 400 testes e exercícios corrigidos [ detalhe da edição ], § 11.102.
-
Daniel Guinin e Bernard Joppin, Algebra and Geometry MP , Editions Breal , 2004 ( ISBN 978-2-7495-0388-2 ) , p. 186 .
-
David C. Lay, Linear Algebra: Theory, Exercises and Applications , De Boeck , 2004 ( ISBN 978-2-8041-4408-1 ) , p. 372 .
-
Dany-Jack Mercier, Exercícios para a matemática CAPES ( externa e interna ) e agregação interna , vol. 1, Publibook, 2005 ( ISBN 978-2-7483-0995-9 ) , p. 103 .
-
Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco e Fausto Saleri, Métodos numéricos: algoritmos, análise e aplicações , Springer , 2007 ( ISBN 978-88-470-0495-5 ) , p. 207 .
-
Jacques Rappaz e Marco Picasso, Introdução à análise digital , PPUR , 1998 ( ISBN 978-2-88074-363-5 ) , p. 106 .
-
Veja, por exemplo, este exercício corrigido na Wikiversidade .
Veja também
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">