Imagem recíproca
Em matemática , a imagem recíproca - ou o preimage - de uma parte B de um conjunto Y por um mapa f : X → Y é o subconjunto de X formada por os elementos cuja imagem por f pertence a B : . Portanto, é caracterizado por:
f-1(B)={x∈X∣f(x)∈B}{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ in X \ mid f (x) \ in B \}}
x∈f-1(B)⇔f(x)∈B{\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ in B}
.
Exemplos
- A imagem inversa de um singleton por uma função f é o conjunto de antecedentes de y por f .f-1({y}){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}
{y}{\ displaystyle \ {y \}}
- Considere o mapa f : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } definido por f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d . A imagem inversa de { a , b } por f é f −1 ({ a , b }) = {1}.
O aplicativo de "imagem recíproca"
Com esta definição, f -1 é a "imagem recíproca (por f )" mapa, cujo conjunto definição é o conjunto de peças de Y e cuja extremidade conjunto é o conjunto de peças de X .
Atenção : Quando f é um bijeç~ao , não confundir esta aplicação para as peças com a bijeç~ao inversa de f , também denotado f -1 de Y em X . A imagem recíproca por f é identificada com a imagem direta por esta bijeção recíproca f -1 . Para evitar qualquer confusão, Birkhoff e Mac Lane falam de um “mapa de conjunto” que eles denotam por f * em vez de f -1 .
Propriedades elementares
- Para todas as partes e de :
B1{\ displaystyle B_ {1}}
B2{\ displaystyle B_ {2}}
Y{\ displaystyle Y}
f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cup B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∖B2)=f-1(B1)∖f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}
.
- Para qualquer parte de , .
B{\ displaystyle B}
Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B∩eum(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}
- Em particular, se é sobrejetivo então .
f{\ displaystyle f}
f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Podemos até provar que é sobrejetivo se, e somente se, para qualquer parte de nós .f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
- Para qualquer parte de , .
NO{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}
NO⊂f-1(f(NO)){\ displaystyle A \ subset f ^ {- 1} (f (A))}
A inclusão na outra direção geralmente é falsa se não for injetiva .f{\ displaystyle f}
Podemos até provar que é injetivo se e somente se para qualquer parte de nós .f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}f-1(f(NO))=NO{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
- Para qualquer família não vazia de partes de :
(Beu)eu∈eu{\ displaystyle \ left (B_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
Y{\ displaystyle Y}
f-1(⋂eu∈euBeu)=⋂eu∈euf-1(Beu){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
;
f-1(⋃eu∈euBeu)=⋃eu∈euf-1(Beu){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
.
- Considerando-se uma aplicação de mais , então a imagem inversa de uma porção do composto é:
g:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}
VS{\ displaystyle C}
Z{\ displaystyle Z}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
(g∘f)-1(VS)=f-1(g-1(VS)).{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} \ left (C \ right) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}
Notas e referências
-
Saunders Mac Lane e Garrett Birkhoff , Algebra [ detalhe das edições ], voar. 1, pág. 8 .
-
Para uma demonstração, consulte por exemplo a resposta ao exercício correspondente na Wikiversidade .
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