Imagem direta
A imagem direta de um subconjunto A de X por um mapa f : X
→ Y é o subconjunto de Y formado pelos elementos que têm, por f , pelo menos um antecedente pertencente a A :
f(NO)={f(x)∣x∈NO}={y∈Y∣∃no∈NO,y=f(no)}.{\ displaystyle f (A) = \ {f (x) \ mid x \ in A \} = \ {y \ in Y \ mid \ existe a \ in A, y = f (a) \}.}
Exemplos
- Em particular, definimos a imagem de um aplicativo f definido em X :eum(f)=f(X).{\ displaystyle \ mathrm {Im} (f) = f (X).}
- Devemos ter cuidado para não confundir a imagem direta por f de uma parte A de X , com a imagem por f de um elemento x de X , ou com a imagem do mapa f .
- Considere o mapa f a partir de {1, 2, 3} {em um , b , c , d } definida por F (1) = um , f (2) = C e F (3) = d . A imagem direta de {2, 3} por f é f ({2, 3}) = { c , d } enquanto a imagem de f é { a , c , d }.
Propriedades elementares
- Para todas as partes , e para ,NO1{\ displaystyle A_ {1}}
NO2{\ displaystyle A_ {2}}
X{\ displaystyle X}
f(NO1∪NO2)=f(NO1)∪f(NO2).{\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cup A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).}
De forma mais geral, para qualquer família de partes de ,(NOeu)eu∈eu{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
X{\ displaystyle X}f(⋃eu∈euNOeu)=⋃eu∈euf(NOeu).{\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f (A_ {i}).}
- Para todas as partes , e para ,NO1{\ displaystyle A_ {1}}NO2{\ displaystyle A_ {2}}X{\ displaystyle X}f(NO1∩NO2)⊂f(NO1)∩f(NO2){\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) \ subconjunto f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}
e essa inclusão pode ser estrita, a menos que seja injetiva . Podemos até provar que é injetivo se e somente se para todas as partes e de , temos .f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}NO1{\ displaystyle A_ {1}}NO2{\ displaystyle A_ {2}}X{\ displaystyle X}f(NO1∩NO2)=f(NO1)∩f(NO2){\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}
De forma mais geral, para qualquer família que não tenha partes de ,(NOeu)eu∈eu{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}X{\ displaystyle X}
f(⋂eu∈euNOeu)⊂⋂eu∈euf(NOeu){\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ subset \ bigcap _ {i \ in I} f (A_ {i})}
.
- Qualquer parte B de Y contém a imagem direta de sua imagem recíproca f −1 ( B ); mais precisamente :f(f-1(B))=B∩eum(f).{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f).}
Em particular, se é sobrejetivo então .f{\ displaystyle f}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Podemos até provar que é sobrejetivo se, e somente se, para qualquer parte de nós .
f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}
Y{\ displaystyle Y}
f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
(Uma demonstração é dada no artigo
Surjection .)
- Qualquer parte A de X está contida na imagem recíproca de sua imagem direta:NO⊂f-1(f(NO)){\ displaystyle A \ subset f ^ {- 1} (f (A))}
e essa inclusão pode ser estrita, a menos que seja injetiva. Podemos até provar que é injetivo se, e somente se, para todas as partes de , temos .f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}NO{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}NO=f-1(f(NO)){\ displaystyle A = f ^ {- 1} (f (A))}
Notas e referências
-
Para evitar qualquer confusão, Saunders Mac Lane e Garrett Birkhoff , Algebra [ detalhe das edições ], voar. 1, pág. 8 , falam de um mapeamento conjunto , que eles denotam por f * .
-
Para uma demonstração, veja por exemplo a resposta ao exercício correspondente na Wikiversidade .
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