O problema de Weber é um dos problemas mais famosos da teoria da localização . Ele generaliza o problema de Fermat e ele próprio foi generalizado pelo problema da atração-repulsão.
| Problema de Fermat | Problema de weber | O problema de atração-repulsão | |
|---|---|---|---|
| Formulado por | Fermat (antes de 1640) | Simpson (1750) | Tellier (1985) |
| Solução geométrica do problema do triângulo | Torricelli (1645) | Simpson (1750) | Tellier (2013) |
| Solução numérica direta do problema do triângulo | Tellier (1972) | Tellier (1972) | Tellier (1985) |
| Solução numérica iterativa do problema | Kuhn e Kuenne (1962) | Kuhn e Kuenne (1962) | Chen, Hansen, Jaumard e Tuy (1992) |
No caso do triângulo, o problema de Fermat consiste em localizar um ponto D em relação aos três pontos A, B e C de forma que a soma das distâncias entre D e cada um dos outros três pontos seja minimizada. Esse problema foi formulado por Fermat antes de 1640 e pode ser visto como o verdadeiro início tanto da teoria da localização quanto da economia do espaço . Torricelli encontrou uma solução geométrica para esse problema por volta de 1645, mas, mais de 325 anos depois, esse problema ainda não tinha uma solução numérica direta. Kuhn e Kuenne encontraram uma solução iterativa para o problema geral de Fermat em 1962 e, em 1972, Luc-Normand Tellier encontrou uma solução numérica direta para o problema do triângulo de Fermat, sendo esta solução trigonométrica. A solução de Kuhn e Kuenne é válida para os casos do triângulo e de polígonos de mais de três lados, enquanto a solução de Tellier é válida apenas para o triângulo; isso, pelas razões explicadas abaixo.
Já o problema de Weber consiste, no caso do triângulo, em localizar um ponto D em relação a três pontos A, B e C de forma a minimizar a soma dos custos de transporte entre D e cada um dos outros três pontos. Este problema constitui uma generalização do problema de Fermat pelo fato de levar em consideração, como veremos adiante, forças de atração iguais e desiguais, enquanto o problema de Fermat trata apenas do caso em que todas as forças de atração do sistema são iguais. . O problema do triângulo "Weber" foi formulado e resolvido pela primeira vez por Thomas Simpson em 1750, mas recebeu o nome de Alfred Weber , que popularizou 1909. A solução iterativa de Kuhn e Kuenne encontrada em 1962 e a solução direta de Tellier encontrada em 1972 se aplica tanto ao problema do triângulo de Weber quanto ao do triângulo de Fermat, a solução de Kuhn e Kuenne também sendo válida para o caso de polígonos com mais de três lados.
Em sua versão mais simples, o problema de atração-repulsão consiste em localizar um ponto D em relação a três pontos A 1 , A 2 e R de forma que as forças de atração exercidas pelos pontos de atração A 1 e A 2 , e a força de repulsão exercida pelo ponto de repulsão R se anula mutuamente, o que caracteriza a localização ótima do ponto D. Esse problema constitui uma generalização do problema de Fermat e de Weber. Foi formulado e resolvido pela primeira vez, no caso do triângulo, em 1985 por Tellier. Em 1992, Chen, Hansen, Jaumard e Tuy encontraram uma solução iterativa do problema de atração-repulsão para o caso de polígonos com mais de três lados.
A solução geométrica de Torricelli para o problema do triângulo de Fermat deriva de duas observações:
A partir da primeira observação, podemos comprovar que no ótimo, os ângulos entre as linhas AD, BD e CD devem ser necessariamente iguais a 360 ° / 3 = 120 °. Torricelli tirou desta conclusão que:
A solução de Simpson para o problema "Weber" segue diretamente da solução de Torricelli para o problema de Fermat. Simpson e Weber destacaram que, quando se trata de minimizar o custo total de transporte, o benefício de se aproximar de um dos pontos de atração A, B ou C depende do que está sendo transportado de ou para esses pontos e dos custos de transporte aplicável lá. Como resultado, o benefício de chegar uma milha mais perto de A, B ou C não é o mesmo. Varia. Além disso, os ângulos ∠ADB, ∠ADC e ∠BDC não precisam mais ser, cada um, de 120 °.
Simpson entendeu que, assim como no caso do problema do triângulo de Fermat, os triângulos construídos ABE, ACF e BCG eram equiláteros porque as três forças atrativas eram iguais, no caso do problema do triângulo de Weber, os triângulos construídos ABE, ACF e O BCG tinha que ser proporcional às várias forças de atração do sistema de localização.
A solução de Simpson é essa:
Será entendido que um terceiro triângulo construído proporcional ao triângulo das forças de atração pode ser construído do lado AC e que o círculo circunscrito desenhado a partir desse triângulo construído também cruza os outros dois círculos circunscritos no ponto D.
Solução geométrica do problema de atração-repulsãoLuc-Normand Tellier encontrou uma solução geométrica para o problema da atração-repulsão triangular. Esta solução difere significativamente das soluções de Torricelli e Simpson. Enquanto, nestes dois últimos casos, os triângulos das forças foram construídos fora do triângulo de localização ABC, aqui dois triângulos construídos são sobrepostos no triângulo de localização A 1 A 2 R (onde A 1 e A 2 são dois pontos de atração e R é um ponto de repulsão).
A solução é caracterizada pelo fato de que:
Obviamente, esta solução só é aplicável se nenhuma das três forças for dominante (uma força é dominante se sua "magnitude" for maior que a soma das magnitudes das outras duas forças) e se os ângulos forem compatíveis. De fato, em certos casos, os ângulos do problema podem ser incompatíveis, mesmo que nenhuma força seja dominante; então, a localização ideal é o ponto que exerce a maior força de atração.
Solução trigonométrica dos problemas dos triângulos de Fermat e WeberMais de 332 anos separam a primeira formulação do problema do triângulo de Fermat e a descoberta de uma solução numérica não iterativa para esse problema. Isso é tanto mais surpreendente quanto, durante todo esse tempo, ou quase, esse problema teve solução geométrica. Um exame de dois cenários nos permite entender por que isso aconteceu. No caso clássico, quando a solução ótima foi encontrada, seis ângulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 e ∠6 caracterizam os problemas de Fermat e Weber, sendo esses ângulos aqueles formados pelos três lados do triângulo de localização e os três vetores apontando para os três vértices deste triângulo. Ao examinar este caso clássico, podemos facilmente escrever as seguintes seis equações compreendendo seis incógnitas (ou seja, os ângulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 e ∠6) e seis valores conhecidos (ou seja, os três ângulos ∠A, ∠B e ∠C do triângulo de localização, ângulos que são dados, e os três ângulos ∠α A , ∠α B e ∠α C formados pelos três vetores orientados para os pontos de atração A, B e C cujos os valores dependem apenas da magnitude relativa das três forças de atração puxando em direção aos pontos de atração A, B e C, as três forças de atração também sendo dadas):
∠1 + ∠2 = ∠C;
∠3 + ∠4 = ∠A;
∠5 + ∠6 = ∠B;
∠1 + ∠6 + ∠α A = 180 °;
∠2 + ∠3 + ∠α B = 180 °;
∠4 + ∠5 + ∠α C = 180 °.
Infelizmente, este sistema de seis equações compreendendo seis incógnitas é indeterminado, o que constituiu um grande obstáculo na busca por uma solução numérica direta. O segundo caso explica porque as equações deste sistema são redundantes. Este caso corresponde à situação em que os três vetores não têm uma origem comum. Observamos em tal caso que as seis equações que escrevemos ainda são válidas, enquanto o segundo caso difere do primeiro porque, no segundo caso, a localização ótima P desapareceu devido ao aparecimento de um "buraco" dentro do triângulo . Na verdade, como Tellier demonstrou, esse buraco triangular tem exatamente as mesmas proporções dos triângulos de força construídos na solução geométrica de Simpson.
Tendo notado que a possível existência deste buraco triangular explica a redundância das equações do sistema escritas acima, é encontrar uma solução para adicionar a este sistema um sétimo requisito segundo o qual não deve haver tal buraco triangular dentro do triângulo . Em outras palavras, os pontos de origem dos três vetores que apontam para os vértices do triângulo de localização devem coincidir.
Em suma, a solução trigonométrica dos problemas dos triângulos de Fermat e Weber envolve três etapas.
Luc-Normand Tellier estendeu o problema de Fermat-Weber ao caso das forças de repulsão. Suponha um triângulo A 1 A 2 R envolvendo duas forças de atração A1 w e A2 w e uma força de repulsão R w. Neste caso, como no caso anterior, é concebível que os pontos de origem dos três vetores não coincidam, o que coloca o mesmo problema de antes. A solução trigonométrica para este problema envolve as seguintes etapas:
Quando o número de forças excede três, não é mais possível determinar os ângulos que separam as forças sem levar em conta a geometria do polígono de localização. Os métodos geométricos e trigonométricos são então inaplicáveis. Nesse caso, métodos de otimização iterativa devem ser usados. Kuhn e Kuenne definiram um que permite resolver os problemas de Fermat e os problemas de Weber envolvendo mais de três forças atrativas, mas que não pode ser aplicado ao caso de problemas de atração-repulsão. Neste último caso, se o número de forças ultrapassar o número de três, é necessário recorrer ao algoritmo desenvolvido por Chen, Hansen, Jaumard e Tuy.
No espaço econômico concreto, as forças de repulsão são onipresentes. Os valores das terras estão particularmente associados a ele, de tal forma que a maior parte da teoria dos valores das terras, tanto urbanas quanto rurais, pode ser resumida como segue.
Num espaço onde existe apenas um ponto de atracção (seja o centro de uma cidade ou um mercado de terrenos agrícolas) e onde todos os agentes económicos (produtores ou consumidores) estão sujeitos à força de atracção deste ponto, a competição entre os Vários licitantes que procuram localizar-se no centro dão origem, naturalmente, a valores fundiários que transformam o ponto de atração único do sistema em um ponto de repulsão do ponto de vista dos valores fundiários. Esse surgimento de forças repulsivas permite a obtenção de um equilíbrio espaço-econômico caracterizado pelo fato de que, no ótimo, cada agente econômico estará localizado onde a força de atração e a força de repulsão exercidas sobre eles pelo centro se anulam. .
A formulação do problema da atração-repulsão precedeu o surgimento da Nova Economia Geográfica , uma vasta corrente de pesquisa que se desenvolveu na década de 1990 e em 2008, que rendeu a Paul Krugman o “ Prêmio Nobel de Economia ”. Ottaviano e Thisse vêem isso como um prelúdio para essa corrente. De fato, o conceito de forças de atração e repulsão está intimamente relacionado ao conceito de forças de aglomeração e dispersão desenvolvido pela Nova Economia Geográfica.