Processo Ornstein-Uhlenbeck

Em matemática, o processo de Ornstein-Uhlenbeck , nomeado em homenagem a Leonard Ornstein e George Uhlenbeck e também conhecido como processo de reversão à média , é um processo estocástico descrito pela equação diferencial estocástica

drt=-θ(rt-µ)dt+σdCt,{\ displaystyle dr_ {t} = - \ theta (r_ {t} - \ mu) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}, \,}

onde θ, μ e σ são parâmetros determinísticos e W t é o processo de Wiener .

Solução

Esta equação é resolvida pelo método das constantes variáveis . Aplique o lema de Itō à função para obter f(rt,t)=rteθt{\ displaystyle f (r_ {t}, t) = r_ {t} e ^ {\ theta t}}

df(rt,t)=θrteθtdt+eθtdrt=eθtθµdt+σeθtdCt.{\ displaystyle df (r_ {t}, t) = \ theta r_ {t} e ^ {\ theta t} \, dt + e ^ {\ theta t} \, dr_ {t} \, = e ^ {\ theta t} \ theta \ mu \, dt + \ sigma e ^ {\ theta t} \, dW_ {t}. \,}

Integrando de 0 a t , obtemos

rteθt=r0+∫0teθsθµds+∫0tσeθsdCs{\ displaystyle r_ {t} e ^ {\ theta t} = r_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta s} \ theta \ mu \, ds + \ int _ {0 } ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta s} \, dW_ {s} \,}

de onde vemos

rt=r0e-θt+µ(1-e-θt)+∫0tσeθ(s-t)dCs.{\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (st)} \, dW_ {s}. \,}

Então, o primeiro momento é dado (assumindo que seja uma constante) por: r0{\ displaystyle r_ {0}}

E(rt)=r0e-θt+µ(1-e-θt).{\ displaystyle E (r_ {t}) = r_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}).}

s∧t=min(s,t){\ displaystyle s \ wedge t = \ min (s, t)}Isometria Itō  (en) pode ser usada para calcular a covariância

cov⁡(rs,rt)=E[(rs-E[rs])(rt-E[rt])]{\ displaystyle \ operatorname {cov} (r_ {s}, r_ {t}) = E [(r_ {s} -E [r_ {s}]) (r_ {t} -E [r_ {t}]) ]}=E[∫0sσeθ(você-s)dCvocê∫0tσeθ(v-t)dCv]{\ displaystyle = E [\ int _ {0} ^ {s} \ sigma e ^ {\ theta (us)} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (vt)} \, dW_ {v}]}=σ2e-θ(s+t)E[∫0seθvocêdCvocê∫0teθvdCv]{\ displaystyle = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ theta (s + t)} E [\ int _ {0} ^ {s} e ^ {\ theta u} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta v} \, dW_ {v}]}=σ22θe-θ(s+t)(e2θ(s∧t)-1).{\ displaystyle = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \, e ^ {- \ theta (s + t)} (e ^ {2 \ theta (s \ wedge t)} - 1). \,}

Também é possível (e muitas vezes conveniente) representar (incondicionalmente) como uma medida transformada do tempo do processo Wiener: rt{\ displaystyle r_ {t}}

rt=µ+σ2θC(e2θt)e-θt{\ displaystyle r_ {t} = \ mu + {\ sigma \ over {\ sqrt {2 \ theta}}} W (e ^ {2 \ theta t}) e ^ {- \ theta t}}

ou com condição ( dada) como r0{\ displaystyle r_ {0}}

rt=r0e-θt+µ(1-e-θt)+σ2θC(e2θt-1)e-θt.{\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}) + {\ sigma \ over {\ sqrt {2 \ theta}} } W (e ^ {2 \ theta t} -1) e ^ {- \ theta t}.}

O processo de Ornstein-Uhlenbeck (um exemplo de processo de variância limitada gaussiana ) admite uma distribuição de probabilidade estacionária, ao contrário do processo de Wiener.

A integral de tempo desse processo pode ser usada para gerar ruído com um espectro de potência 1 / f .

Aplicativo

O modelo Vasicek  (en) de interesse é um exemplo do processo de Ornstein-Uhlenbeck onde os coeficientes são positivos e constantes.

O Processo CIR , modelo de Cox, Ingersoll e Ross (1985), é uma extensão do modelo de Vasicek e do processo de Ornstein-Uhlenbeck que introduz a raiz quadrada da taxa de juros instantânea no coeficiente do termo estocástico.

Referências

1. (em) GE Uhlenbeck e LS Ornstein , "  On the Theory of Brownian Motion  " , Physical Review , vol.  36,1930, p.  823-841

• (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “  Ornstein - Uhlenbeck process  ” ( ver lista de autores ) .

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