Equação diferencial estocástica
Uma equação diferencial estocástica (DHS) é uma generalização da noção de equação diferencial levando em consideração um termo de ruído branco . Os EDSs permitem a modelagem de trajetórias aleatórias, como preços do mercado de ações ou movimentos de partículas sujeitas a fenômenos de difusão. Também permitem tratar teórica ou numericamente problemas resultantes da teoria das equações diferenciais parciais .
Os campos de aplicação da EDS são vastos: física , biologia , dinâmica populacional , ecologia , matemática financeira , processamento de sinais , teoria de controle , etc.
Algumas abordagens e definições informais
EDS como trajetórias de partículas
O movimento browniano , batizado em homenagem ao botânico Robert Brown , descreve o movimento de uma partícula submetida a um choque infinito em um tempo muito curto, e seus caminhos são erráticos. Eles têm as seguintes propriedades:
- Se sabemos a posição da partícula em um dado instante , então a lei de sua posição espacial em um instante posterior depende apenas de sua posição naquele instante . Em outras palavras, o passado, ou seja, a trajetória da partícula às vezes anterior , não influencia seus movimentos futuros. Essa propriedade é chamada de propriedade Markov ;t{\ displaystyle t}t+s{\ displaystyle t + s}t{\ displaystyle t}t{\ displaystyle t}
- As partículas se movem continuamente no espaço;
- A lei da posição da partícula entre dois instantes e depende apenas de . Os aumentos são então estacionários ;t{\ displaystyle t}t+s{\ displaystyle t + s}s{\ displaystyle s}
- Na verdade, se denota a posição da partícula em um momento , então a lei de e de com são independentes uma da outra. Diremos então que os aumentos são independentes. Na verdade, essa propriedade implica a propriedade de Markov;B(t){\ displaystyle B (t)}t{\ displaystyle t}B(t)-B(r){\ displaystyle B (t) -B (r)}B(r)-B(s){\ displaystyle B (r) -B (s)}s<r<t{\ displaystyle s <r <t}
- Destes dois últimos fatos, e no espírito do teorema do limite central , é possível mostrar que segue uma lei normal de média e variância .B(t){\ displaystyle B (t)}0{\ displaystyle 0}t{\ displaystyle t}
Em outras palavras, a dinâmica da partícula é a mesma independentemente de sua posição no espaço, e se girarmos as coordenadas do espaço usando uma rotação, um movimento browniano permanece um movimento browniano: a partícula evolui em um ambiente homogêneo e isotrópico .
A noção de EDS permite descrever o movimento de uma partícula em um meio cujas propriedades físicas podem variar, criando dois efeitos:
- Se sabemos a posição de uma partícula, a lei do processo de cada vez é uma gaussiana cuja covariância não é necessariamente a identidade, e que pode depender da posição . A covariância deve ser da ordem de ;X(t){\ displaystyle X (t)}t+δt{\ displaystyle t + \ delta t}X(t){\ displaystyle X (t)}δt{\ displaystyle \ delta t}
- Em muito pouco tempo, as partículas são empurradas em uma determinada direção. Falaremos então de deriva . Na verdade, isso implica que a posição média da partícula no instante em que se conhece a posição é dada por para um vetor , que também pode depender de .t+δt{\ displaystyle t + \ delta t}X(t){\ displaystyle X (t)}E[X(t+δt)|X(t)]=µδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)] = \ mu \ delta t}µ{\ displaystyle \ mu}X(t){\ displaystyle X (t)}
Combinando esses dois efeitos, podemos escrever
X(t+δt)≈σ(X(t))ξ+µ(X(t))δt{\ displaystyle X (t + \ delta t) \ approx \ sigma (X (t)) \ xi + \ mu (X (t)) \ delta t},
onde é uma Gaussiana normal centrada de covariância a identidade. É fácil verificar que
ξ{\ displaystyle \ xi}
E[X(t+δt)|X(t)]=µδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)] = \ mu \ delta t}
e
E[(X(t+δt)-E[X(t+δt)|X(t)])2]=σ(X(t))σ(X(t))Tδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [(X (t + \ delta t) - \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)]) ^ {2}] = \ sigma (X (t)) \ sigma (X (t)) ^ {\ mathrm {T}} \ delta t}.
Começando de , e se somarmos os aumentos entre e , então obtemos
0{\ displaystyle 0}kδt{\ displaystyle k \ delta t}(k+1)δt{\ displaystyle (k + 1) \ delta t}
X(t)≈∑k=0⌊T/δt⌋σ(X(t))ξk+µ(X(t))δt{\ displaystyle X (t) \ approx \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor T / \ delta t \ rfloor} \ sigma (X (t)) \ xi _ {k} + \ mu (X (t) )) \ delta t},
onde vamos supor que as variáveis gaussianas são independentes, o que é bastante razoável se quisermos manter a propriedade de Markov, ou seja, a independência da lei das posições futuras da partícula depois em relação ao instante anterior . Podemos considerar os aumentos sucessivos de um movimento browniano.
ξk{\ displaystyle \ xi _ {k}}t{\ displaystyle t}t{\ displaystyle t}ξk{\ displaystyle \ xi _ {k}}
Usando a teoria das integrais estocásticas , podemos tender para (cuidado, esta é uma convergência em probabilidade !), E considere a seguinte equação
δt{\ displaystyle \ delta t}0{\ displaystyle 0}
X(t)=X(0)+∫0tσ(X(s))dB(s)+∫0tµ(X(s))ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X (s)) \, dB (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds},
onde é um movimento browniano, é uma função com valor de matriz (que não é necessariamente uma matriz quadrada ) e uma função com valor de vetor. Tal equação, que portanto envolve uma integral estocástica, é chamada de equação diferencial estocástica (DHS).
B{\ displaystyle B}σ{\ displaystyle \ sigma}µ{\ displaystyle \ mu}
A teoria da EDS consiste, portanto, em estudar as propriedades desse objeto e as condições dos coeficientes que tornam possível garantir a existência de tais objetos.
Ao contrário do movimento browniano, as soluções EDS, exceto no caso simples em que e são constantes, não aumentam de forma independente e estacionária. Por outro lado, eles têm a propriedade Markov.
σ{\ displaystyle \ sigma}µ{\ displaystyle \ mu}
Equações diferenciais ruidosas
Considere uma equação diferencial comum à qual adicionaríamos ruído. Um ruído branco será usado como um modelo de ruído , cuja intensidade irá variar de acordo com a posição do espaço, e nossa equação então se torna
dX(t)dt=µ(X(t)){\ displaystyle {\ frac {dX (t)} {dt}} = \ mu (X (t))} ξ(t){\ displaystyle \ xi (t)}
dX(t)dt=µ(X(t))+σ(X(t))ξ(t){\ displaystyle {\ frac {dX (t)} {dt}} = \ mu (X (t)) + \ sigma (X (t)) \ xi (t)}
para uma função . Em si mesmo, o ruído branco é um objeto mal definido (isso corresponde ao ruído aleatório onde todas as frequências estão presentes com a mesma probabilidade), e tal equação não faz sentido. Por outro lado, o ruído branco sendo formalmente definido como a derivada do movimento browniano, transformamos nossa equação em
σ{\ displaystyle \ sigma}B(t){\ displaystyle B (t)}
dX(t)=µ(X(t))dt+σ(X(t))dB(t),{\ displaystyle dX (t) = \ mu (X (t)) \, dt + \ sigma (X (t)) \, dB (t),}
que podemos provar fazer sentido, usando o cálculo estocástico , quando escrito na forma integral:
X(t)=X(0)+∫0tµ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))dB(s).{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \, dB (s).}
DHS como limites de equações diferenciais ordinárias
Outra maneira natural de ver o EDS é usar interpolações lineares por partes das trajetórias do movimento browniano. Que tal trajetória seja feita, e consideremos entre o instante e o instante ,
B(t,ω){\ displaystyle B (t, \ omega)}0{\ displaystyle 0}T{\ displaystyle T}
Bnão(t,ω)=t-Tk/não(Tk+1)/não-Tk/não(B(T(k+1)/não,t)-B(Tk/não)){\ displaystyle B ^ {n} (t, \ omega) = {\ frac {t-Tk / n} {(Tk + 1) / n-Tk / n}} (B (T (k + 1) / n , t) -B (Tk / n))} E se t∈[Tk/não,T(k+1)/não]{\ displaystyle t \ in [Tk / n, T (k + 1) / n]}
bem como equações diferenciais ordinárias (sob boas condições de regularidade em e )
σ{\ displaystyle \ sigma}µ{\ displaystyle \ mu}
Xnão(t,ω)=X(0)+∫0tσ(Xnão(s,ω))dBnão(s,ω)+∫0tµ(Xnão(s,ω))ds.{\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ^ {n} (s, \ omega)) \, dB ^ { n} (s, \ omega) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X ^ {n} (s, \ omega)) \, ds.}
Podemos mostrar que converge para algo quando tende para o infinito? Na verdade, essa abordagem funciona, mas a demonstração não é óbvia e envolve armadilhas. Na verdade, converge para a solução de um EDS no sentido de StratonovichXnão(t,ω){\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega)}não{\ displaystyle n}Xnão(t,ω){\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega)}
X(t)=X(0)+∫0tµ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))∘dB(s).{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \ circ \, dB (s).}
o que, portanto, implica outra noção de integral estocástica, aqui denotada com un , aquela de Stratonovich . Este resultado se deve a Eugene Wong e Moshe Zakai . Se quisermos usar uma integral de Itô , então
∘{\ displaystyle \ circ}
X(t)=X(0)+∫0tµ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))dB(s)+12∫0tσ(X(s))∇σ(X(s))ds.{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \, dB (s) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X (s)) \ nabla \ sigma (X (s)) ds. }
Entre as dificuldades, deve-se notar que é necessário, exceto na dimensão um, usar uma família de partição determinística se se deseja usar algo diferente de uma partição regular, bem como uma interpolação linear por partes, para que a convergência para o DHS esperado ocorre.
Alguns DHS notáveis
Tal como acontece com as equações diferenciais ordinárias, não sabemos como resolver um DHS no caso geral.
Movimento browniano geométrico
O movimento browniano geométrico é um processo da forma
X(t)=X(0)exp(σB(t)+(µ-σ22)t){\ displaystyle X (t) = X (0) \ exp (\ sigma B (t) + (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t)}
Sua particularidade é ser um processo estocástico com valores positivos. Portanto, é usado em matemática financeira
para modelar a evolução dos preços do mercado de ações, taxas de juros, produtos financeiros. A dinâmica desse processo é a própria base do modelo Black-Scholes . Graças à fórmula de Itô , o movimento geométrico browniano é uma solução de
X(t)=X(0)+∫0tσX(s)dB(s)+∫0tµX(s)ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma X (s) \, dB (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu X ( s) \, ds}.
Este movimento browniano geométrico também pode ser aproximado por vários métodos numéricos ou analíticos, como o método das diferenças finitas ou a abordagem binomial.
A equação de Langevin e o processo de Ornstein-Uhlenbeck
A equação de Langevin dá o movimento de uma partícula em um meio com atrito, e submetida a uma força flutuante (" banho termal "), que tomaremos como ruído branco. De acordo com o princípio fundamental da dinâmica , a velocidade da partícula é uma solução de
ξ(t){\ displaystyle \ xi (t)}
dV(t)dt=-λV(t)+ξ(t){\ displaystyle {\ frac {dV (t)} {dt}} = - \ lambda V (t) + \ xi (t)}.
Como antes, essa equação realmente não faz sentido, a menos que você a coloque na forma
V(t)=V(0)+B(t)-∫0tλV(s)ds{\ displaystyle V (t) = V (0) + B (t) - \ int _ {0} ^ {t} \ lambda V (s) \, ds},
onde está um movimento browniano. O parâmetro especifica a intensidade do atrito. Esta equação pode ser resolvida diretamente:
B(t){\ displaystyle B (t)}λ{\ displaystyle \ lambda}
V(t)=exp(-λt)V(0)+∫0texp(-λ(t-s))dB(s){\ displaystyle V (t) = \ exp (- \ lambda t) V (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ exp (- \ lambda (ts)) \, dB (s)}
É um processo de Ornstein-Uhlenbeck , e sua particularidade é que é um processo gaussiano . Sua média e sua variação são
E[V(t)]=exp(-λt)V(0){\ displaystyle \ mathbb {E} [V (t)] = \ exp (- \ lambda t) V (0)}e .
E[(V(t)-V(0))2]=1-exp(-2λt)2λ{\ displaystyle \ mathbb {E} [(V (t) -V (0)) ^ {2}] = {\ frac {1- \ exp (-2 \ lambda t)} {2 \ lambda}}}
Observe que aqui consideramos a velocidade da partícula. Sua posição é dada por , e é em si uma trajetória regular, mas que permanece um processo gaussiano .
X(t)=X(0)+∫0tX(s)ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} X (s) \, ds}
Fazendo com que certos parâmetros tendam para o infinito, podemos nos aproximar por um EDS
X(t){\ displaystyle X (t)}
Partícula aleatória em um campo de força
Podemos refinar a equação de Langevin adicionando um campo de força que depende da posição. Então a posição e a velocidade da partícula são soluções de uma equação que escreveremos na forma
dX(t)=V(t)dtdV(t)=λK(t,X(t))dt-λV(t)dt+λDdB(t){\ displaystyle {\ begin {matrix} dX (t) = V (t) \, dt \\ dV (t) = \ lambda K (t, X (t)) \, dt- \ lambda V (t) \ , dt + \ lambda {\ sqrt {D}} dB (t) \ end {matriz}}}
onde está o campo de força considerado, e . É então possível mostrar que a posição , quando tende ao infinito, se comporta como a solução do DHS.
λK{\ displaystyle \ lambda K}λ,D>0{\ displaystyle \ lambda, D> 0}X(t){\ displaystyle X (t)}λ{\ displaystyle \ lambda}
dX(t)=K(t,X(t))dt+DdB(t).{\ displaystyle dX (t) = K (t, X (t)) dt + {\ sqrt {D}} dB (t).}
Na aplicação, se for um potencial, ou seja, seu gradiente é uma força, então
você{\ displaystyle U}
X(t)=X(0)+DB(t)+∫0tvocê(X(s))ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + {\ sqrt {D}} B (t) + \ int _ {0} ^ {t} U (X (s)) \, ds}
é um EDS comumente usado em física. Sem a presença de movimento browniano no modelo anterior, a partícula ficará imobilizada no fundo dos poços de , ou seja, onde o gradiente é zero. Na presença de um ruído, por menor que seja, ele tem a possibilidade de escapar e passar de um poço a outro, e tais dinâmicas são frequentemente estudadas (às vezes temos fenômenos de ressonância estocástica ).
você{\ displaystyle U}∇você{\ displaystyle \ nabla U}
Ponte browniana
A probabilidade de um movimento browniano atingir um determinado ponto em um tempo fixo é zero. No entanto, às vezes precisamos considerar a trajetória de um movimento browniano (aqui em uma dimensão) condicionado por tal evento. Podemos construir esse objeto como a solução de
T{\ displaystyle T}X(t){\ displaystyle X (t)}
X(t)=no+B(t)+∫0tb-X(s)T-sds, t∈[0,T].{\ displaystyle X (t) = a + B (t) + \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {bX (s)} {Ts}} \, ds, \ t \ in [0, T ].}
As trajetórias começarão e chegarão ao ponto no tempo . O processo é um processo gaussiano.
X(t){\ displaystyle X (t)}no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}T{\ displaystyle T}X{\ displaystyle X}
Método de resolução digital
As equações diferenciais estocásticas podem ser resolvidas numericamente e em particular por um método particular de Runge-Kutta .
Link com equações diferenciais parciais
Equação de Fokker-Planck
Generalizações
Existem várias generalizações do conceito de DHS que acabamos de apresentar:
- EDS com saltos;
- EDS impulsionado por outros tipos de processos, como movimentos brownianos fracionários, por exemplo;
- EDS em dimensão infinita (para ser comparado com as equações diferenciais parciais estocásticas )
- ...
Areas de aplicação
-
modelagem de fenômenos de difusão em física ( mecânica dos fluidos , geofísica , etc.): está na origem da motivação para o estudo do movimento browniano;
-
dinâmica populacional , ecologia , ...: modelagem da localização da população de uma determinada espécie, ou mesmo do seu tamanho ...
-
Métodos de Monte-Carlo : resolução de certas equações diferenciais parciais por métodos aleatórios;
-
matemática financeira : modelagem de preços do mercado de ações;
-
teoria do controle estocástico : envolve encontrar estratégias para minimizar ou maximizar certas quantidades sujeitas a flutuações aleatórias, mas especificadas por parâmetros que podem ser variados (valor de uma carteira de ações, regulação de fluxo de uma barragem, ...);
-
sistemas dinâmicos aleatórios ;
-
ressonância estocástica , modelagem em neurociência , climatologia (modelos climáticos em períodos muito longos usam EDS).
- modelos de fluxo de polímero multiescala
Notas e referências
Veja também
Links internos
Bibliografia
- CG Gardiner, Handbook of Stochastic Methods ( 3 e r.), Springer, 2004 ( ISBN 3-540-20882-8 )
- I. Karatzas e S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus , Graduate Texts in Mathematics ( 2 e r.), Springer, 2004. ( ISBN 0-387-97655-8 ) .
- E. Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion . Princeton University Press, 1967. Versão em PDF na página do autor.
- B. Øksendal, Estocástico Equações Diferenciais: Uma Introdução Com Applications ( 6 th . D), Springer, 2005. ( ISBN 3-540-04758-1 )
-
Revuz D. e M. Yor , Continuous Martingales and Brownian Motion , ( 3 e r.), Springer, 2004. ( ISBN 3-540-64325-7 )
- LCG Rogers e D. Williams, Broadcasts, Markov process and martingales ( 2 e r.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000 ( ISBN 0-521-77593-0 )
Simulação
- P. Kloeden e E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations , Springer, 2000. ( ISBN 3-540-54062-8 )
- P. Kloeden, E. Platen e H. Schurz, Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments , Universitext, Springer, 2003. ( ISBN 3-540-57074-8 )
- B. Lapeyre, E. Pardoux e R. Sentis, métodos de Monte-Carlo para equações de transporte e difusão , Springer, 1998. ( ISBN 3-540-63393-6 )
Link externo