Produto Kronecker
Em matemática , o produto Kronecker é uma operação em matrizes . Este é um caso especial do produto tensorial . É assim chamado em homenagem ao matemático alemão Leopold Kronecker .
Definição formal
Seja A uma matriz de tamanho m x n e B uma matriz de tamanho p x q . Seu produto tensorial é a matriz A ⊗ B de tamanho mp por nq , definida por blocos sucessivos de tamanho p x q , sendo o bloco de índice i , j igual a i , j B
Em outras palavras
NO⊗B=(no11B⋯no1nãoB⋮⋱⋮nom1B⋯nomnãoB){\ displaystyle A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {pmatriz}}}![A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} B & \ cdots & a _ {{1n}} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m1}} B & \ cdots & a_ {{mn}} B \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313dcef4d7edbf0bf7abd972da373b7e1fa2c051)
Ou, detalhando os coeficientes,
NO⊗B=(no11b11no11b12⋯no11b1q⋯⋯no1nãob11no1nãob12⋯no1nãob1qno11b21no11b22⋯no11b2q⋯⋯no1nãob21no1nãob22⋯no1nãob2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮no11bp1no11bp2⋯no11bpq⋯⋯no1nãobp1no1nãobp2⋯no1nãobpq⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮nom1b11nom1b12⋯nom1b1q⋯⋯nomnãob11nomnãob12⋯nomnãob1qnom1b21nom1b22⋯nom1b2q⋯⋯nomnãob21nomnãob22⋯nomnãob2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮nom1bp1nom1bp2⋯nom1bpq⋯⋯nomnãobp1nomnãobp2⋯nomnãobpq){\ displaystyle A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12} & \ cdots & a_ {11} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {11} & a_ {1n} b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} b_ {1q} \\ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ {22} & \ cdots & a_ {11} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {21} & a_ {1n} b_ {22} & \ cdots & a_ {1n} b_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {11} b_ {p1} & a_ {11} b_ {p2} & \ cdots & a_ {11} b_ { pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {p1} & a_ {1n} b_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} b_ {pq} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {m1} b_ {11} & a_ {m1} b_ {12 } & \ cdots & a_ {m1} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {11} & a_ {mn} b_ {12} & \ cdots & a_ {mn} b_ {1q} \ \ a_ {m1} b_ {21} & a_ {m1} b_ {22} & \ cdots & a_ {m1} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {21} & a_ {mn} b_ {22} & \ cdots & a_ {mn} b_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} b_ {p1 } & a_ {m1} b_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {p1} & a_ {mn} b_ {p2} & \ cdots & a_ {mn} b_ {pq} \ end {pmatriz}}}![A \ otimes B = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} b _ {{11}} & a _ {{11}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{11} } b _ {{1q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{11}} & a _ {{1n}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{1q}} \\ a _ {{11}} b _ {{21}} & a _ {{11}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ { {11}} b _ {{2q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n}} b_ {{21}} & a _ {{1n}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{2q}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{11}} b _ {{p1}} & a _ {{11}} b _ {{p2}} & \ cdots & a _ {{11}} b _ {{pq}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{1n }} b _ {{p1}} & a _ {{1n}} b _ {{p2}} & \ cdots & a _ {{1n}} b _ {{pq}} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a _ {{m1}} b _ {{11 }} & a _ {{m1}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{m1}} b _ {{1q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{11}} & a _ {{mn}} b _ {{12}} & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{1q}} \\ a _ {{m1}} b _ {{21}} & a _ {{m1}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{m1}} b _ {{2q}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn }} b _ {{21}} & a _ {{mn}} b _ {{22}} & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{2q}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m1}} b _ {{p1}} & a _ {{m1}} b _ {{p2}} & \ cdots e a_ {{m1}} b _ {{pq}} & \ cdots & \ cdots & a _ {{mn}} b _ {{p1}} & a _ {{mn}} b _ {{p2}} & \ cdots e a _ {{mn}} b _ {{pq}} \ end {pmatriz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d462d4dc459e6752df74b44376d02d1b1d8329)
Exemplo
Conforme mostrado no exemplo abaixo, o produto Kronecker de duas matrizes consiste em copiar a segunda matriz várias vezes, multiplicando-a pelo coeficiente correspondente a um termo da primeira matriz.
(132100122)⊗(055011)=(1⋅(055011)3⋅(055011)2⋅(055011)1⋅(055011)0⋅(055011)0⋅(055011)1⋅(055011)2⋅(055011)2⋅(055011))=(05015010501501001133220500005000001100000501001050100100112222){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 3 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \ \ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} } & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 5 & 0 & 0 & \} & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 & 0 & 2 & 0![{\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 3 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} } \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \ \ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 0 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \\ 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} & 2 \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 10 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 10 \\ 5 & 0 & 0 & 2 & 1 & 10 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2 & 10 & 1 & 0 & 2 & 2 & 10 & 2 & 10 & 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 10 & 2 & 10 & 2 & 10 & 2 & 1 & 0 & 2 & 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5560b8c8e6cacaa04df843cef5b787cbf88c28f)
Propriedades
Bilinearidade, associatividade
O produto da Kronecker é bilinear e associativo: sujeito a compatibilidade de tamanhos para A , B e C , temos as seguintes equações:
NO⊗(B+λ ⋅VS)=(NO⊗B)+λ(NO⊗VS){\ displaystyle A \ otimes (B + \ lambda \ \ cdot C) = (A \ otimes B) + \ lambda (A \ otimes C)}
(NO+λ ⋅B)⊗VS=(NO⊗VS)+λ(B⊗VS){\ displaystyle (A + \ lambda \ \ cdot B) \ otimes C = (A \ otimes C) + \ lambda (B \ otimes C)}
NO⊗(B⊗VS)=(NO⊗B)⊗VS{\ displaystyle A \ otimes (B \ otimes C) = (A \ otimes B) \ otimes C}![A \ otimes (B \ otimes C) = (A \ otimes B) \ otimes C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adfac05f43fbb3573880c4e1eb2e30bc0b71663)
O produto da Kronecker não é comutativo; no entanto, para todos A e B existem duas matrizes de permutação P e Q tais que A ⊗ B = P ( B ⊗ A ) Q
Se além disso A e B têm o mesmo tamanho, então A ⊗ B e B ⊗ A são equivalentes por permutação em os vetores de base:
NO⊗B=P-1(B⊗NO)P=tP(B⊗NO)P{\ displaystyle A \ otimes B = P ^ {- 1} (B \ otimes A) P = {} ^ {t} \! P (B \ otimes A) P}![A \ otimes B = P ^ {{- 1}} (B \ otimes A) P = {} ^ {{t}} \! P (B \ otimes A) P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c805823ff97eba8ec6f844b29bdd6488d5c938a)
onde P é uma matriz de permutação.
Propriedades no produto normal
A propriedade a seguir mistura os aspectos relacionados ao produto de matriz usual e o produto Kronecker quando os tamanhos das matrizes são tais que é possível formar os produtos AC e BD :
(NO⊗B)(VS⊗D)=(NOVS)⊗(BD){\ displaystyle (A \ otimes B) (C \ otimes D) = (AC) \ otimes (BD)}![(A \ otimes B) (C \ otimes D) = (AC) \ otimes (BD)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1654d6ed12a5ed17efc0b424031c62929f86ab)
Podemos deduzir que A ⊗ B é invertível se e somente se A e B são invertíveis, caso em que:
(NO⊗B)-1=NO-1⊗B-1{\ displaystyle (A \ otimes B) ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ otimes B ^ {- 1}}![(A \ otimes B) ^ {{- 1}} = A ^ {{- 1}} \ otimes B ^ {{- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d76899362e6afa0713ef7e6f4a65bd2e0eee52a)
Espectro
Usando a propriedade anterior, deduzimos que se X e Y são autovetores de A e B : e , então:
NOX=λ X{\ displaystyle AX = \ lambda \ X}
BY=µ Y{\ displaystyle BY = \ mu \ Y}![BY = \ mu \ Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80e310c89f5b743cd8632bf4b3e89e622eeed3d)
(NO⊗B)(X⊗Y)=λµ(X⊗Y){\ displaystyle (A \ otimes B) (X \ otimes Y) = \ lambda \ mu (X \ otimes Y)}![(A \ otimes B) (X \ otimes Y) = \ lambda \ mu (X \ otimes Y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3e2255b519c1bad9500d647c81102f99cd713d)
Portanto, se e são os autovalores de A e B , então são os autovalores de A ⊗ B , contando a multiplicidade.
λ1,...,λnão{\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}}
µ1,...,µm{\ displaystyle \ mu _ {1}, ..., \ mu _ {m}}
{λeu⋅µj,eu=1 ...não,j=1 ...m}{\ displaystyle \ lbrace \ lambda _ {i} \ cdot \ mu _ {j}, i = 1 ... n, j = 1 ... m \ rbrace}![\ lbrace \ lambda _ {{i}} \ cdot \ mu _ {{j}}, i = 1 ... n, j = 1 ... m \ rbrace](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549dcda60cb45fb7ec6400494a9e09d48371f76e)
Em particular :
Tr(NO⊗B)=Tr(NO)Tr(B){\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A \ otimes B) = \ operatorname {Tr} (A) \ operatorname {Tr} (B)}
det(NO⊗B)=det(NO)mdet(B)não{\ displaystyle \ operatorname {det} (A \ otimes B) = \ operatorname {det} (A) ^ {m} \ operatorname {det} (B) ^ {n}}
rg(NO⊗B)=rg(NO)rg(B){\ displaystyle \ operatorname {rg} (A \ otimes B) = \ operatorname {rg} (A) \ operatorname {rg} (B)}
onde Tr denota o traço , deteta o determinante e rg o posto da matriz.
Transposição
Temos a seguinte propriedade na transposição :
t(NO⊗B)=tNO⊗tB{\ displaystyle {} ^ {t} \! (A \ otimes B) = {} ^ {t} \! A \ otimes {} ^ {t} \! B}![{} ^ {{t}} \! (A \ otimes B) = {} ^ {{t}} \! A \ otimes {} ^ {{t}} \! B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b460930a295be71568386767c22a39e3c75b9368)
Link externo
(en) Eric W. Weisstein , “ Produto Kronecker ” , no MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">